О сравнении природных явлений с геометрическими законами

 

С симметрией мы встречаемся всюду. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания; его широко используют все без исключения направления современной науки.

Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке. Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своем многообразии картиной явлений, в свою очередь, подчиняются принципам симметрии [25].

Что же такое симметрия? Почему симметрия буквально пронизывает весь окружающий нас мир? Существуют, в принципе, две группы симметрий [5].

К первой группе относится симметрия положений, форм, структур. Это та симметрия, которую можно непосредственно видеть. Она может быть названа геометрической симметрией.

Вторая группа характеризует симметрию физических явлений и законов природы. Эта симметрия лежит в самой основе естественнонаучной картины мира: ее можно назвать физической симметрией.

На протяжении тысячелетий в ходе общественной практики и познания законов объективной действительности человечество накопило многочисленные данные, свидетельствующие о наличии в окружающем мире двух тенденций: с одной стороны, к строгой упорядоченности, гармонии, а с другой - к их нарушению. Люди давно обратили внимание на правильность формы кристаллов, цветов, пчелиных сот и других естественных объектов и воспроизводили эту пропорциональность в произведениях искусства, в создаваемых ими предметах, через понятие симметрии.

«Симметрия, - пишет известный ученый Дж. Ньюмен, - устанавливает забавное и удивительное родство между предметами, явлениями и теориями, внешне, казалось бы, ничем не связанными: земным магнетизмом, женской вуалью, поляризованным светом, естественным отбором, теорией групп, инвариантами и преобразованиями, рабочими привычками пчел в улье, строением пространства, рисунками ваз, квантовой физикой, лепестками цветов, интерференционной картиной рентгеновских лучей, делением клеток морских ежей, равновесными конфигурациями кристаллов, романскими соборами, снежинками, музыкой, теорией относительности...» [33].

Слово «симметрия» имеет двойственное толкование.

В одном смысле симметричное означает нечто весьма пропорциональное, сбалансированное; симметрия показывает тот способ согласования многих частей, с помощью которого они объединяются в целое. Второй смысл этого слова - равновесие. Еще Аристотель говорил о симметрии как о таком состоянии, которое характеризуется соотношением крайностей. Из этого высказывания следует, что Аристотель, пожалуй, был ближе всех к открытию одной из самых фундаментальных закономерностей Природы - закономерности о ее двойственности.

 Пристальное внимание уделяли симметрии Пифагор и его ученики. Исходя из учения о числе пифагорейцы дали первую математическую трактовку гармонии, симметрии, которая не потеряла своего значения и в наши дни. Взгляды Пифагора и его школы получили дальнейшее развитие в платоновском учении о познании. Особый интерес представляют взгляды Платона на строение мира, который, по его утверждению, состоит из правильных многоугольников, обладающих идеальной симметрией. Для Платона характерно соединение учения об идеях с пифагорейским учением о числе. Среди более поздних естествоиспытателей и философов, занимавшихся разработкой категории симметрии, следует назвать Р. Декарта и Г. Спенсера. Так, по Декарту, бог, создав асимметричные тела, придал им "естественное" круговое движение, в результате которого они совершенствовались в тела симметричные [3;25].

Характерно, что к наиболее интересным результатам наука приходила именно тогда, когда устанавливались факты нарушения симметрии. Следствия, вытекающие из принципа симметрии, интенсивно разрабатывались физиками в прошлом веке и привели к ряду важных результатов. Такими следствиями законов симметрии являются, прежде всего, законы сохранения классической физики.

В настоящее время в естествознании преобладают определения категорий симметрии и асимметрии на основании перечисления определенных признаков. Например, симметрия определяется как совокупность свойств: порядка, однородности, соразмерности, гармоничности. Все признаки симметрии во многих ее определениях рассматриваются равноправными, одинаково существенными, и в отдельных конкретных случаях, при установлении симметрии какого-то явления, можно пользоваться любым из них. Так, в одних случаях симметрия - это однородность, в других - соразмерность и т. д. То же самое можно сказать и о существующих в частных науках определениях асимметрии.

Принцип классической симметрии открыл Пьер Кюри (1859 - 1906). «Его исследования относятся к области физики и кристаллографии. Эти две науки были ему одинаково близки и взаимно дополнялись в его умственном кругозоре»,— так писала Мария Склодовская-Кюри в предисловии к собранию сочинений своего прославленного мужа. Параллельно с исследованиями пьезоэлектричества кристаллов П. Кюри разрабатывал теорию симметрии. В отличие от своих предшественников, он подходил к этим вопросам не только как геометр, но и как физик [33].

В 1894 г. появляется его последняя работа, посвященная симметрии, но уже не кристаллов, а вообще физических явлений. Статья эта так и названа «О симметрии физических явлений; симметрия электрического и магнитного поля». Открывается она следующей характерной фразой: «Думаю, что представляет интерес ввести в изучение физических явлений понятие о симметрии, столь привычной кристаллографам». Именно в этой статье и были сформулированы наиболее глубокие идеи ученого, касающиеся универсальной роли симметрии.

Начиная с 1897 г. супруги Кюри углубились в изучение радиоактивности. Казалось бы, в самой неподходящей обстановке — в сумрачном и сыром сарае, заменявшем лабораторию,— после длительных и многотрудных работ они открывают два радиоактивных элемента: полоний и радий. Однако и эти величайшие открытия, обессмертившие их имена, не могли оторвать мыслей Пьера от излюбленной симметрии. Трагическая смерть Пьера Кюри, погибшего в 1906 г. под колесами грузовой телеги, прервала развитие этих идей. Несколько предельно сжатых общих формулировок в статье «О симметрии физических явлений» — вот и все, что написал сам П. Кюри о своем универсальном принципе.

М. Склодовская-Кюри в написанной ею биографии мужа заново подняла вопрос о принципе симметрии, популяризируя и комментируя его. По ее словам, П. Кюри «был принужден дополнить и расширить понятие симметрии, рассматривая ее как состояние пространства, характерное для среды, где происходит данное явление» [33].

Для этого необходимо учитывать:

1) состояние и строение среды;

2) движения изучаемого тела относительно формирующей его среды или движения среды относительно данного тела;

3) воздействие на тело других физических факторов.

По сути дела все это сводится к известному положению, согласно которому углубленное изучение реальных тел требует хорошего знакомства с той средой, в которой они образовались. Нельзя изучить природное тело в отрыве от породившей его среды. Симметрия порождающей среды как бы накладывается на симметрию тела, образующегося в этой среде. Получившаяся в результате форма тела сохраняет только те элементы своей собственной симметрии, которые совпадают с наложенными на него элементами симметрии среды.

Примем эти слова за упрощенную формулировку принципа симметрии Кюри и перейдем к примерам, иллюстрирующим и поясняющим приведенные выше положения.

Начнем с осколка поваренной соли (хлористого натрия) в форме правильного кубика. Такой кубик легко получить, раскалывая даже бесформенный кусок кристалла каменной соли. Этот кристалл всегда раскалывается по плоскостям, параллельным граням куба (кристаллы хлористого натрия обладают хорошей «спайностью по кубу»). Положим кубик соли на дно текущего водного потока [33].

Легко сообразить, что прямолинейно движущаяся водная струя имеет посередине вертикальную плоскость симметрии, совпадающую с направлением потока. Кубик положен так, что эта плоскость симметрии проходит через его центр. Согласно принципу Кюри из всех элементов симметрии кубика сохранится только одна его плоскость симметрии, совпадающая с направлением водной струи и с ее плоскостью симметрии. Для того чтобы убедиться в этом, посмотрим, как растворяется соляной кубик на дне потока. По истечении некоторого времени, вынув кубик из воды и внимательно разглядывая частично растворившиеся грани, мы увидим, что они разъедались водой неодинаково.

В самом деле, грань А, встречавшая поток «в лоб», сильнее всех атаковалась ударявшейся в нее струёй, тогда как параллельная ей вертикальная задняя грань А' была защищена от прямого нападения потока всем телом кубика. Следовательно, грань А будет значительно сильнее разрушена водой, чем такая же грань А'. Достаточно сильно растворялась и верхняя грань С, в то время как нижняя грань кубика, лежавшая на дне, оказалась наиболее надежно укрытой от растворяющего действия потока. Только две боковые грани В и В', параллельные плоскости симметрии струи, одинаково омывались и одинаково растворялись протекавшей водой.

Рассматривая все эти грани, в разной степени разъеденные водой, и учитывая неодинаковую степень их разрушения, мы придем к выводу, что частично растворившийся кубик сохранил внешне только одну свою плоскость симметрии, совпавшую с плоскостью симметрии потока. Таким образом, подтвердилась правильность нашего предположения, основанного на принципе Кюри. Подчеркнем, что речь здесь идет исключительно о внешнем виде кубика и об его видимой симметрии (внутреннее строение поваренной соли со свойственной ей структурой и соответствующей симметрией осталось нетронутым) [33].

Современная картина мироздания, имеющая строгое научное обоснование, существенно отличается от прежних моделей. Она исключает существование какого-либо «центра мира» (равно как и магическую роль платоновых тел) и рассматривает Вселенную с позиций единства симметрии и асимметрии. Наблюдая хаотическую россыпь звезд на ночном небе, мы понимаем, что за внешним хаосом скрываются вполне симметричные спиральные структуры галактик, а в них — симметричные структуры планетных систем. Эту симметрию неплохо иллюстрирует рисунок, на котором изображены наша Галактика (рис. 16, а) и (с большим увеличением по сравнению с Галактикой и несколько упрощенно) Солнечная система (рис. 16, 6).

 

Девять планет движутся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, близким к круговым. Плоскости всех планет (за исключением Плутона) с большой точностью совпадают с плоскостью земной орбиты — так называемой плоскостью эклиптики. Например, плоскость орбиты Марса образует с плоскостью эклиптики угол 2°. С плоскостью эклиптики совпадают также плоскости орбит всех тридцати спутников планет Солнечной системы, включая и орбиту Луны.

Поворотная симметрия 5-го порядка встречается и в животном мире. Примерами могут служить морская звезда и панцирь морского ежа (рис. 17).

 

Однако в отличие от мира растений поворотная симметрия в животном мире наблюдается редко. Фактически мы встречаемся с ней при изучении лишь некоторых обитателей моря.

Раковины некоторых моллюсков и отпечатки ископаемых обнаруживают поразительное сходство с равноугольной спиралью.

 

 

На рис.18 показано сечение раковины Nautilus. В книгах о росте и формах живых организмов излагаются теории, объясняющие, почему природа отдает предпочтение равноугольной спирали.

Живые существа обычно растут, сохраняя общее начертание своей формы. При этом чаще всего они растут во всех направлениях — взрослое существо и выше и толще детеныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться (рис.19), причем каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали или ее некоторым пространственным аналогам.

 

Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, а также рога таких млекопитающих, как архары (горные козлы), закручены по логарифмической спирали. Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения формы и роста. Великий немецкий поэт Иоганн-Вольфганг Гёте считал ее даже математическим символом жизни и духовного развития. По логарифмической спирали очерчены не только раковины — в подсолнухе семечки расположены по дугам, близким к логарифмической спирали и т. д. Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмическим спиралям. По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности Галактика, которой принадлежит Солнечная система [11].

 

2.2 Открытие некоторых геометрических построений

 

"Золотым веком" греческой геометрии называют эпоху, когда жили и творили математики Архимед (287-195 гг. до н.э.), Эрастофен (275-195гг. до н.э.), Аполлоний Пергский (250-190гг. до н.э.). Измерение криволинейных образов связано с именем Архимеда. Он указал методы измерения длины окружности, площади круга, сегмента параболы и спирали, объемов и поверхностей шара, других тел вращения и др [31].

К началу XVII века математики знали такие кривые линии, как эллипс, гиперболу, параболу и т.д. однако в то время еще не было общего метода изучения линий, и потому исследование каждой кривой превращалось в сложную научную работу.

Открытия Декарта и Ферма доли в руки математиков метод для получения и изучения новых кривых – надо было написать уравнение кривой и сделать выводы, исследуя это уравнение. Сам Декарт в 1638 году придумал новую кривую, уравнение которой имеет вид x³+y³-3axy=0, a>0 (рис. 20).

 

 

Ее сейчас называют декартовым листом. Любопытно, что хотя Декарт применял уже в своей алгебре не только отрицательные, но даже мнимые числа, он не рассматривал отрицательных значений координат. Первоначально декартов лист считали симметричным относительно осей координат (рис. 21).

 

Окончательно форма кривой была установлена лишь через полстолетия Х.Гюйгенсом (1629-1695) и Иоганном Бернулли (1667-1748).

Декартов лист, эллипс, гипербола, парабола являются алгебраическими кривыми. Так называют кривые, уравнение которых имеет вид Р (х,у)=0, где Р(х,у) – многочлен от х и у. но уже Галилей и Декарт изучали циклоиду – кривую, описываемую точкой обода колеса, катящегося без скольжения по прямой дороге. Можно доказать, что уравнение одной арки циклоиды имеет вид x=r arcos * (r-y)/r - √2ry-y². Так как в это уравнение входит обратная тригонометрическая функция, циклоида не является алгебраической кривой.

К неалгебраическим кривым нельзя было применять алгебраические методы, разработанные Декартом, поэтому их назвали трансцендентными кривыми (от латинского «трансценденс» - выходящий за пределы). Некоторые трансцендентные кривые были известны еще древнегреческим математикам. Например, в связи с задачей о спрямлении окружности (построении отрезка, длина которого равна длине этой окружности) Архимед построил особую спираль, определив ее на языке механики как траекторию точки, совершающей равномерное и поступательное движение по лучу, который в это же время равномерно вращается вокруг своего начала.

После того, как были открыты логарифмы, стали изучать свойства графиков логарифмической и показательной зависимостей. Задачи механики требования отыскивания формы провисшего каната (так называемой цепной линии). Поиски кривой, длина дуги которой пропорциональна разности длин векторов, проведенных в ее концы, привели к открытию логарифмической спирали [11].

В течение XVII столетия было открыто больше кривых, чем за всю предшествующую историю математики, и понадобились общие понятия, которые позволили бы единым образом трактовать и изучать как алгебраические, так и трансцендентные кривые, как тригонометрические, так и логарифмические зависимости.

Творцом ортогональных проекций и основоположником начертательной геометрии является французский геометр Гаспар Монж (1746-1818гг.). Знания, накопленные по теории и практике изображения пространственных предметов на плоскости, он систематизировал и обобщил, поднял начертательную геометрию на уровень научной дисциплины. "…Нужно научить пользоваться начертательной геометрией" - говорил Г. Монж [21].

В работе Г. Монжа "Начертательная геометрия" ("Geometric Descriptive"), изданной в 1798г., решались задачи:

1. Применение теории геометрических преобразований.

2. Рассмотрение некоторых вопросов теории проекций с числовыми отметками.

3. Подробное исследование кривых линий и поверхностей, в частности применение вспомогательных плоскостей и сфер при построении линии пересечения поверхностей.

Появление начертательной геометрии было вызвано возраставшими потребностями в теории изображений. Дальнейшее развитие начертательная геометрия получила в трудах многих ученых [21;32].

123	Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: