Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Краткие теоретические сведения

Практическое занятие № 9

«Полное исследование функции. Построение графиков»

1. Цель: Выработать навыки и умения по применению производной к исследованию функций и построению их графиков

2. Пояснения к работе:

Краткие теоретические сведения

Для построения графиков функций можно использовать следующую схему:

 

  1. Находят область определения функции;
  2. Проверяют функцию на четность и нечетность (заметим, что графики четных функций симметричны относительно оси (ОУ), а нечетных – относительно начала координат); проверяют функцию на периодичность;
  3. Находят точки пересечения графика с координатными осями (ось ОХ имеет уравнение , ось ОУ имеет уравнение );
  4. Находят асимптоты графика функции;
  5. Исследуют функцию на монотонность и находят точки экстремума;
  6. Находят интервалы выпуклости графика функции и точки его перегиба;
  7. Строят график.

 

Для применения данной схемы, вспомним некоторые основные понятия и определения. Прямая называется наклонной асимптотой для графика функции , если

 

(1)

Числа k и b в уравнении асимптоты находятся из условий:

(2)

Если , то прямая у=b называется горизонтальной асимптотой.

Прямая х =а называется вертикальной асимптотой графика функции , если

.

Заметим, что при нахождении вертикальных асимптот графика функции в качестве точки а, через которую может проходить вертикальная асимптота, следует рассматривать точку разрыва данной функции.

 

Правило нахождения интервалов монотонности и точек экстремума:

  1. Вычислить производную функции ;
  2. Найти критические точки функции, т.е. точки в которых или не существует;
  3. Исследовать знак производной функции в интервалах, на которые разбивается область определения функции этими критическими точками;
  4. Если в рассматриваемом интервале

, то на этом интервале функция убывает;

, то на этом интервале функция возрастает.

  1. Если - критическая точка и при переходе через нее меняет знак с «+» на «-», то - точка максимума; если же она меняет знак с «-» на «+», то - точка минимума.

 

Правило нахождения интервалов выпуклости графика функции и точек перегиба:

  1. Вычислить вторую производную функции ;
  2. Найти у функции критические точки 2-го рода, т.е. точки в которых или не существует;
  1. Исследовать знак второй производной функции в интервалах, на которые разбивается область определения функции критическими точками 2-го рода;
  2. Если в рассматриваемом интервале

, то на этом интервале график функции выпуклый вверх;

, то на этом интервале график функции выпуклый вниз;

  1. Если - критическая точка 2-го рода и при переходе через нее меняет знак, то - точка перегиба.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение: исследуем функцию по схеме:

1. D(y)=R;

2. - функция не будет ни четной, ни нечетной; функция непериодическая;

3. Найдем точки пересечения с (ОХ): . Перебирая делители свободного члена, находим целые нули функции: .

Найдем точки пересечения графика функции с осью (ОУ): если , то ;

4. Асимптот нет;

5. Для нахождения интервалов монотонности функции найдем ее производную:

 

. Найдем критические точки функции: . Получим: . Найдем интервалы возрастания и убывания функции:

Из чертежа имеем, что функция возрастает на , убывает на . Найдем экстремумы функции:

. Значит, точка максимума имеет координаты

. Значит, точка минимума имеет координаты

6. Для нахождения интервалов выпуклости графика функции вычислим вторую

производную: . Найдем критические точки 2 рода функции:

. Определим знак второй производной в интервалах, на которые разбивается область определения

Значит, график функции будет выпуклым вверх на и выпуклым вниз на . Т.к. вторая производная меняет знак при переходе через точку , то в ней график будет иметь перегиб. Вычислим: . Значит, точка перегиба .

7. Построим график:

 

 

Пример. Построить график функции у =

Решение:

1. Найдем область определения функции. Она задается условиями x ≠ 1, x ≠ -1 (при значениях x ≠ 1, x ≠ -1 знаменатель дроби обращается в нуль). Итак,

D(f)=(-∞;1)(-1:1)(1;+∞).

2. Исследуем функцию на честность:

f f (x)

Значит, заданная функция четна, ее график симметричен относительно оси ординат, а потому можно для начала ограничиться построением ветвей графика при x ≥ 0.

3. Точек пересечения графика функции с осью ОХ нет,

Найдем точки пересечения графика функции с осью ОУ: если

4. Найдем асимптоты графика. Вертикальной асимптотой является прямая x = 1, поскольку при этом значении x знаменатель дроби обращается в нуль, а числитель отличен от нуля. Для отыскания горизонтальной асимптоты надо вычислить f (x):

.

Значит, y = 1 – горизонтальная асимптота графика функции.

5. Найдем критические точки, точки экстремума и промежутки монотонности функции:

y′ .

 

 

Критические точки найдем из соотношения y´ = 0. Получаем –4x = 0, откуда находим,

что х = 0. При х < 0 имеем y´ > 0, а при х > 0 имеем y´ < 0. Значит, х = 0 – точка максимума функции, причем уmax = f (0)= .

При х > 0 имеем y´ < 0, но следует учесть наличие точки разрыва х = 1. Значит, вывод о промежутках монотонности будет выглядеть так: на промежутке [0;1) функция убывает, на промежутке (1;+∞) функция также убывает.

 

  1. Вычислим вторую производную

нигде не обращается в ноль, критическими точками будут только точки . Определим знак в интервалах:

 

 

7. Отметим (0;-1) – точку максимума, построим прямые у = 1 – горизонтальную асимптоту, что x = 1 и x = - 1– вертикальные асимптоты;

 

Задание

Вариант 1

Исследовать по схеме и построить графики функций:

 

 

Вариант 2

 

Исследовать по схеме и построить графики функций:

Вариант 3

 

Исследовать по схеме и построить графики функций:

Вариант 4

 

Исследовать по схеме и построить графики функций:

4. Контрольные вопросы:

1. Дайте определение наклонной асимптоты, горизонтальной и вертикальной асимптот;

2. Сформулируйте правило нахождения интервалов монотонности и точек перегиба;

3. Сформулируйте правило нахождения интервалов выпуклости графика функции и точек перегиба;

4. Опишите схему исследования функции для построения ее графика

5. Содержание отчёта:

5.1 Наименование работы

5.2 Цель работы

5.3 Задание

5.4 Формулы для расчета

5.5 Необходимые расчеты. Анализ результатов расчетов

5.6 Выводы по работе

5.7 Ответы на контрольные вопросы

Литература:

1. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика в 2-х томах Учебное пособие - М. Новая волна, 2005, ч.1, с.472-502;

2. Подольский В. А. Сборник задач по математике: Учебное пособие - М. Высшая школа, 2003, с.229-247;

3. Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике» - Учебное пособие – М.:Высш. школа, 2003, с.105-117.

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...