Исследовать функции методом дифференциального исчисления и схематично построить их графики.
Контрольная работа Математика Преподаватель: Фатхуллина Алия Анасовна Рекомендации к выполнению контрольной работы Приступая к решению контрольных работ, необходимо изучить теоретический материал по рекомендованному учебнику. Изученный материал кратко законспектировать, выделяя основные определения, формулы необходимые для решения задач. Работы должны отвечать следующим требованиям: 1. Условия задач должны быть записаны в тетрадь. 2. Решения задач должны сопровождаться краткими обоснованными пояснениями. 3. Все вычисления должны быть приведены полностью. 4. Записи должны быть аккуратными и разборчивыми. 5. Из предложенных задач для контрольной работы студент выбирает номера задач по последней цифре его номера в списке группы. 6. Контрольная работа должна быть выслана в институт не позднее, чем за месяц до начала сессии. Студенты, вовремя не выполнившие контрольные работы, к экзамену допускаются по усмотрению преподавателя. 7. В период экзаменационной сессии студент обязан представить зачетную работу и защитить ее, решая самостоятельно подобные задачи.
Номера задач для контрольной работы
Контрольная работа
Убедиться, что векторы a,b,c образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису.
Даны координаты вершин пирамиды А, В, С, D. Требуется найти: 1) длину ребра АВ; 2) угол между ребрами АВ и АС; 3) уравнение прямой АВ; 4) уравнение плоскости АВС; 5) угол между ребром АD и гранью АВС; 6) площадь грани АВС; 7) объем пирамиды; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань АВС. Сделать чертеж.
16. А(-1, 1, 3), В(1, 0, 0), С(5,-2,1), D(-1,-1,0). 21-30. Даны вершины треугольника А(х1,у1), В(х2,у2), С(х3,у3). Требуется: 1) вычислить длину высоты и медианы, проведенных из вершин В; написать их уравнения; 2) написать уравнение прямой, проходящей через вершину В параллельно стоне АС; 3) угол между прямыми АВ и АС; 4) найти точку В1 симметричную точке В относительно прямой АС.
31-40. Линия задана уравнением r=r(j) в полярной системе координат. Требуется: 1. построить линию по точкам, начиная от j=0 до j=2p и придавая j значения через промежуток 2. найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс с полярной осью; По уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.
36.
Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее тремя способами: 1) методом Крамера; 2) методом Гаусса; 3) средствами матричного исчисления.
46. 56. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.
66.
71-80. Дано комплексное число
76. 81-90. Даны два линейных преобразования: Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее 86.
Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
96. а) в)
Исследовать функции на непрерывность и сделать схематический чертеж.
106. а)
111-120. Найти производные данных функций.
116. а) в) д)
Исследовать функции методом дифференциального исчисления и схематично построить их графики.
126. а)
Решение типового варианта Пример 1. Даны векторы Решение: Для того, чтобы три вектора могли образовывать базис пространства Вычислим определитель D системы.
Вывод: векторы Разложение вектора
где х1, х2, х3 – искомые координаты вектора В координатной форме это разложение имеет вид: (24;20;6)= х1 (2;4;1)+ х2 (1;3;6)+ х3 (5;3;1) или (24;20;6)=(2 х1 + х2 +5 х3;4 х1 +3 х2 +3 х3; х1 +6 х2 + х3). В левой и правой частях полученного равенства стоят два вектора. Они равны и поэтому равны их одноименные координаты. Получим систему трех уравнений с тремя неизвестными:
Систему решаем по формулам Крамера. Для этого, кроме определителя D, вычисляем D 1, D 1, D 3, полученные из определителя D заменой соответствующих столбцов столбцом свободных членов системы.
Координаты вектора
Таким образом, разложение вектора Проверка. Подставим в правую часть полученного разложения координаты векторов
Получили координаты вектора
Пример 2. Даны координаты вершин пирамиды ABCD: A(10; 6; 6), B(- 2; 8; 2), C(6; 8; 9), D(7; 10; 3). Найти: 1) Длину ребра АВ; 2) Угол между ребрами АВ и АD; 3) Уравнение прямой АВ; 4) Уравнение плоскости АВС; 5) Угол между ребром АD и гранью АВС; 6) Площадь грани АВС; 7) Объем пирамиды; 8) Уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань АВС. Сделать чертеж. Решение: 1) Если ребро АВ обозначить за вектор
Если
Следовательно,
2) Угол между ребрами АВ и АD – это угол между векторами
Из пункта 1) нам известны координаты вектора
Если векторы
Следовательно, получаем
Итак, 3) Уравнение прямой, проходящей через две точки М1(х1; у1; z1) и М2(х2; у2; z2) имеет вид:
или равносильное ему уравнение:
где Направляющий вектор прямой – это вектор, параллельный прямой. В нашем случае прямая проходит через точки А(10; 6; 6) и В(- 2; 8; 2).Следовательно, уравнение прямой АВ:
Итак, каноническое уравнение прямой АВ: где направляющий вектор 4) Уравнение плоскости по трем точкам находится по формуле:
где А(х1; у1; z1); В (х2; у2; z2); С(х3; у3; z3) – точки, через которые проходит плоскость. Подставляя координаты точек А, В, С в формулу (*), получим:
Считаем определитель, разложив его по первой строке. D=а11А11+а12А12+а13А13, где
Итак, уравнение плоскости АВС:
5) Требуется найти угол между ребром АD и гранью АВС. Это равносильно нахождению угла между прямой АD и плоскостью АВС. Угол между прямой
где
Находим уравнение прямой АD по двум точкам:
Следовательно, АD: Т.к. уравнение плоскости АВС: Значит,
6) Площадь грани АВС – это площадь треугольника АВС. Если треугольник построен на векторах
Из пункта 1) имеем
Далее необходимо найти векторное произведение
находим длину полученного вектора:
Следовательно,
1.б) Составим уравнение стороны АС – основания высоты ВН по известным двум точкам АС: Приведем это уравнение к общему виду прямой. 4(х -1) = -7(у +1) Þ 4х - 4 = -7 у -7Þ АС: 4х+7у+3=0. Угловой коэффициент этой прямой Составим уравнение высоты ВН, зная, ее угловой коэффициент и точку В.
ВН: 7х-4у-10=0.
Вычислим длину высоты ВН, как расстояние от точки В до прямой АС, по формуле 2) Известно, что если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты совпадают. Следовательно, т. к BL|| AC,то Составляем уравнение прямой BL, зная ее угловой коэффициент
3) Найдем угол между прямыми АВ и АС. Составим уравнение прямой АВ по известным двум точкам
Угловой коэффициент АВ: Воспользуемся формулой
Для данного случая
4) Из п.1.б) известны уравнения стороны АС: 4х+7у+3=0 и высоты ВН: 7х-4у-10=0. Найдем точку их пересечения:
выведем формулы Для данного случая получаем: Пример 4. Линия, заданная уравнением r=r(j) в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам, начиная от j=0 до j=2p и придавая j значения через промежуток 2) найти уравнение данной линии в декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс с полярной осью; 3) по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия:
Решение: 1) Рассмотрим первый способ построения кривой. Придавая углу значения через промежуток
По найденным точкам строим кривую в полярной системе координат (см. рис.)
Рис.
2) Перейдем к прямоугольным координатам, используя формулы:
Подставляя выражение для r и соsj в заданное уравнение
получаем:
Выполняем преобразования, чтобы освободиться от знаменателя.
Перенося 2х в правую часть и возводя в квадрат обе части равенства, имеем:
Преобразуя, получаем уравнение кривой в каноническом виде.
3) Полученное уравнение определяет параболу, ось симметрии которой ось абсцисс, а вершина находится в точке Данные результаты соответствуют результатам, полученным ранее (см. рис.).
Пример 5. Дана система линейных уравнений: доказать ее совместность и решить тремя способами: 1) Методом Гаусса; 2) По формулам Крамера; 3) Средствами матричного исчисления. Решение: Теорема Кронекера-Капелли. Система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы равен рангу ее расширенной матрицы, т. е. r (A) =r (A1), где
Расширенная матрица системы имеет вид:
Умножим первую строку на (–3),а вторую на (2); прибавим после этого элементы первой строки к соответствующим элементам второй строки; вычтем из второй строки третью. В полученной матрице первую строку оставляем без изменений.
Разделим элементы третьей строки на (6) и поменяем местами вторую и третью строки: ~ Умножим вторую строку на (–11) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки. ~ Разделим элементы третьей строки на (10).
Найдем определитель матрицы А.
Следовательно, r (A) =3. Ранг расширенной матрицы r (A1) так же равен 3, т.е. r (A) =r (A1)= 3 Þ система совместна.
1) Исследуя систему на совместность, расширенную матрицу преобразовали по методу Гаусса. Метод Гаусса состоит в следующем: 1. Приведение матрицы к треугольному виду, т. е. ниже главной диагонали должны находиться нули (прямой ход). 2. Из последнего уравнения находим х3 и подставляем его во второе, находим х2, и зная х3, х2 подставляем их в первое уравнение, находим х1 (обратный ход). Запишем, преобразованную по методу Гаусса, расширенную матрицу
в виде системы трех уравнений:
х2=х3 Þ х3=1 2х1=4+х2+х3 Þ 2х1=4+1+1 Þ Þ 2х1=6 Þ х1=3 Ответ: х1=3, х2=1, х3=1. 2) Решим систему по формулам Крамера: если определитель системы уравнений Δ отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам
Вычислим определитель системы Δ:
Находим по формулам неизвестные:
Ответ: х1=3, х2=1, х3=1 . 3) Решим систему средствами матричного исчисления, т. е. при помощи обратной матрицы. А×Х=В Þ Х=А-1× В, где А-1 – обратная матрица к А,
Обратная матрица считается по формуле:
где D - определитель матрицы А, Аij – алгебраические дополнения элемента а ij матрицы А. D = 60 (из предыдущего пункта). Определитель отличен от нуля, следовательно, матрица А обратима, и обратную к ней матрицу можно найти по формуле (*). Найдем алгебраические дополнения для всех элементов матрицы А по формуле: Аij= (-1) i+j Mij .
Запишем обратную матрицу.
Сделаем проверку по формуле: А-1× А=Е.
А-1А = Вывод: так как произведение А-1× А дает единичную матрицу, то обратная матрица А-1 найдена верно и решение системы определяется по формуле Х=А-1×В.
Ответ: х1=3, х2=1, х3=1. Проверка. Подставим полученные значения в систему. Получим: Т. к. неизвестные х1, х2, х3 обратили каждое уравнение в тождество, то они найдены верно.
Пример 6. Решить систему методом Гаусса и найти какие-нибудь два базисных решения системы. Решение:
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|