Множества и их свойства. Функции.
Стр 1 из 2Следующая ⇒ ГЛАВА 1. МНОЖЕСТВА. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА. В математике все понятия делятся на первичные и определяемые через первичные или уже известные. Основным первичным понятием математики, ее фундаментом является понятие множество. Слова «совокупность», «семейство», «система», «набор», «объединение» являются синонимами слова «множество». Под множеством понимается некоторая совокупность объектов, которые объединены в одну группу по некоторым признакам. Примеры множеств: множество учащихся в аудитории; совокупность тех из них, кто получает по математике только отличные оценки; семейство звезд Большой Медведицы; множество страниц книги; множество всех целых положительных чисел и т. д. Из приведенных примеров следует, что множество может содержать конечное или бесконечное число объектов произвольной природы. Первичными понятиями являются также точка, прямая и плоскость. Для всех остальных понятий будут даны определения. Объекты, образующие множества называются элементами или точками множества. Множества будем обозначать: А, В,…, X, Y…, а соответствующие элементы: а,b …,x, y… Если а есть элемент множества А, то пишут Два множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов и пишут Элементы множества записываются в скобках, например: Имеет место понятие пустого множества, т.е. множества, не содержащего ни одного элемента, и его обозначают Ø. Определение 1.
Пустое множество содержится в любом множестве, т.е. Ø Рассмотрим операции над множествами. Пусть А и В два множества. Определение 2. Объединением (суммой) множеств А и В называется такое множество S, каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному множеству А или В. Обозначение: Объединение конечного числа множеств . Определение 3. Пересечением (произведением) двух множеств А и В называется такое множество P, которое состоит из элементов множества А и элементов множества В.
Пересечение конечного числа множеств Определение 4. Разностью двух множеств А и В называется множество D, которое состоит из элементов множества А, но не принадлежащих множеству В. Если Определение 5. Симметрической разностью двух множеств А и В называется множество С = Свойства операций над множествами: 1. 2.Если 3. Если 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Доказательство этих свойств весьма просто. Например, для доказательства равенства двух множеств надо доказать, что элемент принадлежащий левой части равенства принадлежит и правой. Пусть заданы два множества Определение 6. Декартовым произведением множеств Х и Y называется множество всех упорядоченных пар
Определение 7. Подмножество F декартового произведения
Из определения следует, что не всякое подмножество Определение 8. Функцией F заданной на множестве Х и принимающей значение на множестве Y называется правило, по которому элементу Множество Х называется областью определения Иногда говорят, что элемент у является образом элемента x при отображении F, а элемент х называют прообразом (одним из возможных) элемента у при отображении F. Множество Пусть существует также отображение Очевидны следующие тождества: Если существуют отображения Определение 9. Пусть Теперь дадим определение очень важного в математическом анализе понятия. Определение 10. Функция определения на множестве Пусть Определение 11. Множества А и В называются эквивалентными, если существует взаимно-однозначное отображение этих множеств.
Обозначение: Пример. Пусть Полученная функция Определение 12. Пусть Определение 13. Бесконечное множество А называется счетным, если А~ N, в противном случае бесконечное множество называется несчетным. Говорят, что множество А не более чем счетное, если оно либо конечно, либо счетное. Элементы такого множества можно занумеровать:
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|