Краткие теоретические сведения
Практическое занятие № 9 «Полное исследование функции. Построение графиков» 1. Цель: Выработать навыки и умения по применению производной к исследованию функций и построению их графиков 2. Пояснения к работе: Краткие теоретические сведения Для построения графиков функций можно использовать следующую схему:
Для применения данной схемы, вспомним некоторые основные понятия и определения. Прямая называется наклонной асимптотой для графика функции , если
(1) Числа k и b в уравнении асимптоты находятся из условий: (2) Если , то прямая у=b называется горизонтальной асимптотой. Прямая х =а называется вертикальной асимптотой графика функции , если . Заметим, что при нахождении вертикальных асимптот графика функции в качестве точки а, через которую может проходить вертикальная асимптота, следует рассматривать точку разрыва данной функции.
Правило нахождения интервалов монотонности и точек экстремума:
, то на этом интервале функция убывает;
, то на этом интервале функция возрастает.
Правило нахождения интервалов выпуклости графика функции и точек перегиба:
, то на этом интервале график функции выпуклый вверх; , то на этом интервале график функции выпуклый вниз;
Пример. Исследовать функцию и построить ее график. Решение: исследуем функцию по схеме: 1. D(y)=R; 2. - функция не будет ни четной, ни нечетной; функция непериодическая; 3. Найдем точки пересечения с (ОХ): . Перебирая делители свободного члена, находим целые нули функции: . Найдем точки пересечения графика функции с осью (ОУ): если , то ; 4. Асимптот нет; 5. Для нахождения интервалов монотонности функции найдем ее производную:
. Найдем критические точки функции: . Получим: . Найдем интервалы возрастания и убывания функции: Из чертежа имеем, что функция возрастает на , убывает на . Найдем экстремумы функции: . Значит, точка максимума имеет координаты . Значит, точка минимума имеет координаты 6. Для нахождения интервалов выпуклости графика функции вычислим вторую производную: . Найдем критические точки 2 рода функции: . Определим знак второй производной в интервалах, на которые разбивается область определения
Значит, график функции будет выпуклым вверх на и выпуклым вниз на . Т.к. вторая производная меняет знак при переходе через точку , то в ней график будет иметь перегиб. Вычислим: . Значит, точка перегиба . 7. Построим график:
Пример. Построить график функции у = Решение: 1. Найдем область определения функции. Она задается условиями x ≠ 1, x ≠ -1 (при значениях x ≠ 1, x ≠ -1 знаменатель дроби обращается в нуль). Итак, D(f)=(-∞;1)(-1:1)(1;+∞). 2. Исследуем функцию на честность: f f (x) Значит, заданная функция четна, ее график симметричен относительно оси ординат, а потому можно для начала ограничиться построением ветвей графика при x ≥ 0. 3. Точек пересечения графика функции с осью ОХ нет, Найдем точки пересечения графика функции с осью ОУ: если 4. Найдем асимптоты графика. Вертикальной асимптотой является прямая x = 1, поскольку при этом значении x знаменатель дроби обращается в нуль, а числитель отличен от нуля. Для отыскания горизонтальной асимптоты надо вычислить f (x): .
Значит, y = 1 – горизонтальная асимптота графика функции. 5. Найдем критические точки, точки экстремума и промежутки монотонности функции: y′ .
Критические точки найдем из соотношения y´ = 0. Получаем –4x = 0, откуда находим, что х = 0. При х < 0 имеем y´ > 0, а при х > 0 имеем y´ < 0. Значит, х = 0 – точка максимума функции, причем уmax = f (0)= . При х > 0 имеем y´ < 0, но следует учесть наличие точки разрыва х = 1. Значит, вывод о промежутках монотонности будет выглядеть так: на промежутке [0;1) функция убывает, на промежутке (1;+∞) функция также убывает.
нигде не обращается в ноль, критическими точками будут только точки . Определим знак в интервалах:
7. Отметим (0;-1) – точку максимума, построим прямые у = 1 – горизонтальную асимптоту, что x = 1 и x = - 1– вертикальные асимптоты;
Задание Вариант 1 Исследовать по схеме и построить графики функций:
Вариант 2
Исследовать по схеме и построить графики функций: Вариант 3
Исследовать по схеме и построить графики функций: Вариант 4
Исследовать по схеме и построить графики функций: 4. Контрольные вопросы:
1. Дайте определение наклонной асимптоты, горизонтальной и вертикальной асимптот; 2. Сформулируйте правило нахождения интервалов монотонности и точек перегиба; 3. Сформулируйте правило нахождения интервалов выпуклости графика функции и точек перегиба; 4. Опишите схему исследования функции для построения ее графика 5. Содержание отчёта: 5.1 Наименование работы 5.2 Цель работы 5.3 Задание 5.4 Формулы для расчета 5.5 Необходимые расчеты. Анализ результатов расчетов 5.6 Выводы по работе 5.7 Ответы на контрольные вопросы Литература: 1. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика в 2-х томах Учебное пособие - М. Новая волна, 2005, ч.1, с.472-502; 2. Подольский В. А. Сборник задач по математике: Учебное пособие - М. Высшая школа, 2003, с.229-247; 3. Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике» - Учебное пособие – М.:Высш. школа, 2003, с.105-117.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|