 |
Решение квадратных тригонометрических уравнений
|
|
|
|
Краткое изложение теоретических вопросов дифференцированного зачета
Для студентов 1 курса
Специальности 23.02.03 «Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта»
Уравнение. Корень уравнения. Что значит «решить уравнение»?
Уравнение – это равенство, содержащее переменную.
Корень уравнения - такое значение переменной, которое при подстановке его в уравнение, обращает его в верное числовое равенство.
Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
Система уравнений – это совокупность из двух и более уравнений с двумя и более неизвестными; причём решение одного из уравнений является одновременно и решением всех остальных.
Виды уравнений и их решение: линейное, квадратное.
Линейные уравнения – это уравнения вида: ах + b = 0, где a и b – некоторые постоянные. Если а не равно нулю, то уравнение имеет один единственный корень: х = - b: а. Если а равно нулю и b равно нулю, то корнем уравнения ах + b = 0 является любое число. Если а равно нулю, а b не равно нулю, то уравнение ах + b = 0 не имеет корней.
Способы решения линейных уравнений
1) тождественные преобразования
2) графический способ.
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.
Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это число D = b 2 − 4 ac.
1. Если D < 0, корней нет;
2. Если D = 0, есть ровно один корень;
3. Если D > 0, корней будет два.
Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам: Корни квадратного уравнения. Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:
|
|
|
Решение простейших тригонометрических уравнений
Общий вид решения уравнения cos x = a, где | a | ≤ 1, определяется формулой:
x = ± arccos(a) + 2πk, k ∈ Z (целые числа), при | a | > 1 уравнение cos x = a не имеет решений среди вещественных чисел.
Общий вид решения уравнения sin x = a, где | a | ≤ 1, определяется формулой:
x = (- 1)k · arcsin(a) + πk, k ∈ Z (целые числа), при | a | > 1 уравнение sin x = a не имеет решений среди вещественных чисел.
Общий вид решения уравнения tg x = a определяется формулой:
x = arctg(a) + πk, k ∈ Z (целые числа).
Общий вид решения уравнения ctg x = a определяется формулой:
x = arcctg(a) + πk, k ∈ Z (целые числа).
Решение линейных тригонометрических уравнений
Линейные тригонометрические уравнения имеют вид k*f(x) + b = 0, где f(x) – тригонометрическая функция, а k и b - действительные числа.
Для решения уравнения его приводят к простейшему виду путем тождественных преобразований
Решение линейно – комбинированных тригонометрических уравнений
Линейно - комбинированные тригонометрические уравнения имеют вид f(kx + b) = а, где f(x) – тригонометрическая функция, а, k и b - действительные числа.
Для решения уравнения его вводят новую переменную у = kx + b. Решают полученное простейшее тригонометрическое уравнение относительно у и производят обратную замену.
Решение тригонометрических уравнений с использованием формул приведения
При решении тригонометрических уравнений, не являющихся простейшими, выполняются тождественные преобразования по следующим формулам:
Решение тригонометрических уравнений с использованием тригонометрических тождеств
При решении тригонометрических уравнений, не являющихся простейшими, выполняются тождественные преобразования по следующим формулам:
Решение квадратных тригонометрических уравнений
Отличительные признаки уравнений, сводящихся к квадратным:
|
|
|
В уравнении присутствуют тригонометрические функции от одного аргумента или они легко сводятся к одному аргументу.
В уравнении присутствует только одна тригонометрическая функция или все функции можно свести к одной.
Алгоритм решения:
Выполняется подстановка.
Выполняется преобразование выражения.
Вводится обозначение (например, sinx = y).
Решается квадратное уравнение.
Подставляется значение обозначенной величины, и решается тригонометрическое уравнение
|
|
|
