Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Основы теории заданных для исследования методов

Исследование основных методов решения нелинейных уравнений

Отчет о лабораторной работе №2

по курсу “Компьютерные технологии вычислений

в математическом моделировании”

ЯГТУ 220301.65-002 ЛР

Отчет выполнили

студенты гр. МА-34

Пестов В.Н.

Хлюпин А.А.

Основная задача

Проведение сравнительного анализа работоспособности и эффективности различных методов решения нелинейных уравнений на примере функций с различными свойствами.

Основы теории заданных для исследования методов

Метод деления пополам

Состоит из следующих операций: сначала вычисляют значения функции в точках, расположенных через равные интервалы по оси x. Это делают до тех пор, пока не будут найдены два последовательных значения функции и , имеющие противоположные знаки. Затем по формуле

вычисляют середину промежутка и находят значение функции . Если знак совпадает со знаком , то в дальнейшем вместо используют . Если же имеет знак, противоположный знаку , т.е. ее знак совпадает со знаком , то на заменяют это значение функции. В результате интервал, в котором заключено значение корня, сужается. Если значение достаточно близко к нулю, процесс заканчивают, в противном случае его продолжают.

Метод касательных

В основе метода лежит разложение функции в ряд Тейлора

Члены, содержащие во второй и более высоких степенях, отбрасывают; используется соотношение . Предполагается, что переход от к приближает значение функции к нулю так, что . Тогда

Значение соответствует точке, в которой касательная к кривой в точке пересекает ось . Так как кривая отлична от прямой, то значение функции скорее всего не будет в точности равно нулю. Поэтому всю процедуру повторяют, причем вместо используют . Счет прекращается по достижении достаточно малого значения .

Метод параболической аппроксимации

В этом методе функция заменяется параболической функцией. На первом этапе параболу строят по трем точкам: крайним и средней точкам интервала , где отделен корень. По полученному уравнению параболы находят приближенный корень, для чего решают уравнение . На втором этапе строят параболу по трем точкам: найденному приближенному корню и двум предыдущим точкам, лежащим по разные стороны оси . Такая процедура повторяется много кратно до тех пор, пока величина отрезка, внутри которого находится корень, не будет меньше - предварительно заданной погрешности.

Метод простой итерации

Для применения этого метода уравнение представляют в следующем виде:

Затем выбирают начальное значение и подставляют его в левую часть уравнения. Соответствующая итерационная формула имеет вид

Исходные данные

Выбрана моделирующая функция №6:

2.1 Параметры гладкой функции с пологим пересечением оси x:

A=1; B=1; C=1; D=15.5;

Вид функции:

Рисунок 1. Моделирующая функция

Интервал Xmin=-2; Xmax=2;

2.2 Параметры гладкой функции с крутым пересечением оси x:

A=6; B=1; C=12; D=1;

Вид функции:

Рисунок 2. Моделирующая функция

Интервал Xmin=-2; Xmax=2;

2.3 Параметры колебательной функции с крутым пересечением оси x:

A=5; B=1; C=10; D=1;

Вид функции:

Рисунок 3. Моделирующая функция

Интервал Xmin=-5; Xmax=5;

Результаты работы

Модельная функция №6 Уравнение: Ax^B+Csin(x+D) Параметры: A=1; B=1; C=1; D=15.5; Интервал Xmin=-2; Xmax=2;
Метод	Погрешность по x ε_x=0.0001	Погрешность по y ε_y=0.0001
x*	f(x*)	I	N_ф	x*	f(x*)	I	N_ф
Деления пополам		0.20647			-0.89063	-0.00006
Касательных	0.3375	0.20833			-0.89053	-0.00001
Параболической аппроксимации	-0.96159	-0.04101			Метод расходится
Простой итерации	-0.89044	0.00002			-0.89044	0.00002

Выводы: в рассматриваемых методах наиболее предпочтительным оказался останов вычислений при достижении заданной погрешности по y, т.е. . При решении задачи метод Ньютона сошелся всего за 3 итерации, но говорить, что он наиболее эффективен нельзя, так как данный метод предполагает помимо вычисления функции определение производной на каждой итерации, что требует больших затрат памяти и машинного времени. Наиболее оптимальным является использование метода деления пополам, который обеспечивает неплохую сходимость (7 итераций), высокую точность и не требует вычисления производных.

Модельная функция №6 Уравнение: Ax^B+Csin(x+D) Параметры: A=6; B=1; C=12; D=1; Интервал Xmin=-2; Xmax=2;
Метод	Погрешность по x ε_x=0.0001	Погрешность по y ε_y=0.0001
x*	f(x*)	I	N_ф	x*	f(x*)	I	N_ф
Деления пополам		10.09765			-0.66242	0.00003
Касательных	-0.22987	6.97553			-0.66242
Параболической аппроксимации	-0.66242				-0.66242
Простой итерации	-0.66238	0.00014			-0.66238	0.00014

Выводы: для «крутой» функции останов вычислений производят при достижении требуемой точности по y: . Из рассматриваемых методов наибольшей сходимостью обладает метод Ньютона, но в силу необходимости определения производных на каждой итерации принимаем метод простой итерации наиболее эффективным.

Модельная функция №6 Уравнение: Ax^B+Csin(x+D) Параметры: A=5; B=1; C=10; D=1; Интервал Xmin=-5; Xmax=5;
Метод	Погрешность по x ε_x=0.0001	Погрешность по y ε_y=0.0001
x*	f(x*)	I	N_ф	x*	f(x*)	I	N_ф
Деления пополам		8,41447			-0,66242	-0,00009
Касательных	0,62858	13,12621			-0,66242
Параболической аппроксимации	-0,66242				-0,66242	0,00008
Простой итерации	-0,66234	0,00050			-0,66234	0,00050

Выводы: для «крутой» функции останов вычислений производят при достижении требуемой точности по y: . Наиболее эффективный метод для решения данной задачи – метод параболической аппроксимации, обладающий самой высокой скоростью сходимости.