 |
Великая теорема Ферма
|
|
|
|
| m |
Для целых чисел п больше 2 уравнение хп + у = іп не имеет ненулевых решений в натуральных числах
ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА
Вы, наверное, помните со школьных времен теорему Пифагора: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Возможно, вы помните и классический прямоугольный треугольник со сторонами, длины которых соотносятся как 3: 4: S. Для него теорема Пифагора выглядит так:
З2 + 42 = S2.
Это пример решения обобщенного уравнения Пифагора в ненулевых целых числах при n = 2. Великая (ее также называют «Большой теоремой Ферма» или «Последней теоремой Ферма») состоит в утверждении, что при значениях n > 2 уравнения вида х" + у" = zn не имеют ненулевых решений в натуральных числах.
История Великой теоремы Ферма весьма занимательна и поучительна, и не только для математиков. Пьер де Ферма внес вклад в развитие самых различных областей математики, однако основная часть его научного наследия была опубликована лишь посмертно. Дело в том, что математика для Ферма была чем-то вроде хобби, а не профессиональным занятием. Он переписывался с ведущими математиками своего времени, однако публиковать свои работы не стремился. Научные труды Ферма в основном обнаружены в форме частной переписки и обрывочных записей, часто сделанных на полях различных книг. Именно на полях (второго тома древнегреческой «Арифметики» Диофанта. — Прим. переводчика) вскоре после смерти математика потомки и обнаружили формулировку знаменитой теоремы и приписку:
«Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля эти для него слишком узки».
Увы, судя по всему, Ферма так и не удосужился записать найденное им «чудесное доказательство», и потомки безуспешно искали его три с лишним века. Из всего разрозненного научного наследия Ферма, содержащего немало удивительных утверждений, именно Великая теорема упорно не поддавалась решению.
|
|
|
Кто только не брался за доказательство Великой теоремы Ферма — все тщетно! Другой великий французский математик Рене Декарт (René Descartes, 1S96-16S0) называл Ферма «хвастуном», а английский математик Джон Уоллис (John Wallis, 16161703) — и вовсе «чертовым французом». Сам Ферма, правда, все-таки оставил после себя доказательство своей теоремы для случая n = 4. С доказательством для n = 3 справился великий швейцарско-российский математик XVIII века Леонард Эйлер (1707-83), после чего, не сумев найти доказательств для n > 4, в шутку предложил устроить обыск в доме Ферма, чтобы найти ключ к утерянному доказательству. В XIX веке новые методы теории чисел позволили доказать утверждение для многих целых чисел в пределах 200, однако опять же не для всех.
В 1908 году была учреждена премия в размере 100 000 немецких марок за решение этой задачи. Призовой фонд был завещан гер-
манским промышленником Паулем Вольфскелем (Paul Wolfskehl), который, согласно преданию, собирался покончить жизнь самоубийством, но так увлекся Великой теоремой Ферма, что передумал умирать. С появлением арифмометров, а затем и компьютеров планка значений n стала подниматься все выше — до 617 к началу Второй мировой войны, до 4001 в 1954 году, до 125 000 в 1976 году. В конце XX столетия мощнейшие компьютеры военных лабораторий в Лос-Аламосе (Нью-Мексико, США) были запрограммированы на решение задачи Ферма в фоновом режиме (по аналогии с режимом экранной заставки персонального компьютера). Таким образом удалось показать, что теорема верна для невероятно больших значений x, y, z и n, но строгим доказательством это послужить не могло, поскольку любые следующие значения n или тройки натуральных чисел могли опровергнуть теорему в целом.
|
|
|
Наконец в 1994 году английский математик Эндрю Джон Уайлс (Andrew John Wiles, р. 1953), работая в Принстоне, опубликовал доказательство Великой теоремы Ферма, которое после некоторых доработок было признано исчерпывающим. Доказательство заняло более ста журнальных страниц и основывалось на использовании современного аппарата высшей математики, который в эпоху Ферма разработан не был. Так что же тогда имел в виду Ферма, оставляя на полях книги сообщение о том, что доказательство им найдено? Большинство математиков, с которыми я беседовал на эту тему, указывали, что за века накопилось более чем достаточно некорректных доказательств Великой теоремы Ферма, и что, скорее всего, сам Ферма нашел подобное доказательство, однако не сумел усмотреть в нем ошибку. Впрочем, не исключено, что все-таки имеется какое-то короткое и изящное доказательство Великой теоремы Ферма, которое никто до сих пор не нашел. С уверенностью можно утверждать лишь одно: сегодня мы точно знаем, что теорема верна. Большинство математиков, я думаю, безоговорочно согласятся с Эндрю Уайлсом, который заметил по поводу своего доказательства: «Теперь наконец мой ум спокоен».
ПЬЕР ДЕ ФЕРМА (Pierre de Fermât, 1601-65) — французский математик и юрист. Родился в Бомон-де-Ломань (Beaumont-de-Lomagne). Изучал право, работал судьей. В свободное время увлекался математикой и внес значительный вклад в развитие различных отраслей этой науки, за что получил прозвище «король любителей». Помимо теории чисел (так называется область математики, к которой относится Великая теорема
Ферма) еще до Ньютона разработал многие основы дифференциального исчисления,а совместно с Блезом Паскалем (Blaise Pascal, 1623-62) основал теорию вероятностей. В оптике сформулировал принцип ферма, согласно которому преломление света на границе двух сред обусловлено различной скоростью распространения света в различных средах.
Вечный двигатель
Можно построить двигатель, который будет работать вечно или еще лучше, который будет неиссякаемым источником энергии
Свойственное человеческой натуре упрямство не дает людям смириться с непреложностью законов природы. Самым ярким свидетельством этому служит настойчивая вера в то, что можно построить вечный двигатель — двигатель, который будет работать бесконечно долгое время без какой-либо внешней помощи. Как ученый, занимающийся еще и общественной деятельностью, я каждый год получаю хотя бы одно письмо, уведомляющее о проекте создания такого двигателя. Иногда авторы писем предлагают мне проценты от доходов, которые можно будет получить от такого двигателя, если я обращу на него внимание соответствующих организаций.
|
|
|
Существует два типа вечных двигателей — те, что нарушают и первое, и второе начала термодинамики, и те, что нарушают только второе из них. Вот пример двигателя первого типа: металлический шар, расположенный между северным и южным полюсами магнита. Тяжелый металлический экран заслоняет шар от северного полюса, поэтому, если шар отпустить, он начнет двигаться к южному полюсу. При приближении его к южному полюсу металлический экран у северного полюса поднимается, в то время как другой экран между шаром и южным полюсом опускается. Шар меняет направление движения, начиная катиться обратно к северному полюсу. Точно в нужный момент экран у северного полюса падает, и шар начинает катиться обратно к южному полюсу. Как предположительно должен работать двигатель? Энергия извлекается из катящегося шара, и, если экраны расположены на концах такого балансира, на их поднимание и опускание энергия не тратится.
Недостаток этого двигателя в том, что если металлический экран движется в магнитном поле, то, согласно закону электромагнитной индукции фарадея, в металле обязательно возникнет электрический ток. Это означает, что будет происходить утечка энергии из системы вследствие работы закона ома. Легко видеть, что, если магниты достаточно сильны, чтобы заставить шар двигаться, они будут также достаточно сильны, чтобы вызывать большие потери сопротивления в металлических экранах при их опускании, поэтому двигатель, который на бумаге выглядит столь привлекательно, просто не будет работать.
Некоторые изобретатели предлагали более сложные вечные двигатели, и требовалось более тонкое понимание вопроса, чтобы увидеть изъяны в их конструкции. Но изъяны находятся всегда, вот почему ни одного такого двигателя мы не видели в работе. В середине ХХ века этот факт был признан Патентным бюро США. измученное потоком патентных заявок на вечные двигатели, бюро объявило, что в будущем любая такая заявка должна сопровождаться работающей моделью. С тех пор заявители его больше не беспокоили.
|
|
|
вечный двигатель
Витализм
Существует особая сила, благодаря которой в биологических системах образуются молекулы
Древний • САМОЗАРОЖДЕНИЕ мир ЖИЗНИ
1828 • СИНТЕЗ МОЧЕВИНЫ
XIX — • ВИТАЛИЗМ
| • |
Нач. XX
В начале XIX века в развитии химии был достигнут большой прогресс. ПереОСМЫСЛеННаЯАТОМНАЯ ТЕОРИЯ СТРОЕНИЯ ВЕЩЕСТВА
помогла понять сложный состав большинства найденных в природе веществ. Оставалась одна проблема — казалось, что многие молекулы существуют только в биологических системах. Поэтому химики заговорили о так называемой «жизненной силе», присущей только живым организмам. Считалось, что благодаря этой силе возникают молекулы, которые не могут быть воспроизведены в неживой природе.
Типичным примером таких органических молекул может служить вещество под названием мочевина. Молекулы мочевины имеют химическую формулу СО(ЪГН2)2. С их помощью у большинства животных происходит выделение неусвоенного азота, поступившего с пищей. К примеру, человеческая моча содержит 2-5% мочевины.
В 1828 году Фридрих Вёлер совершил важный прорыв, синтезировав мочевину в лаборатории из стандартных химикатов. Его открытие было убедительным доказательством того, что для создания органических молекул не требуется никакой жизненной силы и что они образуются по тем же законам, что и любые другие молекулы. После работ Вёлера понятие жизненной силы полностью исчезло со сцены.
С юмором (наличие которого обычно не предполагают в немецких ученых-академистах) Вёлер в письме другу рассказал о своем открытии следующими словами: «Я больше не могу, образно говоря, сдерживать свою химическую мочу, и должен сообщить, что я произвожу мочевину без помощи почки, человеческой или собачьей».
В действительности же идеи витализма (представления о жизненной силе) не так-то легко похоронить. Чтобы покончить с ними раз и навсегда, недостаточно только привести очевидные факты. Так, многие идеи «нового времени» являются почти не замаскированным витализмом. В 1930-е годы нечто похожее на витализм, но в более респектабельном виде, обозначилось в дискуссиях по поводу открытия очень сложных биологических молекул (их примером служит ДНК). Утверждалось, что законы, управляющие поведением атомов в сложных и простых молекулах, могут различаться. Поскольку в то время ученые еще мало работали со сложными молекулами, эту гипотезу нельзя было опровергнуть. Позже выяснилось, что это утверждение неверно: атомы водорода в молекуле ДНК подчиняются тем же законам, что и атомы водорода в любых других молекулах. По крайней мере, в этом случае оказалось, что природа устроена просто.
|
|
|
ВИТАЛИЗМ
Науки о жизни
Генетический код
Три пары оснований молекулы ДНК кодируют одну аминокислоту в белке
| • |
|
|
|
