Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Дифференциальные уравнения первого порядка

Полный дифференциал функции нескольких переменных

Частной производной по от функции называется предел отношения частного приращения этой функции по к приращению , когда последнее стремится к нулю:

Частной производной по от функции называется предел отношения частного приращения этой функции по к приращению , когда последнее стремится к нулю:
.

Пусть задана функция . Если аргументу сообщить приращение , а аргументу – приращение , то функция получит приращение , которое называется полным приращением функции и определяется формулой: .

Функция , полное приращение которой в данной точке может быть представлено в виде суммы двух слагаемых (выражения, линейного относительно и , и величины бесконечно малой высшего порядка относительно ):
,
где и стремятся к нулю, когда и стремятся к нулю (т.е. когда ), называется дифференцируемой в данной точке.

Линейная (относительно и ) часть полного приращения функции называется полным дифференциалом и обозначается :
,
где и – дифференциалы независимых переменных, которые, по определению, равны соответствующим приращениям и .

Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка. Для функции двух переменных их четыре:

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальным уравнением первого порядка называют соотношение вида , где – независимая переменная (аргумент), – неизвестная функция аргумента – заданная функция трех переменных , изменяющихся в некоторой области трехмерного пространства.

1) Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными в высшей математике называется дифференциальное уравнение первого порядка вида

Пример
Решить уравнение . В частности, найти решение, удовлетворяющее начальному условию
Учитывая, что и вынося за скобки y, получим , или, что то же самое, . Разделив обе части уравнения на произведение получим: . Интегрируем обе части последнего равенства: . Учитываем то, что и сокращаем обе части равенства на : . Произвольную постоянную удобно представить в виде . Тогда , откуда и получаем ответ . Учтем заданное условие . Следовательно, искомое частное решение есть .

2) Однородные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение называется однородным, если – однородная функция нулевой степени.
Дифференциальное уравнение первого порядка в симметричной форме является однородным, если – однородные функции одной степени.
Замена приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример

Решить уравнение . Найти решение, удовлетворяющее начальному условию .

Данное уравнение однородное. Произведя замену , получим (здесь мы учли, что ). Сокращаем на . Учитывая, что , получим . Интегрируем полученное равенство: . Обозначая и учитывая , получаем ответ . Для данного начального условия : . Следовательно, искомое частное решение есть .

3) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения вида называются линейными. Существуют несколько методов их решения: метод Бернулли, метод Лагранжа, метод интегрирующего множителя.
Метод Бернулли
Решение уравнения ищется в виде . При этой замене получаем: Функцию выбирают из условия . Полученную функцию подставляют в уравнение (учитываем ), решая которое находят функцию .
Пример
Решить уравнение .

Полагая и учитывая , получим . Преобразуем полученное уравнение: . Функцию выберем из условия u`+ 2xu = 0. Учитывая , получаем . Интегрируем это равенство: (см. примечание).
Подставляя полученный результат в уравнение , и учитывая, что при , получим . Сократим последнее равенство на и учтем . Учитывая , ответ будет таким: .
Примечание
При интегрировании равенства , получается результат , откуда следует, что или . Однако в методе Бернулли нас интересует не все множество функций , а лишь одна функция из этого множества. Проще всего принять и выбрать , тогда .