 |
Методические указания к выполнению задания по теме 8
|
|
|
|
Тема 8. Выборочное наблюдение
Содержание задания и требования к нему
По теме 8 для каждого студента номер задачи соответствует варианту.
Задача 1. Произведено выборочное обследование длительности производственного стажа рабочих. В выборку было взято 200 рабочих из общего количества в 3000 чел. Результат обследования выборки характеризуется следующими данными:
| Продолжительность стажа, год | 0–2 | 2–4 | 4–6 | 6–8 | 8–10 |
| Число рабочих |
Определить с доверительной вероятностью 0,836 возможные пределы колебаний средней продолжительности стажа всех рабочих.
Задача 2. В порядке случайной бесповторной 10%-ной выборки было проверено 100 тыс. деталей, поступивших на контроль. в итоге проверки было установлено наличие 750 бракованных деталей. С доверительной вероятностью 0,954 определить:
а) ошибку репрезентативности при установлении доли бракованной продукции;
б) пределы доверительного интервала, в которых находится доля бракованной продукции для всей генеральной совокупности.
Задача 3. Выборочным обследованием было охвачено 25 тыс. пассажиров пригородных поездов. На основании этого обследования была установлена средняя дальность поездки пассажира – 30 км и среднее квадратическое отклонение – 2,5 км. Определить пределы средней дальности поездки пассажиров в генеральной совокупности при уровне доверительной вероятности:
а) 0,663;
б) 0,947.
Задача 4. В порядке механической выборки обследован возраст 100 студентов вуза из общего числа 2000 человек. Результаты исследования характеризуются следующими данными:
| Возраст, лет | Итого | |||||||
| Число студентов, чел |
|
|
|
Определить:
а) средний возраст студентов по выборке;
б) ошибку репрезентативности;
в) вероятные пределы колебания возраста для всех студентов вуза при уровне доверительной вероятности 0,997.
Задача 5. Произведено выборочное наблюдение для определения доли брака. В выборку было взято 900 изделий из общего количества в 9 тыс. изделий. В выборке было обнаружено 54 бракованных изделия. Определить размер колебания доли бракованных изделий в генеральной совокупности с вероятностью 0,930.
Задача 6. В условиях случайного бесповторного отбора объем выборочной совокупности 800 единиц. Величина средней 10,2 кг, среднее квадратическое отклонение 0,4 кг. Определить уровень доверительной вероятности того, что генеральная средняя не превысит 10,5 кг. Генеральная совокупность 20 тыс. единиц.
Задача 7. По городской телефонной сети в порядке механической выборки произвели 12 тыс. наблюдений и установили среднюю продолжительность телефонного разговора 5 мин при среднем квадратическом отклонении 1,5. Определить уровень доверительной вероятности того, что предельная ошибка не превысит 2,4 с.
Задача 8. В результате проведенных проверок установлено, что среднее квадратическое отклонение веса груженого вагона составляет 300 кг. Определить необходимый объем выборки для определения средней загрузки вагона. Предельная ошибка в определении веса не должна превышать 5 кг, а уровень доверительной вероятности – 0,954. Общее число груженых вагонов 10 тыс.
Задача 9. Выдвинута гипотеза, что партия содержит 3% бракованных деталей. Определить необходимый объем выборки при следующих условиях:
а) уровень доверительной вероятности 0,997;
б) предельная ошибка доли не более 0,1%.
Объем исследуемой партии 10 тыс. деталей.
Задача 10. Руководство предприятия путем механической выборки планирует определить долю сотрудников со стажем работы свыше 3 лет. Определить необходимую численность выборки, если по данным предыдущего обследования дисперсия составила 0,16. Заданный уровень доверительной вероятности составляет 0,683, ошибка репрезентативности не более 5%, объем генеральной совокупности 750 чел.
|
|
|
Методические указания к выполнению задания по теме 8
Выборочный метод – наиболее распространенный вид несплошного наблюдения, который состоит в частичном наблюдении единиц совокупности. Основной предпосылкой применения выборочного исследования является возможность судить о характеристиках генеральной (общей) совокупности по отобранной выборочной совокупности. При этом в основу отбора единиц для обследования положены принципы равных возможностей попадания в выборку каждой единицы генеральной совокупности.
Если при сплошном наблюдении непосредственно определяются характеристики совокупности, то при выборочном исследовании делаются только оценки параметров генеральной совокупности.
Оценка – это приближенное значение искомой величины, полученное на основании результатов выборочного наблюдения, обеспечивающее возможность принятия обоснованных решений о неизвестных параметрах генеральной совокупности. Примером оценки генеральной средней является выборочная средняя, генеральной дисперсии – выборочная дисперсия.
Поскольку при оценке характеристик используется только выборочная совокупность, то разность между характеристиками выборки и генеральной совокупности составляет ошибку выборки. Она зависит от степени вариации изучаемого признака, численности выборки, методов отбора единиц в выборочную совокупность, принятого уровня достоверности результата исследования.
Используя выборочный метод, чаще всего оценивают два вида обобщающих показателя:
– среднюю величину количественного признака
– для несгруппированных данных
– для сгруппированных данных
– долю (частость) альтернативного признака:
,
где 
– доля альтернативного признака в выборочной совокупности; 
– число элементов совокупности, индивидуальные значения которых обладают альтернативным свойством.
Возможные расхождения между характеристиками выборочной и генеральной совокупности измеряются средней ошибкой выборки, которая представляет собой среднее квадратичное отклонение возможных значений выборочных характеристик (оценок) от генеральных. Она определяется в зависимости от метода отбора.
|
|
|
При повторном отборе, при котором каждая отобранная и обследованная единица возвращается в генеральную совокупность, где ей опять предоставляется равная возможность попасть в выборку, средняя ошибка выборки определяется следующим образом:
а) для средней величины:
,
где 
– дисперсия выборочной совокупности; 
– объем выборочной совокупности;
б) для доли (частости):
,
где 
– дисперсия доли альтернативного признака.
При бесповторном отборе, при котором каждая отобранная и обследованная единица не возвращается в генеральную совокупность, средняя ошибка выборки
а) для средней величины:
,
где N – число единиц в генеральной совокупности;
б) для доли (частости):
.
Если выборка достаточно велика (объем составлял не мене 20 единиц), то считается, что ошибка распределена по нормальному закону. Таким образом, зная закон распределения ошибки, можно определить предельную ошибку выборки и тем самым – оценить границы интервала, за которые ошибка выйдет с заданной вероятностью (доверительной вероятностью). Такой интервал называется доверительным.
Предельная ошибка определяется по формуле:
,
где 
– предельная ошибка выборки; 
– средняя ошибка выборки; 
– коэффициент доверия.
Коэффициент доверия определяется в зависимости от того, с какой доверительной вероятностью надо гарантировать результаты выборочного исследования. Для определения пользуются таблицами нормального распределения. Некоторые наиболее часто встречающиеся значения этого коэффициента приведены в табл. 8.1.
Т а б л и ц а 8.1
| Доверительная вероятность | 0,683 | 0,954 | 0,997 |
| Коэффициент доверия |
Таким образом, границы доверительного интервала могут быть представлены следующим образом:
|
|
|
а) для средней величины:
или 
б) для доли(частости)
или 
,
где р – число элементов в генеральной совокупности, индивидуальные значения которых обладают альтернативным свойством.
Пример. В результате выборочного обследования жилищных условий жителей города, осуществленного на основе собственно-случайной повторной выборки, получен следующий ряд распределения (табл. 8.2)
Т а б л и ц а 8.2
|
|
|
