 |
Диагностическая контрольная работа
|
|
|
|
Правила раскрытия неопределенностей по правилу Лопиталя
1. Неопределенности вида 
.
Раскрываются непосредственно с помощью правила Лопиталя.
2. Неопределенность вида 
.
Для раскрытия неопределенности вида , необходимо преобразовать соответствующее произведение 
, где 
, 
в частное: 
(вид 
) или 
(вид 
).
3. Неопределенность вида 
.
Для раскрытия неопределенности вида необходимо преобразовать соответствующую разность 
, где 
, , в произведение 
и раскрыть сначала неопределенность 
. Если 
, то выражение следует привести к виду 
(вид ).
4. Неопределенности вида 
.
Такого рода неопределенности раскрываются с помощью предварительного логарифмирования и нахождение предела степени 
. Эти неопределенности сводятся к случаю неопределенности , при этом используется тождество
.
Задачи
Задача 1. Вычислить 
.
Решение
.
При вычислении данного предела трижды применяли правило Лопиталя.
Ответ: 
.
Задача 2. Вычислить 
.
Решение
.
При решении данной задачи дважды применяли правило Лопиталя.
Ответ: 
.
Задача 3. Вычислить 
.
Решение
В условии задачи подчеркнуто, что 
. Это указание является существенным, потому что при 
, так же, как и при 
, 
не существует, так как отрицательные числа логарифмов не имеют.
.
При применении правила Лопиталя заменяется отношение функций отношением их производных.
Ответ: 0.
Задача 4. Вычислить 
.
Решение
.
Ответ: 
.
Задача 5. Вычислить 
.
Решение
При решении данной задачи дважды применяли правило Лопиталя.
Ответ: 
.
Задача 6. Вычислить 
.
Решение
.
Получили неопределенность . По правилу 3 преобразуем выражение, стоящее под знаком предела к виду , путем приведения к общему знаменателю:
|
|
|
.
Чтобы раскрыть неопределенность , дважды применяли правило Лопиталя.
Ответ: 
.
Задача 7. Вычислить 
.
Решение
.
Получили неопределенность . По правилу 3 раскроем эту неопределенность, приводя ее к виду путем приведения к общему знаменателю:
.
Чтобы раскрыть неопределенность , дважды применяли правило Лопиталя.
Ответ: 
.
Задача 8. Вычислить 
.
Решение
Получили неопределенность . По правилу 2 преобразуем выражение, стоящее под знаком предела к виду :
.
Ответ: 0
Задача 9. Вычислить 
.
Решение
.
Получили неопределенность . По правилу 2 преобразуем выражение, стоящее под знаком предела к виду :
.
Неопределенность раскрыли, применяя правило Лопиталя.
Ответ: .
Задача 10. Вычислить 
.
Решение
.
Получили неопределенность 
. На основании правила 4 воспользуемся тождеством .
.
Ответ: 1.
Задача 11. Вычислить 
.
Решение
. Получили неопределенность . По правилу 4 воспользуемся тождеством
.
.
Вычислим отдельно предел степени:
,
тогда 
.
Ответ: 1.
Задача 12. Вычислить 
.
Решение
.
Получили неопределенность 
. По правилу 4, принимая во внимание тождество , находим:
.
Вычислим отдельно предел степени:
.
Следовательно, 
.
При нахождении предела степени трижды воспользовались правилом Лопиталя.
Ответ: 1.
Задача 13. Вычислить 
.
Решение
.
Получили неопределенность . По правилу 4, учитывая тождество , находим:
.
Отдельно вычислим предел степени:
.
Итак, 
.
Правилом Лопиталя воспользовались четырежды при нахождении предела степени.
Ответ: 
.
Задача 14. Вычислить 
.
Решение
.
Получили неопределенность 
. По правилу 4, применяя тождество , раскроем эту неопределенность:
.
Отдельно вычислим предел степени:
.
Подставляя результат, получим:
.
Ответ: 1.
Задача 15. Вычислить 
.
Решение
.
Получили неопределенность . По правилу 4, принимая во внимание тождество , находим:
|
|
|
.
Вычислим предел степени:
Последнюю неопределенность раскрыли с помощью первого замечательного предела. Тогда 
.
Ответ: 1.
Правило Лопиталя является эффективным приемом раскрытия неопределенностей, но не универсальным.
Задача 16. Вычислить 
.
Решение
.
При 
функция 
не имеет предела, поэтому правило Лопиталя здесь неприменимо. Предел можно найти непосредственно:
. Функция 
ограничена, так как 
при любом 
.А величина - бесконечно большая при . Тогда по свойству: отношение ограниченной функции к бесконечно большой есть функция бесконечно малая 
, имеем 
.
Ответ: 1.
Задача 17. Вычислить 
.
Решение
.
При функция не имеет предела, поэтому правило Лопиталя неприменимо. Предел можно найти используя известный прием:
. Функция ограничена, так как 
при любом . А величина - бесконечно большая при . Тогда по свойству: отношение ограниченной функции к бесконечно большой есть функция бесконечно малая , имеем 
.
Ответ: 1.
Диагностическая контрольная работа
Вариант 1
Вычислить:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4); 
.
Вариант 2
Вычислить:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
.
Вариант 3
Вычислить:
1) ; 2) 
; 3) 
; 4) 
;
Вариант 4
Вычислить:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
.
Вариант 5
Вычислить:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
.
Вариант 6
Вычислить:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
.
Домашнее задание
1. Теория: «Первый и второй замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые».
2. Берман. Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. №№ 383, 385, 391, 397, 399, 400.
|
|
|
