Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица.

Представляется логичным, что при выборе решения вместо двух крайностей в оценке ситуации придерживаться некоторой промежуточной позиции, учитывающей возможность как наихудшего, так и наилучшего, благоприятного поведения природы. Такой компромиссный вариант и был предложен Гурвицем. Согласно этому подходу для каждого решения необходимо определить линейную комбинацию min и max выигрыша и взять ту стратегию, для которой эта величина окажется наибольшей:

v_H = max_i [a max_i a_ij + (1-a) min_j a_ij ], где a - “степень оптимизма”, 0£ a £1.

При a = 0 критерий Гурвица тождественен критерию Вальда, а при a =1 совпадает с максиминным решением.

На выбор значения степени оптимизма оказывает влияние мера ответственности: чем серьезнее последствия ошибочных решений, тем больше желание принимающего решение застраховаться, то есть степень оптимизма a ближе к нулю.

 

Влияние степени оптимизма на выбор решения в задаче “Поставщик”.

 

	Степень оптимизма
Решение		0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
А1	1 стратегия	-370	-340	-310	-280	-250	-220	-190*	-160*	-130*
А2	2 стратегия	-285	-270	-255	-240	-225*	-210*	-195	-180	-165
А3	3 стратегия	-254*	-248*	-242*	-236*	-230	-224	-218	-212	-206
А4	4 стратегия	-317	-304	-281	-278	-265	-252	-239	-226	-213

 

Величина v_H  для каждого значения a отмечена*. При a £ 4/9 критерий Гурвица рекомендует в задаче “Поставщик” решение А₃, при 4/9£ a £2/3 - решение А₂. В остальных случаях А₁. А₄ не выгодно во всех случаях.

 

4. Критерий Сэвиджа (критерий минимакса риска).

На практике, выбирая одно из возможных решений, часто останавливаются на том, осуществление которого приведет к наименее тяжелым последствиям, если выбор окажется ошибочным. Этот подход к выбору решения математически был сформулирован американским статистиком Сэвиджем в 1954 году и получил название принципа Сэвиджа. Он особенно удобен для экономических задач и часто применяется для выбора решений в играх человека с природой.

По принципу Сэвиджа каждое решение характеризуется величиной дополнительных потерь, которые возникают при реализации этого решения, по сравнению с реализацией решения, правильного при данном состоянии природы. Естественно, что правильное решение не влечет за собой никаких дополнительных потерь, и их величина равна нулю.

При выборе решения, наилучшим образом соответствующего различным состояниям природы, следует принимать во внимание только эти дополнительные потери, которые по существу, будут являться следствием ошибок выбора.

Для решения задачи строится так называемая “матрица рисков”, элементы котрой показывают, какой убыток понесет игрок (ЛПР) в результате выбора неоптимального аврианта решения.

 

Риском игрока r_ij при выборе стратегии i в условиях (состояниях) природы j называется разность между максимальным выигрышем, который можно получить в этих условиях и выигрышем, который получит игрок в тех же условиях, применяя стратегию i.

 

Если бы игрок знал заранее будущее состояние природы j, он выбрал бы стратегию, которой соответствует max элемент в данном столбце: max_i a_ij, тогда риск:   r_ij = max_i a_ij -  a_ij.

Критерий Сэвиджа рекомендует в условиях неопределенности выбирать решение, обеспечивающее минимальное значение максимального риска:

v_S = min_i max_j r_ij = min_i max_j (max_i a_ij -  a_ij).

Для задачи “Поставщик” минимакс риска достигается сразу при двух стратегиях А₂  и А₃:

 

		max	min
0	200	200
50	100	100	100
100	60	100	100
230	0	130

 

Критерий Лапласа.

В ряде случаев представляется правдоподобным следующее рассуждение: поскольку неизвестны будущие состояния природы, постольку можно считать их равновероятными. Этот подход к решению используется в критерии “ недостаточного основания ” Лапласа.

Для решения задачи для каждого решения подсчитывается математическое ожидание выигрыша (вероятности состояний природы полагаются равными y_j = 1/n, j = 1:n), и выбирается то решение, при котором величина этого выигрыша максимальна.

v_L = max_i å1/n a_ij = 1/n max_i å a_ij.

Решением игры “Поставщик” по критерию Лапласа является вторая стратегия:

	max
-250
-225	-225
-230
-265

 

Гипотеза о равновероятности состояний природы является довольно искусственной, поэтому принципом Лапласа можно пользоваться лишь в ограниченных случаях. В более общем случае следует считать, что состояния природы не равновероятны и использовать для решения критерий Байеса-Лапласа.

 

Критерий Байеса-Лапласа.

Этот критерий отступает от условий полной неопределенности - он предполагает, что возможным состояниям природы можно приписать определенную вероятность их наступления и, определив математическое ожидание выигрыша для каждого решения, выбрать то, которое обеспечивает наибольшее значение выигрыша:

v_BL = max_i å a_ij  y_j.

Этот метод предполагает возможность использования какой-либо предварительной информации о состояниях природы. При этом предполагается как повторяемость состояний природы, так и повторяемость решений, и прежде всего, наличие достаточно достоверных данных о прошлых состояниях природы. То есть основываясь на предыдущих наблюдениях прогнозировать будущее состояние природы (статистический принцип).

Возвращаясь к нашей игре “Поставщик” предположим, что руководители фирмы-потребителя, прежде чем принять решение, проанализировали, насколько точно поставщие ранее выполнял сроки поставок, и выяснили, что в 25 случаях из 100 сырье поступало с опозданием.

Исходя из этого, можно приписать вероятность наступления первого состояния природы вероятность y_j = 0,75 = (1-0,25), второго - y_j = 0,25. Тогда согласно критерию Байеса-Лапласа оптимальным является решение А₁.

 

Стратегии	å aij  yj
А1	- 175*
А2	-187,5
А3	- 215
А4	- 297,5

 

Перечисленные критерии не исчерпывают всего многообразия критериев выбора решения в условиях неопределенности, в частности, критериев выбора наилучших смешанных стратегий, однако и этого достаточно, чтобы проблема выбора решения стала неоднозначной:

 

Решение	Критерии
Стратегии	Вальда	maxmax	Гурвица	Сэвиджа	Лапласа	Байеса-Л
А1		*	*			*
А2			*	*	*
А3	*		*	*
А4

 

Из таблицы видно, что от выбранного критерия (а в конечном счете - от допущений) зависит и выбор оптимального решения.

Выбор критерия (как и выбор принципа оптимальности) является наиболее трудной и ответственной задачей в теории принятия решений. Однако конкретная ситуация никогда не бывает настолько неопределенной, чтобы нельзя было получить хоты-бы частичной информации отностительно вероятностного распределения состояний природы. В этом случае, оценив распределение вероятностей состояний природы применяют метод Байеса-Лапласа, либо проводяд эксперимент, позволяющий уточнить поведение природы.

 

 Литература

1. Аллен Р. Математическая экономия. М., Изд.ин.лит.,1963

2. Вентцель Е.С. Исследование операций. М.:Советское радио, 1972

3. Вильямс Дж.Д. Совершенный стратег. - М.: ИЛ,1960

4. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике М.:Мир, 1964

5. Кофман А., Фор Р. Займемся исследованием операций. М:Мир, 1966

6. Ланге О. Оптимальные решения. М. Прогресс, 1967.

7 Мак-Кинси Дж. Введение в теорию игр. М., Физматгиз,1966

8. Оуэн Г. Теория игр. М., Мир 1971

9. Р.Л. Кини, Х.Райфа Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. М.:Радио и связь, 1981

10. Р.Штойер Многокритериальная оптимизация. Теория, вычисления, приложения. М.:Радио и связь, 1992

11. Вопросы анализа и процедуры принятия решений.- М.: Мир, 1976

12. Статистические модели и многокритериальные задачи принятия решений.- М.:Статистика, 1979.

13. Р.Л.Кини Теория принятия решений. - В кн.Исследование операций. М.:Мир, 1981 г.

Предыдущая1234567Следующая

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: