 |
О численных решениях дифференциальных уравнений
|
|
|
|
Лабораторная работа № 2
Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера.
Вариант 16
Выполнила: студентка группы УР-21 Хмелевская С. А.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
О ЧИСЛЕННЫХ РЕШЕНИЯХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Пусть необходимо найти решение уравнения
(1)
с начальным условием 
. Такая задача называется задачей Коши.
Разложим искомую функцию 
в ряд вблизи точки 
и ограничимся первыми двумя членами разложения
.
Учтя уравнение (1) и обозначив 
, получаем
Эту формулу можно применять многократно, находя значения функции во все новых и новых точках.
(2)
Такой метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений называется методом Эйлера.
Геометрически метод Эйлера означает, что на каждом шаге мы аппроксимируем решение (интегральную кривую) отрезком касательной, проведенной к графику решения в начале интервала. Точность метода невелика и имеет порядок h. Говорят, что метод Эйлера – метод первого порядка, то есть его точность растет линейно с уменьшением шага h.
Существуют различные модификации метода Эйлера, позволяющие увеличить его точность. Все они основаны на том, что производную, вычисленную в начале интервала, заменяют на среднее значение производной на данном интервале. Среднее значение производной можно получить (конечно же только приближенно) различными способами. Можно, например, оценить значение производной в середине интервала 
и использовать его для аппроксимации решения на всем интервале
Можно также оценить среднее значение производной на интервале
.
Такие модификации метода Эйлера имеет уже точность второго порядка.
|
|
|
Оценку значения производной можно улучшить, увеличивая число вспомогательных шагов. На практике наиболее распространенным методом решения обыкновенных дифференциальных уравнений является метод Рунге-Кутты четвертого порядка. Для оценки значения производной в этом методе используется четыре вспомогательных шага. Формулы метода Рунге-Кутты следующие
,
,
,
,
,
.
Перечисленные методы можно применять и для решения систем дифференциальных уравнений. Поскольку многие дифференциальные уравнения высших порядков могут быть сведены заменой переменных к системе дифференциальных уравнений первого порядка, рассмотренные методы могут быть использованы и для решения дифференциальных уравнений порядка выше первого.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Решить дифференциальное уравнение 
, x 0 = x min= e,x max= e + 1,
y o= 1
|
|
|
Б) Решим ту же систему уравнений методом Гаусса.
В перечисленных классах запрещается применение спортивной резины (исключение класс «Спорт» и «Абсолют»
В цикле развития хламидий наблюдается три стадии. Какая из перечисленных стадий обладает инфекционными свойствами?
Вопрос 36. Система векторных уравнений типа Эйлера-Пуассона. Существование и единственность решения.
Довести до собственников МКД о решениях принятых на общем собрании – не позднее чем через 10 дней со дня принятия решения (Приложение 4).
Задание 7 Доказать совместность системы линейных уравнений и решить ее по методу Крамера и матричным способом.
Задача Коши для систем линейных дифференциальных уравнений. Общие свойства. Определитель Вронского. Формула Остроградского – Лиувилля.
Исключение параметра из параметрических уравнений на плоскости( в пространстве), канонические уравнения прямой.
І Раздел. Уравнения и неравенства. Линейные системы уравнений и неравенств.
Как исследовать систему линейных уравнений на совместность?
