 |
Типы задач по математическому анализу для зачета во втором семестре и экзамена в третьем семестре.
|
|
|
|
1. Вычисление пределов числовых последовательностей.
2. Поиск области определения функции, а также исследование на четность и периодичность.
3. Вычисление пределов функций в точке и на бесконечности.
4. Вычисление производных элементарных функций, а также значений производных в заданных точках.
5. Вычисление пределов с применением правила Лопиталя.
6. Разложение элементарных функций по формуле Тейлора, оценка погрешности по остаточному члену в форме Лагранжа.
7. Исследование поведения функций и построение графиков с применением производных и нахождением асимптот.
8. Решение текстовых задач на глобальный экстремум с ограничениями типа равенств и неравенств.
9. Отыскание приближенных корней уравнений методами деления отрезка пополам, секущих, Ньютона.
10. Вычисление интегралов методами подстановки, по частям, разложения рациональных функций. Интегрирование простейших иррациональностей и тригонометрических функций с помощью стандартных замен.
11. Вычисление интегралов по формуле Ньютона–Лейбница с применением указанных выше методов вычисления неопределенных интегралов.
12. Вычисление площадей плоских фигур и длин плоских кривых, заданных в прямоугольных координатах либо параметрически.
13. Вычисление объемов и площадей фигур вращения, заданных в прямоугольных координатах либо параметрически.
14. Приближенное вычисление определенных интегралов по составным квадратурным формулам трапеций и Симпсона.
15. Вычисление несобственных интегралов от неограниченных функций либо по неограниченным промежуткам.
16. Сведение двойного интеграла к повторному в прямоугольной и криволинейной областях. Замена переменных интегрирования.
|
|
|
17. Вычисление частных производных функций нескольких переменных, нахождение градиента и производной по направлению.
18. Исследование на сходимость числовых рядов с неотрицательными членами либо знакочередующихся рядов.
19. Исследование на абсолютную и условную сходимость числовых рядов.
20. Разложение функций в степенные ряды.
21. Разложение функций в ряд Фурье по тригонометрической системе.
22. Нахождение решений обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.
23. Нахождение решений линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом вариации постоянной.
24. Отыскание общих решений линейных однородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами в случаях действительных и комплексных корней характеристических уравнений.
25. Отыскание частных решений линейных неоднородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами и квазимногочленом в правой части.
26. Отыскание частных решений линейных неоднородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации постоянных.
Теоретические вопросы к экзамену по математическому анализу
1. Понятие производной в точке. Геометрический смысл производной.
2. Понятие дифференцируемости функции в точке. Связь дифференциала и производной.
3. Непрерывность как необходимое условие дифференцируемости.
4. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного.
5. Производная сложной функции. Вычисление производной обратной функции.
6. Производные и дифференциалы высших порядков.
7. Необходимое и достаточное условия локального экстремума дифференцируемой функции.
8. Теоремы Ролля и Лагранжа о конечном приращении, их геометрический смысл.
9. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей в пределах.
10. Формула Тейлора аппроксимации функций многочленами.
|
|
|
11. Исследование поведения функций и построение графиков: монотонность, точки локального экстремума, точки перегиба.
12. Исследование поведения функций и построение графиков: асимптоты вертикальные, горизонтальные, наклонные.
13. Методы приближенного вычисления корней уравнения: метод деления отрезка пополам и метод секущих.
14. Метод Ньютона (касательных) приближенного вычисления корней уравнения. Применение этого метода к извлечению корней из положительных чисел.
15. Понятия первообразной функции на промежутке и неопределенного интеграла.
16. Основные свойства неопределенного интеграла и таблица основных интегралов.
17. Вычисление несобственных интегралов методом подстановки и методом интегрирования по частям.
18. Техника интегрирования рациональных функций: выделение целой части и разложение правильной дроби методом неопределенных коэффициентов.
19. Интегрирование простейших правильных дробей с многочленами первой и второй степени в знаменателе.
20. Вычисление интегралов от тригонометрических функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки.
21. Определенный интеграл: интегральные суммы и суммы Дарбу, их роль в определении интеграла.
22. Свойства определенного интеграла: линейность, оценки интегралов, теорема о среднем.
23. Интеграл с переменным верхним пределом, его производная, формула Ньютона–Лейбница.
24.Замена переменной в определенном интеграле и формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
25. Геометрические приложения определенного интеграла: площади плоских фигур и длины плоских кривых..
26. Применение определенного интеграла к вычислению объемов и площадей поверхностей тел вращения.
27. Несобственные интегралы по конечному промежутку от неограниченных функций.
28. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
29. Признак сравнения для несобственных интегралов.
30. Приближенное вычисление определенных интегралов: элементарная и составная формулы трапеций.
31. Приближенное вычисление определенных интегралов: элементарная и составная формулы Симпсона.
32. Понятие двойного интеграла, его свойства и геометрический смысл.
|
|
|
33. Сведение двойного интеграла к повторному в прямоугольной и криволинейной областях. Замена переменных интегрирования.
34. Частные производные функции нескольких переменных, градиент, производная по направлению.
35. Понятие числового ряда. Абсолютная и условная сходимость.
36. Понятие функционального ряда. Ряд Тейлора, радиус сходимости.
37. Понятие ряда Фурье по ортонормированной системе, тригонометрические ряды.
38. Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, его общее и частное решения, теорема о существовании решения задачи Коши.
39. Обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, линейное дифференциальное уравнение первого порядка.
40. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка: фундаментальная система решений однородного уравнения, общее решение неоднородного.
41. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами: фундаментальная система решений однородного уравнения.
42. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами: поиск частных решений методом вариации постоянных.
|
|
|
