Умножение комплексных чисел
Вопрос 1 Натуральные числа, противоположные им и ноль называют целыми числами. Множество целых чисел обозначают символом Z. Рациональные числа — это числа вида m/n, где m - целое число, а n - натуральное число. Множество рациональных чисел принято обозначать буквой Q. Выполняется соотношение Z⊂Q, поскольку любое число m можно представить в виде m1. Итак, можно сказать, что Рациональные числа — это все целые числа, а также положительные и отрицательные обыкновенные дроби.
Действительные числа Множество всех рациональных и всех иррациональных чисел называется множеством действительных (вещественных) чисел. Действительные числа обозначаются символом R.
Вопрос 2 Комплексные числа записываются в виде: a+ bi. Здесь a и b – действительные числа, а i – мнимая единица, т.e. i^2 = –1. Число a называется абсциссой, a b – ординатой комплексного числа a+ bi.
Виды комплексных чисел: 1. Алгебраическая форма комплексного числа Запись комплексного числа в виде z=a+bi, где a и b - действительные числа, называется алгебраической формой комплексного числа. Например: z=1-i 2. Тригонометрическая форма комплексного числа Если 3. Показательная форма комплексного числа. Показательной формой комплексного числа
Геометрический смысл комплексных чисел: Геометрическая интерпретация комплексных чисел заключается в том, что комплексному числу z = х + yi сопоставляется точка на плоскости с координатами х, у. Именно действительная часть числа мыслится как х-координата, а мнимая - как y-координата. Таким образом устанавливается взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и точками "числовой плоскости".
Вопрос 3 Сложение комплексных чисел Сложить два комплексных числа Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части: Таким нехитрым способом можно найти сумму любого количества слагаемых: просуммировать действительные части и просуммировать мнимые части. Для комплексных чисел справедливо правило первого класса: Вычитание комплексных чисел Пример 2 Найти разности комплексных чисел Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака: Результат не должен смущать, у полученного числа две, а не три части. Просто действительная часть – составная: Рассчитаем вторую разность: Чтобы не было какой-то недосказанности, приведу короткий пример с «нехорошей» мнимой частью: Умножение комплексных чисел Настал момент познакомить вас со знаменитым равенством: Пример 3 Найти произведение комплексных чисел Очевидно, что произведение следует записать так: Что напрашивается? Напрашивается раскрыть скобки по правилу умножения многочленов. Так и нужно сделать! Все алгебраические действия вам знакомы, главное, помнить, что Повторим, школьное правило умножения многочленов: Чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена. Я распишу подробно: Надеюсь, всем было понятно, что Внимание, и еще раз внимание, чаще всего ошибку допускают в знаках.
Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство: В учебной литературе и на просторах Сети легко найти специальную формулу для вычисления произведения комплексных чисел. Если хотите, пользуйтесь, но мне кажется, что подход с умножением многочленов универсальнее и понятнее. Формулу приводить не буду, считаю, что в данном случае – это забивание головы опилками. Деление комплексных чисел Даны комплексные числа Составим частное: Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение. Вспоминаем бородатую формулу Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на Далее в числителе нужно раскрыть скобки (перемножить два числа по правилу, рассмотренному в предыдущем пункте). А в знаменателе воспользоваться формулой Распишу подробно: Пример я подобрал «хороший», если взять два числа «от балды», то в результате деления почти всегда получатся дроби, что-нибудь вроде В ряде случаев перед делением дробь целесообразно упростить, например, рассмотрим частное чисел:
Вопрос 4 Степенью называется выражение вида: § § Степень с натуральным показателем {1, 2, 3,...} Определяем понятие степени, показатель которой — натуральное число (т.е. целое и положительное). 1. По определению: 2. Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя: 3. Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза: Возвести число в натуральную степень Степень с целым показателем {0, ±1, ±2,...} Если показателем степени является целое положительное число:
Возведение в нулевую степень:
Если показателем степени является целое отрицательное число:
Прим: выражение Пример 1.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|