Решение вычислительных задач математики. Приближенное вычисление определенных интегралов. Понятие стиля программирования.
Лабораторная работа № 1
В этой работе изучается программирование классических методов приближенного вычисления определенных интегралов: метод прямоугольников, метод трапеций и метод парабол (метод Симпсона) 2.1. Квадратурные формулы а) Постановка задачи. Пусть, в точках Для решения поставленной задачи примем точки
Тогда
где Очевидно, исходя из формулы (I.I) получаем
где Таким образом, формула (2.2) приближенного интегрирования принимает вид
Определение 2.1. Формула (*), в которой коэффициенты Теоретически полиномом Лагранжа функцию а степень
а) Случай В этом случае точка Обычно полагают
Эта формула называется формулой прямоугольников.
б) Случай
В этом случае Полагая
Эта формула называется формулой трапеций.
в) Случай В этом случае Положим Тогда подсчет приводит к приближенной формуле
Эта формула называется формулой парабол или формулой Симпсона.
2.2. Оценка погрешности Пусть в соответствии с равенством (2.2) Имеет место следующая теорема. Теорема 2.1. Пусть Пусть Тогда Пусть Тогда Доказательство теоремы проведем для случая
где Далее, по формуле Тейлора где Следовательно, Сравнивая эту формулу с формулой (2.7), получаем, что откуда, вычисляя последний интеграл, немедленно приходим к искомой оценке в п.1 теоремы. С доказательством оценки погрешности для случаев Вывод. Итак, мы видим, что если отрезок Однако, если отрезок В этом случае поступают так: отрезок
2.3. Составные квадратурные формулы а) Формула прямоугольников Пусть На каждом участке
Рис.2.1. Составная формула прямоугольников
(2.8) называется составной формулой прямоугольников для вычисления интеграла на полном отрезке Выясним погрешность этой формулы. Как было установлено в п.1 (теорема 2.1), на каждом отдельном участке Следовательно, полная погрешность Поскольку
Таким образом, формула прямоугольников (2.8) имеет погрешность порядка ЗАМЕЧАНИЕ Часто на практике формула прямоугольников используется в следующем виде
б) Формула трапеций В этом случае на участке Тогда в соответствии с формулой трапеций (2.5) для участка Суммируя эти приближения, получаем составную формулу трапеций Как и формула прямоугольников, эта формула имеет порядок точности
Вывод этого неравенства точно такой же, как и (2.9).
в) Формула Симпсона Разобьем отрезок На каждой паре участков Суммируя формулу по всем
Формула (2.11) имеет, как это следует из теоремы 2.1, порядок точности
Блок-схема алгоритма вычисления интегралов по формуле прямоугольников приведена на рис.2.2. Рис.2.2. Блок-схема вычислений по формуле прямоугольников
2.4. Правило Рунге оценки погрешности Как вытекает из (2.9) и (2.10), оценки погрешностей формул прямоугольников и трапеций требуют для своего применения вычисления вторых производных функции F(x). Оценка (2.12) для формулы Симпсона требует производных четвертого порядка. Поскольку в практических расчетах часто функция достаточно сложна или задана таблично, вычисление производных становится труднопреодолимым препятствием. Поэтому на практике применяет теоретически не строгое, но достаточно простое правило Рунге. Оно состоит в следующем.
Допустим, что при подсчете интеграла
Произведем теперь пересчет интеграла
Сравнивая (2.13) и (2.14), видим, что т.е. Отсюда Поскольку в процессе счета В частности, для формулы Симпсона и, следовательно, В заключение заметим, что правило Рунге называют также правилом двойного пересчета.
2.5. Компьютерная реализация методов приближенного вычисления интегралов Для реализации на ЭВМ методов приближенного вычисления интегралов обычно применяется два способа. Первый способ предполагает задание подынтегральной функциональной зависимости Второй способ предполагает задание подынтегральной функции в виде таблицы, значения которой предварительно рассчитаны.
2.6. Общая формулировка задания для практической реализации методов приближенного вычисления интегралов Необходимо реализовать вычислительный эксперимент по расчету значений определенного интеграла
где
Расчеты производятся 2 раза – с разбиением интервала интегрирования на N и 2N участков.
2.7. Задание Вычислительный эксперимент производить для определенного интеграла
2.8 Вопросы для контроля и самоконтроля þ - Методы хранения целых и вещественных чисел в оперативной памяти ЭВМ. þ - Основные квадратурные формулы. Графическая интерпретация основных приближенных методов численного интегрирования. þ - Качественная зависимость относительной погрешности определения численного значения интеграла от шага разбиения интервала интегрирования. þ - Опишите основные правила взаимодействия между программными единицами (основной и вспомогательной программами). þ - Организация главной и вспомогательных программных единиц в разработанной программе выполнения вычислительного эксперимента. þ - Структура, состав программных единиц, их назначение и формальное описание. þ - Анализ полученных данных. þ - Основные особенности использованных численных методов. Способы их программной реализации. þ Что такое стиль программирования. Приведите примеры правил, определяющих стиль программирования. þ В чем проявляется стиль программирования в реализованной вами программе.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|