 |
Умножение комплексных чисел
|
|
|
|
Вопрос 1
Натуральные числа, противоположные им и ноль называют целыми числами. Множество целых чисел обозначают символом Z.
Рациональные числа — это числа вида m/n, где m - целое число, а n - натуральное число.
Множество рациональных чисел принято обозначать буквой Q.
Выполняется соотношение Z⊂Q, поскольку любое число m можно представить в виде m1.
Итак, можно сказать, что
Рациональные числа — это все целые числа, а также положительные и отрицательные обыкновенные дроби.
Действительные числа
Множество всех рациональных и всех иррациональных чисел называется множеством действительных (вещественных) чисел.
Действительные числа обозначаются символом R.
Вопрос 2
Комплексные числа записываются в виде: a+ bi. Здесь a и b – действительные числа, а i – мнимая единица, т.e. i^2 = –1. Число a называется абсциссой, a b – ординатой комплексного числа a+ bi.
Виды комплексных чисел:
1. Алгебраическая форма комплексного числа
Запись комплексного числа в виде z=a+bi, где a и b - действительные числа, называется алгебраической формой комплексного числа.
Например: z=1-i
2. Тригонометрическая форма комплексного числа
Если 
- модуль комплексного числа z=a+bi, а 
- его аргумент, то тригонометрической формой комплексного числа z называется выражение: 
3. Показательная форма комплексного числа.
Показательной формой комплексного числа 
называется выражение: 
Геометрический смысл комплексных чисел:
Геометрическая интерпретация комплексных чисел заключается в том, что комплексному числу z = х + yi сопоставляется точка на плоскости с координатами х, у. Именно действительная часть числа мыслится как х-координата, а мнимая - как y-координата. Таким образом устанавливается взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и точками "числовой плоскости".
|
|
|
Вопрос 3
Сложение комплексных чисел
Сложить два комплексных числа 
, 
Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:
Таким нехитрым способом можно найти сумму любого количества слагаемых: просуммировать действительные части и просуммировать мнимые части.
Для комплексных чисел справедливо правило первого класса: 
– от перестановки слагаемых сумма не меняется.
Вычитание комплексных чисел
Пример 2
Найти разности комплексных чисел 
и 
, если 
, 
Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:
Результат не должен смущать, у полученного числа две, а не три части. Просто действительная часть – составная: 
. Для наглядности ответ можно переписать так: 
.
Рассчитаем вторую разность:
Здесь действительная часть тоже составная: 
Чтобы не было какой-то недосказанности, приведу короткий пример с «нехорошей» мнимой частью: 
. Вот здесь без скобок уже не обойтись.
Умножение комплексных чисел
Настал момент познакомить вас со знаменитым равенством:
Пример 3
Найти произведение комплексных чисел 
, 
Очевидно, что произведение следует записать так:
Что напрашивается? Напрашивается раскрыть скобки по правилу умножения многочленов. Так и нужно сделать! Все алгебраические действия вам знакомы, главное, помнить, что и быть внимательным.
Повторим, школьное правило умножения многочленов: Чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.
Я распишу подробно:
Надеюсь, всем было понятно, что 
Внимание, и еще раз внимание, чаще всего ошибку допускают в знаках.
|
|
|
Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство: 
.
В учебной литературе и на просторах Сети легко найти специальную формулу для вычисления произведения комплексных чисел. Если хотите, пользуйтесь, но мне кажется, что подход с умножением многочленов универсальнее и понятнее. Формулу приводить не буду, считаю, что в данном случае – это забивание головы опилками.
Деление комплексных чисел
Даны комплексные числа 
, 
. Найти частное 
.
Составим частное:
Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.
Вспоминаем бородатую формулу 
и смотрим на наш знаменатель: 
. В знаменателе уже есть 
, поэтому сопряженным выражением в данном случае является 
, то есть 
Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на , и, чтобы ничего не изменилось, домножить числитель на то же самое число :
Далее в числителе нужно раскрыть скобки (перемножить два числа по правилу, рассмотренному в предыдущем пункте). А в знаменателе воспользоваться формулой (помним, что и не путаемся в знаках!!!).
Распишу подробно:
Пример я подобрал «хороший», если взять два числа «от балды», то в результате деления почти всегда получатся дроби, что-нибудь вроде 
.
В ряде случаев перед делением дробь целесообразно упростить, например, рассмотрим частное чисел: 
. Перед делением избавляемся от лишних минусов: в числителе и в знаменателе выносим минусы за скобки и сокращаем эти минусы: 
. Для любителей порешать приведу правильный ответ: 
Вопрос 4
Степенью называется выражение вида: 
, где:
§ 
— основание степени;
§ 
— показатель степени.
Степень с натуральным показателем {1, 2, 3,...}
Определяем понятие степени, показатель которой — натуральное число (т.е. целое и положительное).
1. По определению: 
.
2. Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя: 
3. Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза: 
.
Возвести число в натуральную степень 
— значит умножить число само на себя раз:
Степень с целым показателем {0, ±1, ±2,...}
Если показателем степени является целое положительное число:
, n > 0
Возведение в нулевую степень:
|
|
|
, a ≠ 0
Если показателем степени является целое отрицательное число:
, a ≠ 0
Прим: выражение 
не определено, в случае n ≤ 0. Если n > 0, то 
Пример 1.
|
|
|
