Операции над векторами и их свойства

Равенство матриц

А=В, если 1. А_[mxn]=B_[mxn]

2. a_ij=b_ij

Соответствующие элементы – элементы с одинаковыми индексами

Две матрицы равны если они совпадают и их размерности равны

Операции над матрицами

I. Сложение

С_[mxn]= А_[mxn]+B_[mxn], если с_ij= a_ij+b_ij

Свойства сложения матриц

1. Коммутативность (переместительный закон)

А+В=В+А

Доказательствo:

Пусть С_[mxn]=А_[mxn]+B_[mxn], D_[mxn]=B_[mxn]+A_[mxn],

А) Размерности С и В совпадают

Б) с_ij= a_ij+b_ij, по определению

d_ij= b_ij+a_ij, но т.к. a_ij и b_ij – числа, то a_ij+b_ij= b_ij+a_ij→ c_ij=d_ij→C=В

1. Ассоциативность (Сочетательный закон)

(A+B)+C=A+(B+C)

Доказательствo:

D’=A+B, D=D’+C, P’=B+C, P=A+P’

А) Размерность D’_[mxn]=A_[mxn]+B_[mxm]

D_[mxn]=D’_[mxn]+C_[mxn], аналогично для P_[mxn]

Б)d’_ij= a_ij+b_ij; d_ij=d’_ij+c_ij= (a_ij+b_ij) +c_ij

p’_ij= b_ij+a_ij; p_ij=p’_ij+a_ij= a_ij+(b_ij +c_ij)

Для чисел aij, b_ij, c_ij справедливо равенство (a_ij+b_ij) +c_ij = a_ij+(b_ij +c_ij) →p_ij=d_ij→P=В

1. Нейтральный элемент относительно сложения

Θ такая, что Θ + А =А+ Θ=А

А) Размерности совпадают

Б) Θ_ij+a_ij=a_ij+Θ_ij→ Θ_ij=0

II. Вычитание

С=A-B, если А=В+С

c_ij=a_ij-b_ij

Противоположные матрицы – матрицы сумма которых равна 0.

Нулевая матрица – матрица все элементы которой равны 0

О=

2.

II. Умножение матрицы на число

С=k*A, если

1) с_ij=ka_ij

2) размерности совпадают

Свойства операции

1. k(A+B)=kA+kB

2. (k+n)A=kA+nA

3. (kn)A=k(nA)=n(kA)

4. Вычитание можно представить как сложение с обратной матрицей

A-B=A+(-1)B

3.

IV. Транспонирование матриц

A= A^т=

C_[mxn]=(A_[mxn])^т, если с_ij=a_ji

Свойства

1. (A+B)^т=А^т+В^т
2. (nA)^т=nA^т

Доказательствo: С=А^т, если c_ij=a_ji

B=nA, C=B^т (слева)

D=A^т, P=nD (справа)

А) Размерности B=nA

C=B^т, D=A^т, P=nD

б) Посвойству умножения элементы В совпадают с элементами А умноженными с тем же числом

b_ij=na_ij (слева)

d_ji=a_ij,p_ji=nd_ji=na_ij

→p_ji=c_ji→B=C

1. (А^т)^т=А

4.

V. Произведение матриц

A_[mxn]*B_[nxr]=C_[mxr]

Согласованные матрицы -матрицы число столбцов 1 матрицы равно числу строк во 2

Если А и В согласованны то В и А не всегда

С называется произведением A*B, если

1. C_[mxn] =A_[mxr]*B_[rxn]

2. с_ij=

Элемент матрицы С, стоящий в i-й строке и j-м столбце равен сумме попарных произведений элементов i строки матрицы А на соответствующие элементы о столбца матрицы В.

Свойства

1. AB≠BA
2. (AB)C=A(BC) (без док)
3. A(B+C)=AB+AC
4. n(AB)=A(nB)
5. (AB)^т=В^тА^т

VI. Нейтральный элемент относительно умножения – единичная матрица (Е)

AE=A=EA

Единичная матрица – квадратная матрица все элементы которой, расположенные на гланой диагонали равны 1, а остальные 0.

E_ij=1, при i=j

VII. Умножение на нулевую матрицу

A_[mxn] Θ_[nxr]= Θ_[mxr]

5.

VIII. Возведение матрицы в степень

(A_[mxn])^k=AAAAAA…(k раз)

6.

Квадратная матрица – матрица у которой i=j.

Определитель матрицы – число.

Порядок определителя - количество строк или столбцов.

Теорема разложения.

Определитель матрицы А n-го порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения.

7.

D₃=a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₂₁a₃₂a₁₃ – a₃₁a₂₂a₁₃ – a₃₂a₂₃a₁₁ – a₂₁a₁₂a₃₃

Вывод правила треугольников.

8.

Свойства определителя n-го порядка

1. Если у определителя поменять 2 строки, то определитель изменит знак.
2. Если есть нулевая строка, то определитель равен 0.
3. Если все элементы строки умножить на число, то определитель увеличиться на это число.
4. Определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы.
5. det(AB)=detA*debt(без док)
6. , если i≠j.

9.

Обратные матрицы

Матрица А^-1 называется обратной для А, если А^-1А=АА^-1=Е→А – квадратная матрица.

Вырожденная матрица – матрица определитель которой не равен 0

Теорема: Если А не вырожденная, то существует одна А^-1.

Доказательство:

Пусть А_[nxn]= det(a)=0 S= A^-1=1/Δn*S^т

AA^-1=E

A(1/Δn*S^т)=E

(1/Δn)* * =(1/Δn)* = =(1/Δn)* =

Доказательство единственности:

Предположим, что есть 2 обратных матрицы для А..

A^-1 и В

А^-1А=АА^-1=Е

BA=AB=E (1-2)

А^-1А-BA= АА^-1-AB=E-E

A(A^-1-B)=A(A^-1-B)=0

A^-1-B=0 => (a^-1)_ij=b_ij => A^-1=B.

10.

Матричные уравнения

A^-1|AX=В→ EX=A^-1B→ X=A^-1B

A – матрица коэффициентов, X – столбец неизвестных.

11.

Системы n уравнений

X=A^-1B= =

12.

Формула Крамера.

, Δ_i-определитель полученный из матрицы А если в ней столбец заменить на столбец свободных членов. Вывод

Теорема Крамера.

Система из n линейных уравнений м n неизвестными, определитель которой отличен от 0, имеет единственное решение, которое может быть найдено по формуле Крамера.

13.

Минор матрицы

Ранг матрицы

1. Если в матрице А выделить k строк и k столбцов, то определитель составленный из элементов, стоящих на пересечении этих строк и столбцов называется минором k-го порядка матрицы А. Ранг матрицы – наивысший порядок минора отличный от 0
2. Элементы S₁, S₂…S_n называются линейно зависимыми, если существует набор чисел n₁, n₂…n_n такой что n₁S₁+n₂S₂+…+n_nS_n=0 и хотя бы одно из чисел n_i≠0. Если это выполняется при всех т=0, то элементы называются не линейно зависимыми. Ранг матрицы – количество линейно независимых строк или столбцов этой матрицы.

14.

Теорема Кронехера-Копелли

Система из m линейных уравнений с n неизвестными совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы А равен рангу расширенной матрицы, причем:

1. если rA=rÂ=n – 1 решение.
2. если rA=rÂ<n - ∞ решений.
3. если rA≠rÂ≤n - нет решений.

16.

Совместная система – система, имеющая хотя бы 1 решение.

Решение системы – набор чисел такой, что при подстановке в систему каждое уравнение превращает в равенство.

Общее решение – решение из которого можно получить все частные решения

1. Все неизвестные выражаются через 1 параметр (кол-во неизвестных = n-rA)

2. Все базисные неизвестные выражаются через свободные члены.

Свободное неизвестное – неизвестное в ответе, остальные – базисные

Алгоритм Гаусса

1. Найти a_i1≠0 и поставить на первое место
2. S₁→S₁:a₁₁
3. S_i→S_i-a_i1S₁, где i=2,3...m
4. Ищем a_j2≠0(j≠1) и т.д. если a_j2=0 при любом j=2…m, то ищем a_j3≠0 (j≠1).

18.

Операции над векторами и их свойства

1. Сложение

А)

Б)

В)

Г)

Противоположные вектора – вектора модули которых равны, но направление противоположное.

19.

1. Умножение вектора на число

, если а)

Свойства

1.

2.

3.

4.

Орт вектора – единичный вектор сонаправленный с данным вектором.

20.

Ось – прямая с заданным направлением.

Проекция точки – основание перпендикуляра, опущенного из точки на ось.

Пр_eAB=|AB| или -|AB|

Свойства проекции.

1. Пр_еAB=|AB|cosA

Доказательство: 1.A-острый Из треуг. ABB’’: |AB’’| =|AB|cosA

 

 

2. A-тупой B=180-A |CC’|=|DC|cosB=|DC|cos(Pi-A)=-|DC|cosA =>

=>|D’C’|=-|DC|cosA

2. Пр_еAB+Пр_еВС=Пр_е(АВ+ВС)

Доказательство:

1.А₁-угол между AB и e A₂ – угол между ВС и е острые

Пр_еАВ=|А’В’| Пр_еВС=|В’С’ | Пр_е(АВ+ВС)=|В’С’|+|А’В’| =|A’C’|

2.А₁- острый A₂ – тупой

Пр_еАВ=|А’В’| Пр_еВС=-|В’С’ | Пр_е(АВ+ВС)=|В’С’|-|А’В’| =|A’C’|

3.k*Пр_ea=Пр_еka

Доказательство:

1. K>0 => ka||a => угол не меняется

Пр_еа=|a|cosA Пр_еka=|ka|cosA=|k|Пр_еа

2. K<0 => угол между ka и e =Pi-A

Пр_eka=|ka|cos(Pi-A)=|k||a|(-cosA)=-|k||a|cosA=kПр_ea

21.

ab=|a||b|cosA

Свойства

1. Пр_еа=|a|cosA=ab/|b|

Пр_аb=|b|cosA =>ab/|a|

=> ab=|b|Пр_ba=|a|Пр_аb

2. a(b+c)=ab+ac

Доказательство: ab=|a|Пр_ab ac=|a|Пр_ас

Пр_а(b+c)=Пр_аb +Пр_ас =>|a|Pr_a(b+c)=|a|Pr_ab+|a|Pr_aс => a(b+c)=ab+ac

3. (na)b=a(nb)=n(ab)

Доказательство: a(nb)=|a|Pr_abn=|a|nPr_ab=n(ab)

4. Два ненулевых вектора а≠0, b≠0 перпендикулярны когда ab=0 и наоборот.

Доказательство: 1. если a┴b, то угол A=90^o => cosA=0, то ab=0

5. Связь между длиной вектора и скалярным произведением.

Aa=|a||a|=|a|²=> |a|=

22.

c=axb, если

1. |c|=|a||b|sinA

2. c┴a c┴и

3. a b с образуют первую тройку векторов

Свойства

1. геометрический смысл S=axb
2. axb=-bxa
3. ax(b+c)=axb+cxa
4. Умножение вектора на число (na)xb=ax(nb)=n(axb)

23.

Смешанное произведение векторов

C(axb)=a(bxc)=abc

V=abc

24.

12Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: