Исследовать функции методом дифференциального исчисления и схематично построить их графики.
Контрольная работа Математика Преподаватель: Фатхуллина Алия Анасовна Рекомендации к выполнению контрольной работы Приступая к решению контрольных работ, необходимо изучить теоретический материал по рекомендованному учебнику. Изученный материал кратко законспектировать, выделяя основные определения, формулы необходимые для решения задач. Работы должны отвечать следующим требованиям: 1. Условия задач должны быть записаны в тетрадь. 2. Решения задач должны сопровождаться краткими обоснованными пояснениями. 3. Все вычисления должны быть приведены полностью. 4. Записи должны быть аккуратными и разборчивыми. 5. Из предложенных задач для контрольной работы студент выбирает номера задач по последней цифре его номера в списке группы. 6. Контрольная работа должна быть выслана в институт не позднее, чем за месяц до начала сессии. Студенты, вовремя не выполнившие контрольные работы, к экзамену допускаются по усмотрению преподавателя. 7. В период экзаменационной сессии студент обязан представить зачетную работу и защитить ее, решая самостоятельно подобные задачи.
Номера задач для контрольной работы
Контрольная работа
Убедиться, что векторы a,b,c образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису.
Даны координаты вершин пирамиды А, В, С, D. Требуется найти: 1) длину ребра АВ; 2) угол между ребрами АВ и АС; 3) уравнение прямой АВ; 4) уравнение плоскости АВС; 5) угол между ребром АD и гранью АВС; 6) площадь грани АВС; 7) объем пирамиды; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань АВС. Сделать чертеж.
16. А(-1, 1, 3), В(1, 0, 0), С(5,-2,1), D(-1,-1,0). 21-30. Даны вершины треугольника А(х1,у1), В(х2,у2), С(х3,у3). Требуется: 1) вычислить длину высоты и медианы, проведенных из вершин В; написать их уравнения; 2) написать уравнение прямой, проходящей через вершину В параллельно стоне АС; 3) угол между прямыми АВ и АС; 4) найти точку В1 симметричную точке В относительно прямой АС.
31-40. Линия задана уравнением r=r(j) в полярной системе координат. Требуется: 1. построить линию по точкам, начиная от j=0 до j=2p и придавая j значения через промежуток ; 2. найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс с полярной осью; По уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.
36. ;
Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее тремя способами: 1) методом Крамера; 2) методом Гаусса; 3) средствами матричного исчисления.
46. 56. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.
66. .
71-80. Дано комплексное число . Требуется: 1) записать его в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения .
76. . 81-90. Даны два линейных преобразования: Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее , , через , , . 86.
Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
96. а) , б) , в) , г) .
Исследовать функции на непрерывность и сделать схематический чертеж.
106. а) , при , . б) .
111-120. Найти производные данных функций.
116. а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
Исследовать функции методом дифференциального исчисления и схематично построить их графики.
126. а) ; б) .
Решение типового варианта Пример 1. Даны векторы , , , в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе. Решение: Для того, чтобы три вектора могли образовывать базис пространства , необходимо и достаточно, чтобы они были линейно независимы. Это значит, определитель, столбцами которого являются координаты векторов системы, должен быть отличен от нуля. Вычислим определитель D системы. . Вывод: векторы , , линейно независимы и образуют базис в . Разложение вектора по базису , , в векторной форме имеет вид: , где х1, х2, х3 – искомые координаты вектора в данном базисе. В координатной форме это разложение имеет вид: (24;20;6)= х1 (2;4;1)+ х2 (1;3;6)+ х3 (5;3;1) или (24;20;6)=(2 х1 + х2 +5 х3;4 х1 +3 х2 +3 х3; х1 +6 х2 + х3). В левой и правой частях полученного равенства стоят два вектора. Они равны и поэтому равны их одноименные координаты. Получим систему трех уравнений с тремя неизвестными: . Систему решаем по формулам Крамера. Для этого, кроме определителя D, вычисляем D 1, D 1, D 3, полученные из определителя D заменой соответствующих столбцов столбцом свободных членов системы.
Координаты вектора определяются по формулам: ; ; . Таким образом, разложение вектора по базису , , имеет вид: или (2; 0; 4). Проверка. Подставим в правую часть полученного разложения координаты векторов , , : = 2 (2; 4; 1)+ 4 (5; 3; 1;)=(4; 8; 2)+(20; 12; 4)=(24; 20; 6)= . Получили координаты вектора . Значит, разложение вектора по базису , , найдено верно.
Пример 2. Даны координаты вершин пирамиды ABCD: A(10; 6; 6), B(- 2; 8; 2), C(6; 8; 9), D(7; 10; 3). Найти: 1) Длину ребра АВ; 2) Угол между ребрами АВ и АD; 3) Уравнение прямой АВ; 4) Уравнение плоскости АВС; 5) Угол между ребром АD и гранью АВС; 6) Площадь грани АВС; 7) Объем пирамиды; 8) Уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань АВС. Сделать чертеж. Решение: 1) Если ребро АВ обозначить за вектор , то длина ребра - это длина вектора. Находим координаты вектора : =(- 2-10; 8-6; 2-6)=(- 12; 2;- 4). Если =(х; у: z), то его длина .
Следовательно, . 2) Угол между ребрами АВ и АD – это угол между векторами и . Находим координаты вектора . =(7-10; 10-6;3-6)=(-3;4;-3). Из пункта 1) нам известны координаты вектора =(- 12; 2;- 4). Угол между двумя векторами находится по формуле: . Если векторы и имеют координаты =(х1; у1: z1), (х2; у2: z2) соответственно, то эта формула перепишется в виде: . Следовательно, получаем
Итак, . 3) Уравнение прямой, проходящей через две точки М1(х1; у1; z1) и М2(х2; у2; z2) имеет вид:
или равносильное ему уравнение: , где =(l,m,n) – координаты направляющего вектора прямой М1М2. Направляющий вектор прямой – это вектор, параллельный прямой. В нашем случае прямая проходит через точки А(10; 6; 6) и В(- 2; 8; 2).Следовательно, уравнение прямой АВ: . Итак, каноническое уравнение прямой АВ: где направляющий вектор 4) Уравнение плоскости по трем точкам находится по формуле: , (*) где А(х1; у1; z1); В (х2; у2; z2); С(х3; у3; z3) – точки, через которые проходит плоскость. Подставляя координаты точек А, В, С в формулу (*), получим:
. Считаем определитель, разложив его по первой строке. D=а11А11+а12А12+а13А13, где - алгебраические дополнения элементов , а Мi j – минор элемента . Минором элемента матрицы называется определитель, получаемый (вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых он расположен) из данного. Следовательно,
. Итак, уравнение плоскости АВС: . 5) Требуется найти угол между ребром АD и гранью АВС. Это равносильно нахождению угла между прямой АD и плоскостью АВС. Угол между прямой и плоскостью Ах+Ву+Сz+D=0 определяется по формуле: , где - координаты нормального вектора плоскости АВС. - координаты направляющего вектора прямой АD. Находим уравнение прямой АD по двум точкам: . Следовательно, АD: , . Т.к. уравнение плоскости АВС: , то ее нормальный вектор . Значит, . . 6) Площадь грани АВС – это площадь треугольника АВС. Если треугольник построен на векторах и , то его площадь считается по формуле: . Из пункта 1) имеем =(- 12; 2;- 4).Находим координаты вектора . =(6-10;8-6;9-6)=(-4;2;3). Далее необходимо найти векторное произведение .Составляем определитель и вычисляем его, раскладывая по первой строке.
находим длину полученного вектора: . Следовательно, . 1.б) Составим уравнение стороны АС – основания высоты ВН по известным двум точкам АС: Þ Þ . Приведем это уравнение к общему виду прямой. 4(х -1) = -7(у +1) Þ 4х - 4 = -7 у -7Þ АС: 4х+7у+3=0. Угловой коэффициент этой прямой . Две прямые перпендикулярны, если: . Т. к. АС ^ ВН, то . Составим уравнение высоты ВН, зная, ее угловой коэффициент и точку В. . Þ 4 (у+6)=7(х+2) Þ 4 у+24=7х+14. ВН: 7х-4у-10=0.
Вычислим длину высоты ВН, как расстояние от точки В до прямой АС, по формуле . Тогда получим 2) Известно, что если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты совпадают. Следовательно, т. к BL|| AC,то . Составляем уравнение прямой BL, зная ее угловой коэффициент и точку B(-2;-6), через которую проходит эта прямая, т. е. . Þ7 у+42=-4х-8 Þ BL: 4х+7у+50=0. 3) Найдем угол между прямыми АВ и АС. Составим уравнение прямой АВ по известным двум точкам Þ . 5(х +2) = 3(у +6) Þ 5 х+10 = 3 у +18Þ АВ: 5х-3у-8=0. Угловой коэффициент АВ: . Знаем, что . Воспользуемся формулой . Для данного случая . 4) Из п.1.б) известны уравнения стороны АС: 4х+7у+3=0 и высоты ВН: 7х-4у-10=0. Найдем точку их пересечения: . - точка пересечения стороны АС и высоты ВН. Эта же точка является серединой отрезка ВВ1. Зная формулы координат середины отрезка , выведем формулы Для данного случая получаем: Окончательно имеем: . Пример 4. Линия, заданная уравнением r=r(j) в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам, начиная от j=0 до j=2p и придавая j значения через промежуток ; 2) найти уравнение данной линии в декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс с полярной осью; 3) по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия: . Решение: 1) Рассмотрим первый способ построения кривой. Придавая углу значения через промежуток , вычисляем соответствующие значения, радиуса r и записываем в виде таблицы найденные полярные координаты точек.
По найденным точкам строим кривую в полярной системе координат (см. рис.)
Рис.
2) Перейдем к прямоугольным координатам, используя формулы: и . Подставляя выражение для r и соsj в заданное уравнение , получаем: . Выполняем преобразования, чтобы освободиться от знаменателя.
; , ; . Перенося 2х в правую часть и возводя в квадрат обе части равенства, имеем: . Преобразуя, получаем уравнение кривой в каноническом виде. - парабола. 3) Полученное уравнение определяет параболу, ось симметрии которой ось абсцисс, а вершина находится в точке , ветви направлены влево. Данные результаты соответствуют результатам, полученным ранее (см. рис.).
Пример 5. Дана система линейных уравнений: доказать ее совместность и решить тремя способами: 1) Методом Гаусса; 2) По формулам Крамера; 3) Средствами матричного исчисления. Решение: Теорема Кронекера-Капелли. Система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы равен рангу ее расширенной матрицы, т. е. r (A) =r (A1), где , . Расширенная матрица системы имеет вид: . Умножим первую строку на (–3),а вторую на (2); прибавим после этого элементы первой строки к соответствующим элементам второй строки; вычтем из второй строки третью. В полученной матрице первую строку оставляем без изменений.
~ Разделим элементы третьей строки на (6) и поменяем местами вторую и третью строки: ~ ~ Умножим вторую строку на (–11) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки. ~ Разделим элементы третьей строки на (10). ~ ; ~ . Найдем определитель матрицы А. . Следовательно, r (A) =3. Ранг расширенной матрицы r (A1) так же равен 3, т.е. r (A) =r (A1)= 3 Þ система совместна.
1) Исследуя систему на совместность, расширенную матрицу преобразовали по методу Гаусса. Метод Гаусса состоит в следующем: 1. Приведение матрицы к треугольному виду, т. е. ниже главной диагонали должны находиться нули (прямой ход). 2. Из последнего уравнения находим х3 и подставляем его во второе, находим х2, и зная х3, х2 подставляем их в первое уравнение, находим х1 (обратный ход). Запишем, преобразованную по методу Гаусса, расширенную матрицу ~ в виде системы трех уравнений: Þ х3=1 х2=х3 Þ х3=1 2х1=4+х2+х3 Þ 2х1=4+1+1 Þ Þ 2х1=6 Þ х1=3 Ответ: х1=3, х2=1, х3=1. 2) Решим систему по формулам Крамера: если определитель системы уравнений Δ отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам ; ; . Вычислим определитель системы Δ: Т.к. определитель системы отличен от нуля, то согласно правилу Крамера, система имеет единственное решение. Вычислим определители Δ1, Δ2, Δ3. Они получаются из определителя системы Δ заменой соответствующего столбца на столбец свободных коэффициентов. Находим по формулам неизвестные: ; ; Ответ: х1=3, х2=1, х3=1 . 3) Решим систему средствами матричного исчисления, т. е. при помощи обратной матрицы. А×Х=В Þ Х=А-1× В, где А-1 – обратная матрица к А, - столбец свободных членов, - матрица-столбец неизвестных. Обратная матрица считается по формуле: (*) где D - определитель матрицы А, Аij – алгебраические дополнения элемента а ij матрицы А. D = 60 (из предыдущего пункта). Определитель отличен от нуля, следовательно, матрица А обратима, и обратную к ней матрицу можно найти по формуле (*). Найдем алгебраические дополнения для всех элементов матрицы А по формуле: Аij= (-1) i+j Mij .
Запишем обратную матрицу. . Сделаем проверку по формуле: А-1× А=Е.
А-1А = Вывод: так как произведение А-1× А дает единичную матрицу, то обратная матрица А-1 найдена верно и решение системы определяется по формуле Х=А-1×В. . Ответ: х1=3, х2=1, х3=1. Проверка. Подставим полученные значения в систему. Получим: Т. к. неизвестные х1, х2, х3 обратили каждое уравнение в тождество, то они найдены верно.
Пример 6. Решить систему методом Гаусса и найти какие-нибудь два базисных решения системы. Решение:
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|