Синие стержни – сжатые стержни

Метод вырезания узлов

Последовательно вырезаем узлы и рассматриваем их равновесие:

Узел B

		RB		x
					y
	α
	S5		S8

Дано:

R_B= 2кН

α =45º

cosα=sinα=0.707

S₄ –? S₅ –?

 

 

Составляем уравнение равновесия узла:

 

∑ F_KX= 0: –S₅–S₄ ×cosα=0

∑ F_KY= 0: R_B+ S₄×sinα=0

S₄₌– R_B÷sinα₌ – 2 ÷0.707= –2.829 кН

S₅ = –S₄×cosα= –2.829 ×0.707= 2 кН

S₅ = 2 кН– стержень растянут

S₄ = –2.289кН– стержень сжат

Графическая проверка правильности определения S₄ и S₅:

y

S4

RB

x

1 кН

S5

 

 

Так как силовой многоугольник получился замкнутым, то усилия S₄ и S₅найдены верно.

Узел III

 

у				F3y
	х		α
		S3			F3x
					α
			S13	S4

Дано:

F_3x= 2кН F_3y = 1кН

S₄ =2,829 кН

sinα =cosα=0,707

S₃–?S₁₃–?

Составляем уравнение равновесия узла:

 

∑ F_KX= 0: F_3x – S₃×sinα+S₄×cosα = 0 (1)

∑ F_KY = 0: F_3y – S₁₃+S₃cosα – S₄×sinα = 0 (2)

Решая систему имеем:

F_3x+F_3y–S₁₃=0; S₁₃=2+1; S₁₃= 3кН

S₃= - из ур-ния(1)

S₃= = 0 кН

S₁₃ = 3 кН– стержень растянут

S₃= 0 кН нулевой стержень

Графическая проверка правильности определения S₃ и S₁₃:

y

S4

S13

x

1 кН

F3x

F3y

Так как силовой многоугольник получился замкнутым, то усилия S₃ и S₁₃найдены верно.

 

Узел IV

 

у
	х	S12	S13
S6		α
	β
	F4x	F4y		S5

Дано:

F_4x= F_4y= – 2 кН

S₁₃= 3 кН; S₅= 2 кН

sinα=0,447 cosα = 0,894

β=45º sin β=cos β=0.707

S₆–? S₁₂–?

Составляем уравнение равновесия узла:

∑ F_KX= 0: S₅ –F_4x– S₆×cos β –S₁₂×sinα= 0

∑ F_KY = 0: S₁₃ –F_4y +S₆×sin β +S₁₂× cosα = 0

Решая систему имеем:

S₅+ S₁₃–F_4x–F_4y+S₁₂(cosα – sinα)=0

2+3–2–2+S₁₂×0.447=0

S₁₂= –2.236 кН

S₆= = 1.414

S₁₂ = - 2.236 кН – стержень сжат

S₆= 1.414 кН – стержень растянут

 

 

Графическая проверка правильности определения S₆ и S₁₂:

S5

у

F4y

S13

х

S1 2

S6

1кН

F4x

 

Так как силовой многоугольник получился замкнутым, то усилия S₆ и S₁₂найдены верно.

Узел V

		S11		Y
	F5x				X
				S6
S7		α	β
			F5y

 

Дано:

β =α= 45º

S₆= –1.414 кН

S₁₁–?S₇–?

 

Составляем уравнение равновесия узла:

∑ F_KX= 0: –F_5x–S₇×sinα +S₆×sin β = 0

∑ F_KY = 0: S₁₁–F_5y –S₇×cosα – S₆×cos β = 0

Решая систему имеем:

S₁₁+F_5x–F_5y–2× S₆×sin β=0

S₁₁=2–1+2= 3 кН

S₇×sinα =S₆ ×sinβ –F_5x

S₇=1.414 – 1.414=0

S₁₁= 3 кН– стержень растянут

S₇= 0 кН – нулевой стержень

Графическая проверка правильности определения S₁₁и S₇:

Y

S6

S11

F5y

1кН

F5x

X

 

 

Так как силовой многоугольник получился замкнутым, то усилия S₁₁и S₇найдены верно.

 

Узел A

 

	YA
				S1
	XA		α
			S8

Дано:

Y_A= 1 кН

X_A = 1 кН

α = 45º

S₁–? S₈–?

Составляем уравнение равновесия узла:

∑ F_KX = 0: X_A +S₈+S₁× cosα = 0

∑ F_KY = 0 Y_A+S₁×sinα = 0

S₁ = 1.414 кН

S₈ = – X_A – S₁×cosα

S₈= – 1+1=0 кН

S₁ = -1,414кН– стержень сжат

S₈ = 0 кН – нулевой стержень

 

Графическая проверка правильности определения S₁ и S₈:

 

y

S1

YA

1кН

XA

x

Так как силовой многоугольник получился замкнутым, то усилия S₁ и S₈найдены верно.

 

 

y
		х		S10
		S9	α		S7
				β
	S8

УзелVI

 

Дано:

β =45º

sinα=0,447 cosα = 0,894

S₇=S₈= 0 Кн

S₉–? S₁₀–?

 

 

Составляемуравнениеравновесияузла:

∑ F_KX= 0: –S₈+S₇×cos β+S₁₀×sinα =0

∑ F_KY = 0: S₉+S₁₀× cosα +S₇×sin β=0

Решая систему имеем:

S₁₀×sinα=S₈– S₇×cos β

S₁₀= 0 кН

S₉= –S₁₀× cosα –S₇×cos β = 0 кН

S₁₀=0 кН – нулевой стержень

S₉= 0 кН– нулевой стержень

Графическая проверка не требуется т.к. S₁₀ и S₉–нулевые стержни.

 

 

Узел I

у			S 2
	х			α
	S1	β	S9

 

Дано:

S₁ = –1,414 кН

S₉= 0 кН

α=β=45º

 

S₂=?

Составляем уравнение равновесия узла:

 

∑ F_KX = 0: S₂cosα –S₁×cos β= 0

∑ F_KY = 0: S₂×sinα –S₁×sinβ –S₉= 0

S₂cosα = S₁×cos β

S₂ =S₁= –1,414 кН

S₂ = –1,414 кН – стержень cжат

Графическая проверка правильности определения усилия S₂:

y

S2

S1

1кН

x

Метод сквозных сечений:

Расчёт усилий в стержнях S₅, S₆, S₇ методом сквозных сечений (методом Риттера).

Последовательно вычерчиваем отсеченную часть фермы и рассматриваем её равновесие. Для определения усилия в стержне составляем уравнение

моментов относительно точки Риттера для данного стержня.

Y

1кН

Х

II

c

a

b

F3у

I

F5х

III

F3х

YА

F5у

V

RВ

Х А

A

F5

c

B

VI

b

F4х

IV

a

F4у

X_А=1 кН.

R_В= 2 кН.

Y_А = 1 кН.

Сечение а – а

S12

I

у

S1

S13

YA

х

XA

S8

Дано:

Y_A = 1 кН Определяем S₈

X_A= 1 кН Для S₈ точкой Риттера является узел I.

 

S₈ -?

∑ M_(I)F = 0: -3Y_А + 3X_А + 3S₈= 0

-3×1 + 3×1 +3× S₈ = 0

S₈ = 0 кН – нулевой стержень

 

 

Сечение b – b

II

S2

S10

F3у

F5х

III

F3х

S7

Y X

F5у

V

RВ

F5

c

B

F4х

IV

F4у

 

Дано: Определяем S₇.

F_4y = -2кН

F_4x= -2 кН

R_B = 2 кН

F_5x= -1кН

S₇ -?

Для S₇ точкой Риттера является узел II:

∑ M_(II)F= 0 -3×S₇cos45º-3F_5x+3F_3y+3F_3x-6F_4x-3F_4y+ 6Y_B =0

 

-3×S₇cos45º= +3-6-3+12+6-12

S₇=0 кН

 

S₇ =0 кН – нулевой стержень

Сечение с-с:

 

Y
	Х						II
									S3
									S12
				I			F5х
	YА
							F5у		S6
Х А	A						F5
					VI

 

Дано: Определяем S₆.

F_5x = -1 кН Для S₆ точкой Риттера является узел II

Y_A = 1кН ∑ M_(II)F= 0 3×S₆cos45º -3F_5x – 6Y_A + 6X_A = 0

X_A = 1кН 3×S₆cos45º -3+6-6=0

S₆=1.414 кН

S₆=? S₆= 1,414 кН – стержень растянут

Значения усилий в стержнях 6,7,8 вычисленные методом Риттера равны вычисленным усилиям методом вырезания углов. Следовательно усилия найдены верно.

 

Таблица результатов.

XА	YА	RВ	S1	S2	S3	S4	S5
			-1,414	-1,414		-2,829

 

S6	S7	S8	S9	S10	S11	S12	S13
1,414						-2,236

 

1кН

F3

А

F5

В

F4

Синие стержни – сжатые стержни

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: