Роль определенного интеграла в экономике

• Авторы
• Файлы
• Литература
• English

Зарвирова М.С. 1 Хаджиназарова А.С. 1 Родина Е.В. 1

1 Ставропольский государственный аграрный университет

В моделировании экономических процессов роль интеграла рассматривается не так часто, но, не смотря на это интегральное исчисление, для моделирования и исследования процессов, происходящих в экономике дает богатый математический аппарат. Вычисление площадей различных фигур, нахождение объемов геометрических тел и некоторые приложения в физике и технике иллюстрируются приложением интеграла.

Остановимся на некоторых примерах использования интегрального исчисления в экономике. Для начала рассмотрим понятие потребительского излишка в рыночной экономике. И поэтому рассмотрим некоторые экономические понятия и обозначения.

Спрос на данный товар – это сложившаяся зависимость между объемом покупки и ценой товара на определенный момент времени. Графически спрос на отдельный товар изображается в виде кривой с отрицательным наклоном, которая отражает взаимосвязь между количеством товара Q и ценой P единицы этого товара и, которое потребители готовы купить при каждой заданной цене. Отрицательный наклон кривой спроса имеет следующее объяснение: чем дороже товар, тем меньше количество товара, которое покупатели готовы купить, и наоборот.

Рассмотрим понятие, которое играет в моделировании экономических процессов большую роль – рыночное равновесие. Состояние равновесия характеризуют: количество и цена, при которых объем спроса совпадает с величиной предложения, а графически это изображается точкой пересечения кривых спроса и предложения (рис. 1).

Рис. 1

Далее для удобства разбора мы начнем рассматривать обратные функции спроса и предложения, которые характеризуют зависимость , а не зависимость .

Теперь для определения потребительского излишка рассмотрим приложения интегрального анализа. Для этого на графике изобразим обратную функцию спроса . Предположим, в точке установилось рыночное равновесие (на графике отсутствует кривая предложения для удобства дальнейшего анализа) (рис. 2).

Рис. 2

Если покупатель по равновесной цене P*, приобретает товар в количестве Q*, то, следовательно, что расходы общие на покупку такого товара составят P*Q*, и это на графике соответствует площади заштрихованной фигуры A (рис. 3).

Рис. 3

Но представим, что товар в количестве Q* продавцами продается не сразу, а небольшими партиями Q поступает на рынок. То есть такое допущение совместно с непрерывностью функции спроса и предложения при выводе формулы является для расчета потребительского излишка основным.

Расчет потребительского излишка – это разность между максимальной суммой денег, которую потребитель готов и согласен за купленное количество благ заплатить, и суммой денег, которую фактически он заплатил за товар.

Таким образом, посчитать потребительский излишек можно по следующей формуле:

(1)

Рассмотрим задачу на определение излишка потребителя.

Пусть известно, что на некоторый товар спрос задается функцией , где q – количество товара (в шт.), p – цена единицы товара (в руб.), а при достигается равновесие на рынке данного товара. Необходимо определить величину потребительского излишка.

Решение.

(руб.).

Рассмотрим оценку последствий введения потоварного налога.

В предложении, где существует единственная возможность производства продукта, введение потоварного налога приводит к нужному результату, и при этом объем выпуска и размер внешнего эффекта, несомненно, связаны друг с другом.

После введения потоварного налога уменьшается объем как потребления, так и производства. Помимо этого, более высокую цену платят покупатели, а более низкую получают относительно первоначальной равновесной цене. Поэтому, налог ухудшает экономическое положение и продавцов, и покупателей.

Дана кривая спроса . Каковы денежные затраты потребителя при введении налога на данный товар с единицы продаж в размере 1 руб., когда известно, что при цене руб. наблюдалось первоначальное рыночное равновесие на этом рынке.

Эту задачу можно решать и другими способами. Проиллюстрируем два основных способа решения данной задачи.

Первый способ. Чтобы определить потребительские потери при увеличении 2 руб. до 3 руб. равновесной цены товара, посмотрим, как меняется при этом объем продаж. Если , то , при . Следовательно,

Второй способ. Поскольку функция спроса в данном случае линейна, то ситуацию, которую мы рассматриваем легко представить графически (рис. 4).

Рис. 4

Получим, что

(руб.).

Второй способ решения легче первого и знаний математического анализа, особых не требуется. Общий метод нахождения, при помощи определенного интеграла, изменения потребительского излишка, поясняет сущность функции спроса и предложения.

Рис. 5

Допустим, что цена продуктов 30 р. за кг. Цена первого кг равна 30 р., но его «ценность» для потребителя – 90 р. Чтобы определить «ценность» необходимо использовать кривую спроса, позволяющую поставить максимальную цену, которую с целью приобретения дополнительной единицы продуктов питания потребителю необходимо уплатит. Продукты можно приобрести, так как его цена меньше максимальной цены на 60 р., и дает оно избыточную стоимость. Второй кг продовольствия также стоит покупать, так как это дает избыточную стоимость в 50 р. (80 р. – 30 р.). Третий кг дает излишек в 40 р. (70 р. – 30 р.). Четвертый кг дает излишек в 30 р., пятый – в 20 р., шестой – в 10 р. Седьмой кг продовольствия питания дает нулевой излишек. Каждый следующий кг имеет ценность, которая меньше его цены, поэтому потребитель не предпочитает приобретать больше продуктов питания. Сложением избыточной стоимости по всем приобретаемым единицам получается излишек потребителя. Исходя из этого, совокупный излишек потребителя составляет: <<prilmat429.wmf>>.

Таким образом, рассмотренные нами основные способы решения широко применяются на практике. Экономисты вычисляют в зависимости от различных вариантов налогообложения изменения потребительских излишков, и с учетом необходимого размера налоговых поступлений анализируют полученные результаты, останавливаются на тех вариантах, которые вызывают наименьшее сокращение потребительских выгод.

А при складывании многих отдельных излишков совокупную выгоду измеряет совокупный излишек потребителя, которую приобретают потребители, при покупке товары на рынке. Определить прибыль альтернативных рыночных структур и издержки позволяют, соединение прибыли и излишка потребителя, определяющих поведение, как потребителей, так и производителей на рынке. Следовательно, в экономике концепция излишка потребителя имеет огромное значение.

Таким образом, определенный интеграл определяет практическую роль при решении экономических задач, так как позволяет найти правильное решение при минимальных затратах времени и сил.

Библиографическая ссылка

Зарвирова М.С., Хаджиназарова А.С., Родина Е.В. РОЛЬ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА В ЭКОНОМИКЕ // Современные наукоемкие технологии. – 2014. – № 5-2. – С. 156-158;
URL: https://www.top-technologies.ru/ru/article/view?id=34038 (дата обращения: 27.04.2017).

Пример. Определить объем продукции, произведенной рабочим за третий час рабочего дня, если производительность труда характеризуется функцией

f(t) = 3/(3t +1) + 4.

Решение. Если непрерывная функция f(t) характеризует производительность труда рабочего в зависимости от времени t, то объем продукции, произведенной рабочим за промежуток времени от t₁ до t₂ будет выражаться формулой

V = .

В нашем случае

V = = ln 10 + 12 - ln 7 - 8 = ln 10/7 + 4.

Пример. Определить запас товаров в магазине, образуемый за три дня, если поступление товаров характеризуется функцией f(t) = 2t + 5.

Решение. Имеем:

V = .

Пример. Пусть сила роста (см.6.1) описывается некоторой непрерывной функцией времени d _t = f(t), тогда наращенная сумма находится как

S = P exр d _t dt,

а современная величина платежа P = S exр(- d _t dt).

Если, в чаcтности, d _t является линейной функцией времени:
d _t = d _o + at, где d _o - величина силы роста для t = 0, a - годовой прирост, то

d _t dt = (d _o + at)dt = d _o n + an²/2;

множитель наращения exр(d _o n + an²/2). Если сила роста изменяется по геометрической прогрессии d _t = d _o a^t, где d _o - начальное значение процентной ставки, a - годовой коэффициент роста, тогда

d _t dt = d _o a^t dt = d _o a^t /lna = d _o(aⁿ -1)/lna;

множитель наращения exр(d _o(aⁿ -1) / lna).

Предположим, что начальный уровень силы роста равен 8%, процентная ставка ежегодно увеличивается на 20% (a=1,2), срок ссуды 5 лет. Множитель наращения в этом случае составит exр (0,08 (1,2⁵-1) / ln1,2)»
» exр 0,653953» 1,921397.

Пример. Выше при анализе непрерывных потоков платежей предполагалось, что годовая сумма ренты R равномерно распределяется на протяжении года. На практике, особенно в инвестиционных процессах, этот поток может существенно изменяться во времени, следуя какому-либо закону. Если этот поток непрерывен и описывается некоторой функцией
R _t = f (t), то общая сумма поступлений за время n равна .

В этом случае наращенная по непрерывной ставке за период от 0 до n сумма составит:

S = .

Современная величина такого потока равна

A = .

Пусть функция потока платежей является линейной: R_t = R_o + at, где
R_o - начальная величина платежа, выплачиваемого за единицу времени, в которой измеряется срок ренты. Вычислим современную величину A, пользуясь правилами интегрирования определенного интеграла:

A = = + .

Обозначим A₁ = , A₂ = .

Имеем: A₁ = = - R_o/d ê = - R_o/d( -e^o) = - R_o/d( -1) =
= R_o( -1)/d. A₂ = . Вычислим неопределенный интеграл
по частям: u = t, dv = dt Þ du = dt, v = = - /d, тогда = - t /d + 1/d = - t /d (t+1/d) +C. Следовательно,
A₂ = -a t /d (t+1/d) = ((1- )/d - n )a/d.

Итак, исходный интеграл

A = A₁ + A₂ = R_o( -1)/d + ((1- )/d - n )a/d.

► Определения объема выпуска продукции. (слайд 16)

Задача. Определить объем продукции, произведенной рабочим за третий час рабочего дня, если производительность труда характеризуется функцией

f(t) = 3/(3t +1) + 4.

Решение. Если непрерывная функция f(t) характеризует производительность труда рабочего в зависимости от времени t, то объем продукции, произведенной рабочим за промежуток времени от t₁ до t₂ будет выражаться формулой

В нашем случае

V = = ln 10 + 12 - ln 7 - 8 = ln 10/7 + 4.

► «Кривая Лоренца» и «коэффициент Джини» (слайды17-19)

Интересной иллюстрацией возможности применения интегралов для

анализа социально-экономического строения общества являются так

называемые «кривая Лоренца» и «коэффициент Джини», показывающие, какая доля совокупного дохода приходится на каждую группу населения, что позволяет судить об уровне экономического неравенства в данной стране.

Строится кривая Лоренца следующим образом: на оси абсцисс (горизонтальной) откладывается число всех семей, принятое за 100%, на оси ординат – величина их совокупных доходов, составляющая в сумме 100%. Затем число семей делится на 10 равных групп (децилей), вверх откладывается размер дохода каждой децильной группы.

Если все богатство страны находится в руках небольшого числа семей, кривая Лоренца будет практически совпадать с горизонтальной осью, и только на цифре 98 –99% подскочит сразу до 100%.

Если у всех семей уровень дохода одинаков (т.е.20% семей получает 20% совокупного денежного дохода, 50% семей – 50% дохода и т.д.), то кривая Лоренца совпадет с биссектрисой угла на графике распределения доходов.

Это крайние случаи, скорее, гипотетические. В реальной действительности кривая Лоренца находится между ними. Чем она ближе к линии абсолютного равенства доходов (диагонали ОА), тем равномернее они распределены между семьями.

Кривая Лоренца позволяет наглядно сравнивать, как меняется распределение доходов семей в одной и той же стране в различные годы, или каково оно в разных странах в одно и тоже время. Это – графическое отражение уровня благосостояния в стране.

 

Линия ОВ называется линией абсолютного равенства. Лома­ная линия OAВ - это линия абсолютного неравенства. Реальное распределение доходов в обществе характеризуется кривой ODB и степенью ее отклонения от биссектрисы.

Отклонения кривой Лоренца от биссектрисы можно изме­рить через отношение площади фигуры, образованной кривой Лоренца (ОDВ) и кривой равенства (ОВ), к площади треугольника, образованного кривыми равенства (ОВ) и неравенства (ОАВ). В результате получим показатель, характеризующий степень неравенства, который в экономиче­ской литературе получил название коэффициента Джини, который рассчитывается следующим образом: . ( )

Этот коэффициент может принимать значения от 0 до 1. Чем больше значение коэффициента, тем дальше кривая Лоренца отстоит от биссектрисы и тем силь­нее неравенство. Коэффициент Джини в России в 2009 году составлял 39% (0,39), а в 2011 году – 42% (0,42).

 

Коэффициент Джини (0÷1), индекс Джини (0÷100 %)

< 0.25 0.25–0.29

0.30–0.34 0.35–0.39 0.40–0.44

0.45–0.49 0.50–0.54 0.55–0.59 ≥ 0.60

нет данных

Можно придумать много аналогичных характеристик; например, для оценки распределения заработной платы в фирме или акций среди сотрудников и т.п. Соответствующие функции Джини наверняка будут довольно сложными и без интегралов не обойтись.

К сведению. Коррадо Джини (1884—1965) — итальянский экономист, статистик, социолог и демограф. Окончил Болонский университет. Являлся профессором университетов в Кальяри, Падуе и Риме. Основатель и первый директор Центрально­го института статистики, президент итальянских Социологиче­ского и Статистического обществ. Основным направлением исследований была статистика доходов.

Макс Лоренц (1876—1959) — американский экономист и статистик. Долгое время преподавал экономику. С 1907 по 1911 гг. член комиссии департамента по статистике промышленности и труда, агент Американского бюро перепи­сей. С 1911 г. — действительный член Государственной ком­мерческой комиссии, а с 1917 по 1944 г. — начальник бюро при этой комиссии. Основным направлением исследований была статистика доходов. Получил широкую известность благодаря тому, что дал графическую интерпретацию неравенства в рас­пределении дохода в обществе (кривая Лоренца).

 

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: