Основные логические операции

Тема: Понятия алгебры логики

Высказывания и основные логические операции над ними

 

Классическая (формальная) логика возникла в глубокой древности. Основы её были заложены в трудах древнегреческого философа Аристотеля (384-322 гг. до н.э.).

Задачей логики является изучение правильных способов рассуждений – таких способов, которые приводят к верным результатам в тех случаях, когда верны исходные предположения.

Предметом логики является изучение законов человеческого мышления.

В логических трактатах Аристотель рассматривал такие рассуждения, в которых из двух заданных выводится третье. Эти рассуждения он называл силлогизмами.

Дальнейшее развитие логики привело к созданию математической логики. В основе математической логики лежит логика высказываний. Идеи математической логики были высказаны Готфридом Вильгельмом Лейбницем. Однако как научная дисциплина математической логики сформировалась в трудах Джорджа Буля и Огастеса де Моргана.

Основным понятием математической логики является понятие «высказывание».

Высказыванием называется повествовательное предложение, относительного которого известно, что оно либо истинно, либо ложно.

Высказывания могут быть выражены с помощью слов, а так же математических, химических и прочих знаков.

Пример:

«Марс дальше от Солнца, чем Венера (истинное высказывание)»;

«2+3> 5 (ложное высказывание)»;

«Сумма чисел 2 и 3 больше числа 5 (ложное высказывание)»;

«25 делится на 13»

Высказывания 2-ое и 3-ие означают одно и то же, но выражены по-разному.

Высказывание, которое можно разложить на части, называется сложным, а неразложимое далее высказывание – простым (или элементарным). Например, высказывание «Сегодня в первой половине дня я был в академии, а после обеда пошёл в библиотеку» состоит из двух частей: «Сегодня в первой половине дня я был в академии» и «Сегодня после обеда я по­шёл в библиотеку».

Содержание высказывания несущественно: лишь бы это предложение могло быть истинным, либо ложным.

Высказывание в математической логике обычно обозначается латинскими буквами: a, b, c и т.д.

 

Основные логические операции

Для того чтобы из высказываний получать новые высказывания, применяют специальные операции – логические связки. Рассмотрим пять основных логических связок (по-другому – логических операций). Определить высказывание – значит указать, в каких случаях оно истинно, а каких ложно.

Отрицанием высказывания а называют такое высказывание а, что а ложно, если а истинно, и а истинно, если а ложно. Обозначение а читается так: «Не а», или «Неверно, что а». Отрицание можно обозначить по- разному: а, ~а,

Обычно для построения отрицания данного высказывания надо присоединить к сказуемому частицу «не» или, если она уже есть, опустить её. Например, для высказывания а («Сейчас небо синее») отрицание будет а («Сейчас небо не синее») или а («Сейчас небо не является синим»).

Конъюнкцией (с лат. conjunctio - связь, союз) двух высказываний a и b называется такое высказывание a ^ b (читается « аи b»), которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба составляющих его высказывания. Высказывания аи b при этом называются членами конъ­юнкции. Это определение распространяется и на любое конечное число высказываний. Часто конъюнкцию обозначают и по-другому: а & b.

Поясним данное определение на примерах. Высказывание «Число 2 чётное и простое» сложное, оно состоит из двух высказываний: а («Число 2 чётное») и b («Число 2 простое»), свя­занных союзом «и». Оба эти высказывания истинны. Истинным является и сложное высказыва­ние, которое есть конъюнкция высказываний аи b. А вот высказывание «Число 12 чётное и простое» является ложным. Оно есть конъюнкция двух высказываний а («Число 12 чётное») и b («Число 12 простое»). Первое высказывание истинно, а второе ложно. Поэтому ложным являет­ся также и их конъюнкция.

Дизъюнкцией (с лат. disjunctio - различие) двух высказываний аи b называется высказы­вание а v b (читается: «а или b»), которое истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из составляющих его высказываний. Высказывания называются членами дизъюнк­ции. Это определение легко распространяется на любое конечное число высказываний. Напри­мер, Сложное высказывание «Завтра на уроке математики будет контрольная или самостоя­тельная работа» есть дизъюнкция высказываний «Завтра на уроке математики будет контроль­ная работа» и «Завтра на уроке математики будет самостоятельная работа».

Импликацией (с лат. implico - связываю) двух высказываний а и b называется такое вы­сказывание а → b (читается: «если а, то b), которое ложно тогда и только тогда, когда a ис­тинно, а b - ложно. Высказывания а и b называются членами импликации. Попробуем на при­мерах разобраться с этой логической операцией. Рассмотрим два высказывания: а («Сейчас хо­рошая погода») и b («Я пойду гулять»). Импликация а →b в этом случае означает: «Если сей­час хорошая погода, то я пойду гулять». Когда высказывания а и b истинны, то истинно и вы­сказывание а → b, но также ясно, что если сейчас плохая погода и я пойду гулять, либо отка­жусь от прогулки, то меня никак нельзя назвать лжецом (никакого противоречия не возникает). Поэтому импликация а →b и в этих случаях истинна. Единственным вариантом, когда импли­кация а →b ложна, является истинность высказывания а и ложность высказывания b. Высказывание а называют условием (или посылкой), а высказывание b - заключением(следствием).

Эквивалентностью (с лат. aquivalens - равноценное, равнозначное) (или эквиваленцией) двух высказываний а и b называется такое высказывание а ↔ b, которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания а и b либо истинны, либо оба ложны. Читается запись а ↔ b так: «а тогда и только тогда, когда b», или «для того, чтобы а, необходимо и достаточно, чтобы b ». При этом а и b называются членами эквивалентности. Часто эквивалентность обозначают и другим знаком: ~. Тогда запись а ~ b читается так: «а эквивалентно b ».

Проиллюстрируем её на примере планиметрии: «Для того чтобы некоторый параллелограмм был ромбом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали были взаимно перпендикулярны». Здесь высказывания а («Некоторый параллелограмм - ромб») и b («Диагонали некоторого параллелограмма взаимно перпендикулярны»). Формулировка этой теоремы включает в себя две импликации: 1) если некоторый параллелограмм - ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны (импликация а → b); 2) если диагонали некоторого параллелограмма взаимно перпендикулярны, то такой параллелограмм - ромб (обратная импликация b → а, которая получается из а → b перестановкой условия и заключения местами). В связи с этим эквивалентность иногда называют двойной импликацией. Если оба высказывания а и b - истинны, то и обе импликации истинны и, следовательно, эквивалентность а ↔ b истинна. Если одно из высказываний ложно, а другое истинно, то одна из импликаций будет истинна, другая - ложна. Поэтому эквивалентность а ↔ b в этих случаях будет ложна. Если же оба высказывания а и b - ложны, то обе импликации будут истинны и поэтому эквивалентность а ↔ b будет истинной.

Эквивалентность играет важную роль в математических доказательствах. Многие теоремы формулируются в форме необходимых и достаточных условий, т.е. в форме эквивалентности. В этом случае, зная об истинности или ложности одного из двух членов эквивалентности и доказав истинность самой эквивалентности, делают заключение об истинности или ложности второго члена эквивалентности.

 

 

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: