Задания для самостоятельного решения

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА (СЕМИНАРЫ)

1. ВЕКТОРЫ. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ.

РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ

 

Вектор – направленный отрезок. Вектор с началом в точке А и концом в точке В обозначается символом (или одной буквой: , , …, или: a, b, …). Длина отрезка АВ называется длиной (модулем) вектора и обозначается | |, | |, | a |.

 

Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается (0).

 

 

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается

через (е).

 

Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора ,

называется ортом вектора и обозначается .

 

Два вектора, имеющие одинаковую длину и противоположные направления, называются

противоположными. Вектор, противоположный вектору , обозначается - .

 

Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на

параллельных прямых. Записывают: || .

 

Три (и более) вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости

или в параллельных плоскостях.

 

Два коллинеарных вектора и называются равными ( = ), если они одинаково

направлены и имеют равные длины.

 

Совместим параллельным переносом начала неколлинеарных векторов и . Начало и концы векторов образуют вершины треугольника. Углом между векторами и

 

называется угол при вершине этого треугольника, соответствующий началу векторов. Если

 

векторы сонаправлены, то угол между ними равен нулю, если противоположно направлены –

 

угол между ними равен 180º.

 

Суммой двух векторов и называется вектор , соединяющий начало вектора с

концом вектора , отложенного от конца вектора .

Обозначение: = + .

 

Геометрически сумма векторов получается с помощью правил «треугольника» или

«параллелограмма»:

 

Под разностью векторов и понимается вектор такой, что + = .

Обозначение: = – .

Справедливо равенство: – = + (– ).

 

Произведением вектора ≠ на число λ ≠ 0 называется вектор, имеющий длину

| λ | ∙ | | и направление, совпадающее с направлением вектора , если λ > 0, противоположное ему, если λ < 0. Обозначение: λ ∙ .

Каждый вектор равен произведению его модуля на его орт: = | | ∙ .

 

Признак коллинеарности векторов: два ненулевых вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда один из них есть произведение другого на некоторое число:

= λ .

 

Признак компланарности векторов: три ненулевых вектора , , компланарны тогда и только тогда, когда один из них является линейной комбинацией других, т.е.

= λ ₁ + λ ₂ (λ ₁ и λ ₂ – одновременно не равные нулю числа).

 

 

 

 

Основные свойства проекции:

 

1. = ; 2. = λ ∙ .

 

Если , , – орты координатных осей прямоугольной системы координат Oxyz, то любой вектор единственным образом можно представить в виде их суммы (линейной комбинации) с коэффициентами а_х, а_у, а_z:

= а_х ∙ + а_y ∙ + а_z ∙ . Коэффициенты а_х, а_у и а_z линейной комбинации называются координатами вектора в базисе , , .

Обозначение: = { а_х, а_у, а_z } или = а_х ∙ + а_y ∙ + а_z ∙ .

 

Координаты вектора в базисе , , , = { а_х, а_у, а_z }, совпадают с координатами т. М – конца вектора = в прямоугольной системе координат Oxyz: М (а_х, а_у, а_z).

Длина вектора определяется по формуле | | = .

Вектор образует с координатными осями Ox, Oy и Oz углы α, β и γ соответстенно.

 

Направление вектора определяется с помощью направляющих косинусов: cos α, cos β, cos γ, вычисляемых по формулам: cos α = , cos β = , cos γ = .

Направляющие косинусы связаны соотношением cos² α + cos² β + cos² γ = 1.

Координаты орта вектора – это его направляющие косинусы:

= .

Пусть векторы и заданы своими координатами: = { а_х, а_у, а_z } и = { b_х, b_у, b_z }.

 

Векторы и равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты, т.е. = ó .

Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т.е.

|| ó .

При сложении векторов их одноименные координаты складываются, при вычитании – вычитаются, при умножении вектора на число – умножаются на это число:

= { а_х b_х, а_y b_y, а_z b_z }, λ = { λ а_х, λ а_у, λ а_z }.

 

Вектор = , соединяющий начало координат с произвольной точкой М (x, y, z)пространства называется радиус-вектором точки М. Координаты точки – это координаты ее радиус-вектора = { x, y, z } или = x ∙ + y ∙ + z ∙ .

 

Если вектор = задан точками А (x ₁, y ₁, z ₁) и В (x ₂, y ₂, z ₂), то его координаты а_х, а_у, а_z вычисляются по формулам

а_х = x ₂ – x ₁, a_y = y ₂ – y ₁, a_х = z ₂ – z ₁: = = { x ₂ – x ₁, y ₂ – y ₁, z ₂ – z ₁}.

 

 

 

 

 

1. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Таким образом, (, ) = | | ∙ | | ∙ cos φ (1)

 

Формулу (1) можно записать в виде: (, ) = | | ∙ пр или (, ) = | | ∙ пр . (2)

Из формул (2) имеем: пр = , пр = .

 

Свойства скалярного произведения:

 

1. (, ) = (, ). 2. (, ( + )) = (, ) + (, ). 3. ((λ ), ) = λ (, ).

 

4. = | |² – скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля.

 

1. Скалярное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда cos φ = 0 (φ = π /2) (перемножаемые векторы перпендикулярны):

(, ) = 0 ó _┴

(или = , или = ). В частности: (, ) = (, ) = (, ) = 0.

 

Если векторы и заданы своими координатами = { а_х, а_у, а_z }, = { b_х, b_у, b_z }, то (, ) = а_х b_х + а_у b_у + а_z b_z.

 

 

 

 

Задания для самостоятельного решения

 

 

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: