 |
Перпендикулярность прямых на плоскости.
|
|
|
|
Взаимное расположение прямых и плоскостей.
Знания о взаимном расположении прямых лежат в основе изучения свойств геом фигур как в планиметрии так и в стереометрии. Разделы о взаимном расп прямых и пл-тей изучаются сразу же после введения осн понятий на пл и в пр-ве. Данный материал сопровождается решением большого количества задач, среди которых особое место занимают задачи на доказательство и задачи конструктивного хар-ра. Конструктивные з трехмерного пр-ва требуют как форально-логического подхода при их решении, так и знания проекционного чертежа.в процессе изучения этой темы постепенно ведется работа по формированию у уч-ся векторного м-да, умению использовать его при доказательстве целого ряда теорем и решении задач.
Изучение взаимного расп прямых и пл-тей можно разделить на три этапа:
Подготовительная (пропедевтическая) работа по ознакомлению уч-ся со взаимным расположением прямых на пл-ти и некоторыми пространственными фигурами в 1-6 кл.
Систематическое изучение взаимного расположения прямых на плоскости и знакомство на наглядной основе с простейшими многогранниками в 7-9 кл.
Систематическое изучение взаимного расположения прямых и плоскостей в пр-ве в 10-11 кл.
Уже в подготовительном курсе геометрии изучаются на наглядно-оперативном уровне такие вопросы, как пересечение двух прямых на плоскости, перпендикулярность двух прямых на пл-ти, пар-ть пр. здесь даются опр перп-х и пар-х прямых, формируются навыки изображения каждого из названных случаев на плоскости, развиваются умения пользоваться чертежными инструментами. Основой для введения различных случаев взаимного расположения прямых яв-ся беседа о возможном числе общих точек у двух прямых на пл-ти, где исп-ся интуиция и жизненный опыт уч-ся. Подготовит этап играет важную роль в обогащении жизненного опыта, в нвакоплении необходимого фактического материала, который будет служить базой для успешного систематического изучения геометрии.
|
|
|
На этой ступени уч-ся должны знать:
Что две пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку, и уметь изобразить пересекающиеся прямые;
Что две перпендикулярные прямые яв-ся пересекающимися, и уметь их строить;
Что две парал-ые прямые совсем не имеют общих точек, и уметь их построить.
При систематическом изучении геом знакомые геом объекты предстают в новом виде. В процессе изучения cd-d прямой важно постоянно подчеркивать, что она безгранична, и на рис можно изобразить только часть прямой. Положение о том, что любая прямая содержит точки, а также есть точки и вне прямой, в одних учебных пособиях формулируется как аксиома (Колмогоров), а в других без всякого указания включено в текст. В усвоении данной темы большую роль играют з, сопровождаемые рис.
Н-р. Отметить точки принадлеж-ие прямой и не прин-ие.
Пересекаются ли прямые?
В уч-ых пособиях отрезок и луч рас-ся как части прямой, что следует подчеркнуть.
В уч-ом пособии А.В.Погорелова введение понятия параллельных прямых и аксиома пар-ых предшествует изучению перпендикулярных прямых. Существование пар-ых прямых на пл-ти, признаки пар-ти прямых, построение пар-ых прямых с помощью циркуля и линейки излагаютс после изучения раздела о перп-ых прямых.
У Атанасяна Л.С. наоборот, начинается с перп-ых.
В начале изучения взаимного расположения прямых на пл-ти целесообразно дать уч-ся оющую картину взаимного расположения двух прямых на пл-ти. С этой целью можно повести беседу на применение аксиосм.
Н-р. Могут ли 2 прямые на пл-ти иметь только две общие точки?
…….. только одну общую точку?
|
|
|
Параллельность прямых на плоскости.
Учение о пар-ти прямых можно разделить на следующие части:
- опр пар прямых,
- существование пар прямых,
- построение пар пр,
- аксиома пар-s[?
- cвойства пар прямых,
- признаки,
- применение изученной теории к решению задач.
В учебном пособии по геом Погорелова и Атанасяна рассм-ся только два случая вз расп прямых: пер-ся и не пер-ся. Отсюда соответствующие опр: прямые на пл-ти, к-ые не пер-ся или прямые на пл-ти, не имеющие общих точек. Эти опр эквивалентны.
Вопрос о существовании пар прямых также решается неодинаково.
1. рас-ся спец теорема, показывающая существование пар прямых, а затем дается аксиома пар.
2. рас-ся аксиома пар, а затем док-ся теорема, показывающая существование таких прямых. (на основании свойств углов, образованных при перес двух прямых третьей).Погорелов.
в практике школы большое распрстранение получили обоснования признаков пар-ти прямых на основании свойств углов, образованных при перес двух прямых третьей.
При изучении раздела об этих углах рисунок к введению этих понятий не должен отражать частных случаев: две прямые не д.б. пар-ми, а секущая не д.б. перпенд-на к ним.
Формулировки аксиомы пар-ти различны.
Н-р у Погорелова. «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, пар-ой данной». У Атанасяна «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, пар-ая данной». (более сильное).
При изложении курса геом большое значение имеют как теоремы- признаки пар-ти так и теоремы обратные им.
Перед док-ом признаков пар-ти прямых необходима спец-ая работа по орг-ции повторения тех вопросов, которые сост-т основу док-ва.
По Погорелову:
1. признаки рав-ва треуг и опр равных треуг.
2. аксиома откладывания углов.
3. углы образованных при перес двух прямых третьей.
4. cd-во смежных углов.
По Атанасяну:
1. углы образованных при перес двух прямых третьей.
2. нахождение на рис внутренних углов треуг и его внешних.
3. нахождение на рис внутренних углов треуг, не смежных с данным внешним.
4. свойство внешнего угла треуг.
Док-во у Погорелова более сложное, желательно предварять его решением задач Н-р:
1. известно, что накрест лежащие углы одной пары равны между собой. Докажите, что остальные также попарно равны.
|
|
|
2. известно, что треу АВС= РОМ. Назовите равные углы и равные стороны этих треугольников.
3. Что значит,что прямые а и в не пар-ны?
При док-ве обратных теорем необходимо совместно с уч-ся четко провести рассуждения и записать их, чтобы на них полностью опираться при обучении уч-ся сам-му док-ву остальных теорем.
По содержанию задачи по этой теме можно разделить на три группы:
1. з на прямое применение аксиомы пар-ти.
2. з на применение признаков пар-ти прямых.
3. з на применение теорем, обратных признакам пар-ти прямых.
Перпендикулярность прямых на плоскости.
Учение о перп пр имеет в своей основе понятие угла между прямыми и умение измерять величину угла.
Существование перп пр показывается конструктивно. Способ решения з на построение перпендикуляра к прямой, проходящего через данную точку, основывается на свойстве смежных углов.
Док-во единственности перп к прямой, проходящего через данную точку, может оприраться на рахличные положения у Погорелова: используется аксиома откладывания углов, в других исп-ся положение о том, что в треугольнике не может быть двух прямых углов.
В классе под руководством учителя оформляется запись условия и заключения каждой теоремы, док-во первой теоремы. Док-во другой теоремы можно дать с пояснениями в кач-ве д\з.
После теоремы можно задать вопросы:
1. как на прямой а построить отрезок, концы которого равноудалены от т.В?
2. Сколько точек перпендикуляра достаточно построить, чтобы опр-ть его?
В этом же разделе рассматривается понятие наклонной. В беседе следует четко подчеркнуть, что через точку к данной прямой можно провести сколько угодно наклонных, а перп только один.
|
|
|
