При гармоническом источнике тока

, А,

после срабатывания ключа К₁ определим напряжение .

2.1. Используем упрощённый классический метод, когда дифференциальное уравнение для искомой функции не составляется.

2.1.1. ННУ. Определяем независимые начальные условия при (схема до коммутации установившийся режим, гармонический источник, символический метод).

 

Рис. 10

, А; , Ом;

;

;

.

 

Для построения графика определим :

, В;

, В;

В.

 

2.1.2. Определяем ЗНУ при (схема после коммутации ключа К ₁):

 

Рис. 11

 

;

А.

Используем метод контурных токов:

.

По второму закону Кирхгофа для внешнего контура

В.

 

2.1.3. Определяем принуждённую составляющую при (cхема после коммутации ключа К₁: установившейся режим, гармонический источник, символический метод):

Рис. 12

, А, , Ом.

 

По закону Ома

Тогда

, В;

В.

2.1.4. Определяем корень характеристического уравнения : Используем метод сопротивления цепи после коммутации. Аналогично п. 1.1.4 получаем

2.1.5. Определяем постоянную интегрирования :

В.

2.1.6. Окончательный результат

, В,

причем с – постоянная времени;

с – время окончания переходного процесса;

с – период принужденной составляющей.

Заполняем таблицу для построения графика:

t		τ	2τ	3τ	4τ	5τ
		0,368	0,135	0,05	0,018	0,007
–29,67	–29,67	–10,915	–4,015	–1,477	–0,543	–0,2
, В	452,67	–131,838	–337,949	419,11	–10,874	–410,06
, B		–148,753	–341,964	417,63	–11,417	–410,26

 

Строим график, для построения можно использовать MathCAD.

 

Рис. 13

 

Ниже приводится расчет рассматриваемого примера в среде MathCAD.

 

Документ Mathcad

Исходные данные:

2.1. Классический метод, гармонический источник

2.1.1. Определяем независимые начальные условия:

2.1.2. Определяем зависимые начальные условия:

2.1.3. Определяем принуждённую составляющую:

 

2.1.4. Определяем корень характеристического уравнения:

2.1.5. Определяем постоянную интегрирования:

2.1.6. Окончательный результат:

2.1.7. Строим график искомой фунции:

 

 

2.2. Используем комбинированный операторно-классический метод для определения .

2.2.1. Находим независимые начальные условия (п. 2.1.1):

.

2.2.2. Определяем принуждённые составляющие при (cхема после коммутации ключа К₁: установившийся режим, гармонический источник, символический метод.)

 

Рис. 14

, А; , Ом,

В результате

.

2.2.3. Определяем начальное значение свободной составляющей напряжения на ёмкости:

.

2.2.4. Рассчитываем операторную схему замещения для свободных составляющих.

Рис. 15

 

;

.

2.2.5. По теореме разложения и принципу наложения получаем окончательный результат

– результат практически совпал с классическим методом.

3. При импульсном источнике тока , А (p – корень характеристического уравнения) и нулевых начальных условиях (ключ К₁ сработал) определяем интегралом Дюамеля напряжение .

3.1. Находим переходную характеристику h (t) для u_J (t) операторным методом при u _C(0) = u_C (0_–) = 0.

Рис. 16

 

По закону Ома в операторной форме

 

Рис. 17

 

По теореме разложения находим :

,

;

– переходное сопротивление.

Проверка:

а) – верно, т.к. u_C (0_–) = 0 и
С – закоротка;

б) – верно, т.к. С – разрыв.

 

3.2. Рассчитаем интегралом Дюамеля :

,

где А; ,

, Ом.

Тогда

Проверка:

а) – верно, т.к.

В;

б) – верно, т.к.

.

3.3. Строим график , В.

Рис. 18

Ниже приводится расчет рассматриваемого примера в среде MathCAD.

 

Документ Mathcad

 

3. Интеграл Дюамеля, экспоненциальный источник

3.1. Переходная характеристика:

3.2. Искомая функция напряжения на источнике тока:

 

4. Цепь второго порядка. При постоянном источнике тока J (t) = J
после срабатывания ключа К₂ определяем напряжение . (Ключ К₁ давно уже сработал).

4.1. Используем упрощённый классический метод, когда дифференциальное уравнение для искомой функции не составляется.

4.1.1. Определяем независимые начальные условия (ННУ): при (Cхема до коммутации: установившийся режим, постоянный источник, С – разрыв, L – закоротка).

 

Рис. 19

 

Находим: ; В.

Для построения графика определим В.

4.1.2. Определяем ЗНУ при (Схема после коммутации ключа К₂):

Рис. 20

 

;

В – законы коммутации.

По законам Кирхгофа

В;

;

В;

;

Находим .

Записываем уравнения по законам Кирхгофа:

4.1.3. Определяем принуждённую составляющую при (Схема после коммутации ключа К₂: установившийся режим, постоянный источник, С – разрыв, L – закоротка);

 

Рис. 21

В.

4.1.4. Определяем корень характеристического уравнения . Используем метод сопротивления цепи после коммутации: , причём , а .

Рис. 22

.

 

4.1.5. Определяем постоянные интегрирования и :

или

В.

 

4.1.6. Окончательный результат –

где с – постоянная времени;

с – длительность переходного процесса;

с – период свободных колебаний.

4.1.7. На интервале времени при помощи MathCAD строим .

 

Рис. 23

Ниже приводится расчет рассматриваемого примера в среде MathCAD.

 

 

 

4.1. Классический метод, постоянный источник, цепь второго порядка

4.1.1. Определяем независимые начальные условия:

4.1.2. Определяем зависимые начальные условия:

4.1.3. Определяем принуждённую составляющую:

4.1.4. Определяем корень характеристического уравнения:

4.1.5. Определяем постоянные интегрирования:

4.1.6. Окончательный результат:

Документ Mathcad

4.1.7. График искомой фунции

 

 

В результате преобразований

Т.е. результат совпадает с расчётом «вручную».

 

 

 

4.2. Используем операторный метод для определения .

4.2.1. Из расчёта установившегося режима до коммутации находим независимые начальные условия (п. 4.1.1):

; В.

4.2.2. В операторной схеме после коммутации используем метод наложения:

Рис. 24

 

а) подсхема с источником тока :

 

Рис. 25

 

 

 

 

б) подсхема с источником :

Рис. 26

Операторное изображение искомого напряжения

4.2.3. По теореме разложения находим искомое напряжение

:

;

Проверка:

В.

Ниже приводится расчет рассматриваемого примера программой MathCAD.

 

Документ Mathcad

4.2. Операторный метод, постоянный источник, цепь второго порядка

4.2.1. Определяем независимые начальные условия:

4.2.2. Определяем изображение искомой функции:

4.2.3. Определяем оригинал искомой функции:

 

4.3. Методом переменных состояния находим .

4.3.1. Начальные условия:

; В; В.

4.3.2. По законам Кирхгофа составляем уравнения

состояния:

;

 

4.3.3. Решаем с использованием MathCAD методом Эйлера.

Пункт 4.3.3 можно решить методом Рунге – Кутта (смотри пример п. 1.11).

Документ Mathcad

 

 

Полученный график полностью совпадает с уже построенной зависимостью с использованием классического и операторного методов.

 

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: