 |
Последовательное соединение элементов
|
|
|
|
 |
Пусть n элементов активного сопротивления соединены последовательно (рисунок 7).
Рис.7.
В соответствии с выбранным направлением обхода по второму закону Кирхгофа получим уравнение:
.
характерной особенностью последовательного соединения является равенство токов в каждом из элементов, входящих в соединение.
При 
запишем:
, то есть 
.
Таким образом, при последовательном соединении нескольких резисторов эквивалентное сопротивление равно сумме сопротивлений, входящих в соединение.
При последовательном соединении катушек индуктивности (рисунок 8) можно записать:
.
 |
Рис.8.
Если 
, то 
,
следовательно 
.
Это означает, что эквивалентная индуктивность равна сумме индуктивностей, входящих в последовательное соединение.
В случае последовательного соединения конденсаторов (рисунок 9) по второму закону Кирхгофа можно записать:
 |
.
Рис.9.
Заменяя 
получим: 
.
Обратная ёмкость всех конденсаторов, соединенных последовательно, равна сумме обратных ёмкостей конденсаторов, входящих в соединение:
.
При этом эквивалентная ёмкость соединения будет меньше наименьшей ёмкости конденсатора, входящего в последовательное соединение.
Расчет сложных цепей с помощью уравнений Кирхгофа
Пример 1
Далеко не во всех случаях цепь представляет собой совокупность лишь последовательно и параллельно соединенных ветвей. В качестве примера рассмотрим вариант расчета с помощью уравнений Кирхгофа электрической цепи (рисунок 10). Цепь содержит 
= 4 узлов и 
= 6 ветвей, включая источники напряжения.
 |
Рис.10.
Для определения всех токов и напряжений в схеме достаточно найти значения токов во всех ветвях цепи. Зная ток, проходящий через любую из ветвей цепи, можно найти как напряжение этой ветви, так и напряжение между любой парой узлов цепи.
|
|
|
Если мы зададимся произвольно положительными направлениями токов в ветвях цепи и пронумеруем произвольно эти токи, то по первому закону Кирхгофа можно составить 
уравнений относительно токов в ветвях цепи.
По второму закону Кирхгофа будет 
линейно-независимых уравнений для напряжений 
ветвей схемы.
Совокупность из уравнений по первому закону Кирхгофа, и 
уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, образует систему 
линейно – независимых уравнений. Эта система будет неоднородной системой уравнений, так как ее свободными членами являются заданные напряжения источников.
Подобная система уравнений имеет единственное решение, позволяющее найти токи в ветвях цепи, а по ним и значения напряжений между любой парой узлов цепи.
Для примера составим систему уравнений по первому закону Кирхгофа (рисунок 10).
Число уравнений: 
.
Узел 1: 
,
узел 2: 
,
узел 3: 
.
В тоже время по второму закону Кирхгофа для контуров I, II, III можно составить систему из 
уравнений.
.
Контур I: 
,
контур II: 
,
контур III: 
.
Таким образом, решая систему из 6 уравнений с шестью неизвестными токами, например по методу Крамера, определим неизвестные. Если в цепи будет источник тока, то в системе уравнений неизвестным будет напряжение на зажимах этого источника, а ток через источник будет равен току задающего источника. Общее число неизвестных сохранится прежним.
Пример 2
Для цепи (рисунок 11) определить токи 
и 
, если E = 20 В, I 0 = 2 A, R 1 = 15 Ом, R 2= 85 Ом.
 |
Рис.11.
Решение
Выберем направления токов , и обхода в контуре, составим уравнения по законам Кирхгофа. Число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа:
.
Число уравнений по второму закону Кирхгофа:
|
|
|
.
Уравнение токов для узла 1:
. (a)
Уравнение по второму закону Кирхгофа:
. (б)
Подставим в уравнения (а) и (б) числовые значения получим:
,
.
Решив эту систему, определим токи и 
:
; 
.
Литература
1. Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей. – М.: Радио и связь, 1986.
2. Бакалов В.П. и др. Теория электрических цепей. – М.: Радио и связь, 1998.
3. Качанов Н. С. и др. Линейные радиотехнические устройства. М.: Воен. издат., 1974.
4. В.П. Попов Основы теории цепей – М.: Высшая школа, 2000
|
|
|
12 |
