Существование решения первой начально-краевой задачи для волнового уравнения.
Лекция 5. Обоснование метода Фурье Оценка коэффициентов Фурье. Рассмотрим периодическую функцию f(x) с периодом T=2π. Предположим, что ее можно представить в виде ряда Фурье
где коэффициенты вычисляются по формулам
Теорема 1. Пусть f(x) - периодическая функция с периодом T=2π. Пусть существует f (k)(x) - непрерывная для любого x; и выполняется оценка
Доказательство. Формулы для коэффициентов Фурье проинтегрируем по частям:
следовательно,
При k≥2 формулы для коэффицентов Фурье последовательно интегрируем по частям k раз и используем свойство периодичности функций f (s)(-π)=f (s)(π) для любого s < k. Оценка для коэффициентов bn получается аналогично. Теорема 2. Если коэффициенты Фурье удовлетворяют неравенствам
то сумма ряда Фурье f(x) - непрерывная периодическая функция с периодом T=2π, которая имеет производную f(k-2)(x) - непрерывную, и f (k-2) (x) может быть получена почленным дифференцированием ряда (k-2) раз. Доказательство. По теореме Вейерштрасса, если ряд Фурье
мажорируется сходящимся числовым рядом
(Знаки и вид тригонометрических множителей зависят от порядка производной). Полученный ряд мажорируется числовым рядом
Следовательно, ряд из производных (k-2) порядка равномерно сходится. Поэтому его можно почленно дифференцировать и производная f(k-2)(x) получается дифференцированием (k-2) раза ряда Фурье. Замечание. В случае тригонометрических рядов для периодических функций с периодом T=2l также справедливы теоремы 1 и 2.
Существование решения первой начально-краевой задачи для волнового уравнения. Теорема 3. Если φ (21) c коэффициентами
сходится равномерно в полуполосе 0 ≤ x ≤ l, t ≥0, к функции U(x,t) Доказательство теоремы проведем при более сильных условиях на функции φ(x) и ψ(x). Пусть φ(x) Тогда φ(x) и ψ(x) продолжаются нечетным образом на [-l,0] и далее периодически при всех x. Причем φ(x)
Единственность решения первой начально-краевой задачи для волнового уравнения. Теорема 4. Возможно только одно решение Доказательство. Допустим, что задача может иметь два различных решения однородным краевым и начальным условиям Докажем, что в этом случае Введём функцию Покажем, что функция
В нашем случае дифференцирование можно проводить под знаком интеграла, так как по условию
(21*) Из краевых условий следует, что внеинтегральный член в (21*) равен нулю:
Второе слагаемое в правой части (21*) в силу уравнения преобразуется к виду
Поэтому производная Учитывая нулевые начальные условия, получим
Замечание. Функция
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|