 |
Умножение вектора на скаляр
|
|
|
|
Задача 1.
Определить импульс тела массой 2,0 кг, движущегося со скоростью, модуль которой 5,0 м / с (рис. 10).
Импульс тела 
; модуль импульса 
, импульс направлен в сторону скорости 
.
Задача 2.
Заряд q = −7,5 нКл помещен в электрическое поле с напряженностью, модуль которой E = 400 В/м. Найти модуль и направление силы, действующей на заряд.
Сила равна 
. Так как заряд отрицательный, то вектор силы 
направлен в сторону, противоположную вектору 
(рис. 11).
Модуль силы 
.
Задача 3.
Найти работу постоянной силы, модуль которой F = 20 Н, если перемещение S = 7,5 м, а угол α между силой и перемещением α = 120О.
Работа силы равна по определению скалярному произведению силы и перемещения
.
Задача 4.
Определить силу, действующую на проводник длиной 0,2 м, помещенный в магнитном поле, индукция которого 5 Тл, если сила тока в проводнике 10 А и он образует угол α = 30О с направлением поля.
Сила Ампера: 
, где 
– вектор, модуль которого равен длине проводника, а направление совпадает с направлением электрического тока в проводнике.
Модуль силы Ампера:
.
Задача 5.
Как направлены два вектора, модули которых одинаковы и равны a, если модуль их суммы равен: а) 0; б) 2 а; в) а; г) 
; д) 
.
а) Два вектора направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны. Сумма этих векторов равна нулю.
б) Два вектора направлены вдоль одной прямой в одном направлении. Сумма этих векторов равна 2 a.
в) Два вектора направлены под углом 120° друг к другу. Сумма векторов равна a. Результирующий вектор находим по теореме косинусов:
.
г) Два вектора направлены под углом 90О друг к другу. Модуль суммы равен:
.
д) Два вектора направлены под углом 60О друг к другу. Модуль суммы равен:
|
|
|
.
Ответ: угол α между векторами равен: а) 180О; б) 0; в) 120О; г) 90О; д) 60О.
Задача 6.
Если 
, то что можно сказать о взаимной ориентации векторов 
и 
, если: а) a = a 1 + a 2; б) a 2 = a 12 + a 22; в) 
.
а) Если сумма векторов находится как сумма модулей этих векторов, то вектора направлены вдоль одной прямой, параллельно друг другу 
.
б) Если вектора направлены под углом друг к другу, то их сумма находится по теореме косинусов для параллелограмма:
,
вектора перпендикулярны друг другу 
.
в) Условие может выполниться, в случае если − нулевой вектор, тогда 
.
Ответы: а) ; б) ; в) − нулевой вектор.
Задача 7.
Две силы по 1,42 H каждая приложены к одной точке тела под углом 60О друг к другу. Под каким углом надо приложить к той же точке тела две силы по 1,75 H каждая, чтобы действие их уравновешивало действие первых двух сил?
Первый способ решения
По условию задачи две силы по 1,75 Н уравновешивают две силы по 1,42 Н. Это возможно, если равны модули результирующих векторов пар сил. Результирующий вектор определим по теореме косинусов для параллелограмма. Для первой пары сил: 
,
для второй пары сил: 
.
Приравняв левые части уравнений:
Найдем искомый угол β между векторами:
.
После вычислений:
.
Второй способ решения
Рассмотрим проекцию векторов на ось координат ОХ (рис.).
Воспользовавшись соотношением между сторонами в прямоугольном треугольнике, получим
.
Откуда
.
Задача 8.
Вектор 
. Какова должна быть скалярная величина c, чтобы 
?
Модуль вектора 
будет равен: a 2 = 32 + 42, и a = ± 5, тогда из c·(±5) = 7,5
найдем, что c = ±1,5.
Задача 9.
Угол α между двумя векторами 
и 
равен 60О. Определите длину вектора 
и угол β между векторами и 
. Модули векторов равны a = 3,0 и b = 2,0.
Длину вектора, равного сумме векторов и определим воспользовавшись теоремой косинусов для параллелограмма (рис.).
После подстановки
.
|
|
|
Для определения угла β воспользуемся теоремой синусов для треугольника ABC:
При этом следует знать, что
.
Решая тригонометрическое уравнение, приходим к выражению
,
следовательно,
,
.
Сделаем проверку, воспользовавшись теоремой косинусов для треугольника:
,
откуда
и
.
Ответ: c = 4,4; β = 23°.
Задача 10.
Для векторов и , определенных в задаче 9, найдите длину вектора 
угол γ между и 
.
Задача 11.
Найдите проекцию вектора 
на прямую, направление которой составляет угол α = 30О с осью OX. Вектор и прямая лежат в плоскости XOY.
Задача 12.
Вектор составляет угол α = 30О с прямой АВ, a = 3,0. Под каким углом β к прямой АВ нужно направить вектор (
), чтобы вектор был параллелен АВ? Найдите длину вектора .
Задача 13.
11. Заданы три вектора: 
; 
; 
. Найдите а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
Задача 14.
Угол между векторами и равен α = 60°, a = 2,0, b = 1,0. Найдите длины векторов 
и 
.
Задача 15.
Докажите, что векторы и перпендикулярны, если = {2, 1, −5} и = {5, −5, 1}.
Задача 16.
Найдите угол α между векторами и , если = {1, 2, 3}, = {3, 2, 1}.
Задача 17.
Вектор составляет с осью OX угол α = 30О, проекция этого вектора на ось OY равна ay = 2,0. Вектор перпендикулярен вектору и b = 3,0 (см. рис.).
Вектор . Найдите: a) проекции вектора на оси OX и OY; б) модуль c и угол β между вектором и осью OX; в) ; г) 
.
Задача 18.
Сложить векторы и , изображенные на рисунке.
 | |||||
 | |||||
 | |||||
Задача 19.
Найти разность векторов, изображенных на рисунке.
| |||||
| |||||
| |||||
Задача 20.
Построить сумму и разность векторов 
и 
.
B
А D
Задача 21.
Даны векторы и . Построить вектор 
.
 |
Задача 22.
Найти координаты векторов 
, 
, 
, если А (2; 3), В (̶ 1; ̶ 3), С (̶ 7; 5).
Задача 23.
Даны векторы = (3;5), = (2; ̶ 7). Найти: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
Задача 24.
В равностороннем треугольнике АВС со стороной, равной 6, найти скалярное произведение векторов: а) и ; б) и .
Задача 25.
Найти угол между векторами а) 
и 
; б) 
и 
.
Задача 26.
Найти углы треугольника с вершинами А (6; 7), В (3; 3), С (1; ̶ 5).
|
|
|
