Немного о комплексных числах и векторах

Закон Ома в комплексной форме

Закон Ома в комплексной форме удобно применять для расчётов и исследования (анализа) электрических цепей синусоидального тока. Выражаясь более точно — это линейные цепи с установившимися режимом работы, когда после окончания в них переходных процессов, падения напряжений на участках, токи в ветвях и ЭДС источников, являются синусоидальными функциями времени.

В тех случаях, когда установившийся режим в электрической цепи отличается от синусоидальной функции, Закон Ома в комплексной форме не применим. Например, в тех случаях, когда форма тока в ветвях имеет форму меандра, информационных цифровых сигналов, случайных импульсов и т. п.

В промышленности используется трёхфазная система переменного (alternating current) синусоидального тока характеризующегося частотой тока f измеряемой в Гц (Герц) и действующим значением напряжения U (Вольт). Именно действующее значение напряжения, а также тока, пишется в технической документации на электрооборудования, именно на измерение действующих значений напряжения и тока отградуированы шкалы электроизмерительных приборов таких как вольтметр и амперметр. Поэтому для выполнения многих расчётов в электротехнических цепях удобно применять Закона Ома в комплексной форме, и соответственно, символический метод расчёта. Не стоит забывать, что для расчёта сложных цепей необходимо знать ещё и Правила Кирхгофа.

Чем же Закон Ома в комплексной форме отличается от своей обычной не комплексной записи? Отличие в том, что напряжения, ЭДС, токи и сопротивления записываются как комплексные числа, причём есть значительное отличие в записи сопротивления и проводимости. Спрашивается. Для чего пришлось всё так усложнять? Вроде бы всё просто, есть соотношение, записанное в виде пропорции, а тут ещё необходима комплексная математика. Оказывается не всё так просто как кажется на первый взгляд. Казалось бы, берём и делим значение падения напряжения, которое узнали путём измерения, на сопротивление, которое также измерили прибором. В итоге должны получить значение силы тока, и действительно, какое-то значение мы вычислим, но будет ли оно верным? Вполне возможно что да, но далеко не всегда. Особенность в том, что в цепях переменного тока (alternating current) существуют так называемые активные и реактивные значения токов, напряжений и сопротивлений. Это вносит в расчёты свои математические коррективы.

Метод комплексных чисел, или иначе, символический метод, это значительное упрощение, а проще сказать, избавление, от необходимости решать сложные дифференциальные уравнения при расчёте электрических цепей.

Если в цепях постоянного тока (direct current) в установившемся режиме в принципе не может быть такого, когда ток в цепи есть, а падения напряжения на нагрузке нет, или же наоборот, когда имеется падение напряжения, цепь замкнута, но ток отсутствует в ветви, то в цепях переменного тока, в том числе в цепях синусоидального тока такое вполне возможно. Это важное отличие, которое не позволяет применять Закон Ома для цепей переменного тока (AC) точно также как он применяется в цепях постоянного тока (DC). Исключением здесь может быть только тот случай, когда расчёт ведётся в однофазной цепи переменного тока только для активной нагрузки. Обычно это ветвь осветительной электросети, где почти вся нагрузка активная. Совсем иначе дела обстоят там где появляется реактивная нагрузка, особенно в многофазных системах.

Немного о комплексных числах и векторах

Любое комплексное число, то есть такое, которое состоит как бы из двух половинок, мнимой (Im) и реальной (Re) (вещественной), можно изобразить как вектор в полярных координатах. Такой вектор будет иметь модуль и аргумент в виде угла поворота относительно начала координат. Модуль можно также назвать амплитудой, а аргумент — начальной фазой. Этот вектор можно изобразить графически, записать в тригонометрической, показательной и алгебраической формах в виде комплексного числа.

Следует помнить, что электрические величины всего лишь символически изображаются в виде комплексных чисел. За каждым символом находится реальное физическое явление. В реальной электрической цепи не существует токов в виде мнимого и вещественного. Нельзя путать символическое представление в методе (изображение) с физическим явлением (оригинал). Комплексный метод, или как его иначе называют символический метод, всего лишь удобный способ решения электрических цепей. Этот метод имеет свои границы применения.

Перед тем, как рассмотреть символическую запись электрических величин, таких как: сопротивление, проводимость, напряжение, ток, ЭДС, рассмотрим операции с комплексными числами. Они изображены на картинке ниже. Комплексные числа складываются, делятся, умножаются, возводятся в степень. Для применения Закона Ома в комплексной форме нужно овладеть навыками оперирования комплексными числами.