 |
Разностью отношений r и s называется множество кортежей, принадлежащих r, но не принадлежащих s. Для этой операции также требуется одинаковая арность отношений.
|
|
|
|
r – s
| a | b | a |
| c | b | d |
Заметим, что с помощью операции разности может быть реализовано удаление кортежа из имеющегося отношения. В этом случае r – исходное отношение, s – отношение, содержащее один удаляемый кортеж.
Декартово произведение r ´ s
Пусть r и s – отношения арности k1 и k2 соответственно. Декартовым произведением r´s называется множество кортежей длины k1+k2, первые k1 компонентов которых образуют кортежи, принадлежащие r, а последние k2 – кортежи, принадлежащие s.
r ´ s
| a | b | a | b | g | a |
| a | b | a | d | a | f |
| d | a | f | b | g | a |
| d | a | f | d | a | f |
| c | b | d | b | g | a |
| c | b | d | d | a | f |
Проекция 
Проекция есть множество кортежей, получаемых из кортежей отношения r выбором столбцов с именами Ai1, Ai2, …, Aim.
Другими словами, это операция построения «вертикального» подмножества, получаемого путем выбора определенных атрибутов и исключения остальных. Повторяющиеся кортежи исключаются.
| a | a |
| d | f |
| c | d |
Выбор (селекция) sF (r)
Пусть F – формула, образованная: операндами, являющимися константами или именами атрибутов, арифметическими операторами сравнения, логическими операторами (и, или, не), тогда выбором (селекцией) sF называется множество кортежей, компоненты которого удовлетворяют условию, заданному формулой F.
| s (1)=(3) (r)= | a | b | a |
Здесь F:(1)=(3) – содержимое первого столбца равно содержимому третьего столбца.
Приведем ряд примеров представления запросов с помощью формальных операций для реляционной модели (СТУДЕНТ, ФАКУЛЬТЕТ, СПЕЦИАЛЬНОСТЬ), рассмотренной выше.
Пример 1.
Сформировать список студентов (фамилия).
Рассмотрим схему отношения СТУДЕНТ.
Атрибут «Фамилия» обозначен здесь А 1 Для ответа на запрос необходимо взять проекцию отношения r 1 на столбец А 1.
|
|
|
. 
Пример 2.
Выдать список фамилий и дат рождений студентов, которым на текущую дату (tek_date) больше 35 лет.
Рассмотрим то же отношение r 1. Сначала выбираем студентов, которым больше 35 лет:
.
Затем берем проекцию полученного отношения на столбцы
.
.
Заметим, что можно было бы выполнить эти две операции в другой последовательности – сначала проекция, а затем селекция. Предлагается оценить, какой из этих вариантов лучше по оценке числа выполняемых элементарных действий и объему требуемой памяти.
Пример 3.
Выдать список фамилий студентов, обучающихся по специальности «Информационные технологии». Название специальности является атрибутом отношения r 3. Если бы в этом отношении присутствовал атрибут «фамилия», то задача решалась бы аналогично примеру 2. В отношении r 3 присутствует атрибут «код студента», а «фамилия» присутствует в отношении r 1. Для ответа на этот запрос необходимо связывать по «код студента»отношение r 3и отношение r 1.
Сначала выберем из отношения r 3кортежи с названием специальности «Информационные технологии». Обозначим полученное отношение rp 1. (Дальнейшие промежуточные отношения будем обозначать последовательно rp 1, rp 2, rp 3и т.д.).
.
Далее нас будет интересовать только атрибуты A 1 – «код студента»
. Поэтому возьмем проекцию на эти столбцы.
.
Далее необходимо связать отношения отношения r 1 и rp 2(склеить таблицы). Для склейки таблиц используется операция «декартово произведение»:
.
В отношении Rr 3 присутствуют два одинаковых столбца: A 1 из отношенийя r 1 и A 1 из отношения rp 2. Выбирая из отношения rp 3строки, в которых значения в соответствующих столбцах совпадают, получим сведения о студентов, обучающихся по специальности «Информационные технологии»
,
R 4 = sentrant. entrant_id = R2. entrant_id (R 3),
где A 1 × r 1 и A 1 × rp 2
|
|
|
обозначают соответственно столбец A 1 соответствующей первой и второй составной части декартова произведения. Теперь осталось только выбрать фамилии соответствующих студентов
.
Получаем требуемый результат. Заметим, что для экономии действий и памяти, перед тем как склеивать таблицы, целесообразно было сделать операцию проекции отношения отношения r 1 на столбцы столбцы A 1, A 2.
(чтобы не включать в декартово произведение лишние столбцы).
Введенные пять основных операций реляционной алгебры позволяют реализовать любой запрос к реляционной базе данных. Однако наряду с основными операциями достаточно часто удобно использовать так называемые дополнительные операции реляционной алгебры (которые могут быть выражены через основные).
Пересечение r Ç s
Пересечением отношений r и s называется множество кортежей, принадлежащих как r, так и s. Пересечение может быть выражено через операции разности
r Ç s = r – (r – s).
q -соединение 
q-соединение r и s по столбцам Ai и Aj представляет собой множество таких кортежей в декартовом произведении r и s, что i-й компонент r находится в отношении q c j-м компонентом s, где q – арифметический оператор сравнения. Если q является оператором равенства, то эта операция называется эквисоединением
,
|
|
|
