Задача на собственные значения для вырождающегося уравнения смешанного типа
Сабитов К.Б., Бибакова С.Л. 1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение:
где Пусть Задача Tl. Найти значения параметра
где Выбор значения k таковым объясняется тем, что для уравнения (1) при Спектральные задачи для оператора Лаврентьева-Бицадзе были рассмотрены в работах [2-4]. В работах [5-8] изучены спектральные задачи для уравнения (1) с условиями Дирихле. В [5] для уравнения (1) в области эллиптичности построены решения первой краевой задачи и смешанной краевой задачи с помощью биортогональных рядов. В работе [6] уравнение (1) рассматривалось в D, где подобласть D+ ограничена отрезком NB оси y=0, N=(-1, 0), и дугой NB: В данной работе найдены в явном виде собственные значения и соответствующие собственные функции, которые отличаются от результатов [6]. 2. Построение частных решений в области эллиптичности. В области D+ перейдем к новым переменным где Разделяя переменные
Известно [1], что решением уравнения (6) является функция Бесселя
Удовлетворяя (10) краевым условиям (7) и (8), имеем:
Теперь построим общее решение для уравнения (8). Для этого в (8) введем новую переменную
Уравнение (12) является гипергеометрическим уравнением [9, с. 69], и поскольку a не является целым числом, то общее решение уравнения (8) определяется по формуле
Функция (13) удовлетворяет первому граничному условию из (9). Удовлетворим (13) второму краевому условию из (9).
На основании равенств [10, с. 112] имеем уравнение для нахождения неизвестного
В силу известных формул имеем:
Тогда с учетом того, что
Таким образом, в области D+ найдены частные решения уравнения (1), удовлетворяющие краевому условию (3):
3. Построение частных решений в области гиперболичности. В уравнение (1) в области D- сделаем замену переменных Разделив переменные
Решением уравнения (18), удовлетворяющего условиям (19), является функция
Уравнение (20) так же, как и уравнение (12), является гипергеометрическим уравнением с аргументом
Если Таким образом, в области D- найдены частные решения уравнения (1), удовлетворяющие граничному условию (4):
4. Построение собственных функций задачи Tl. Для нахождения собственных значений и собственных функций задачи Tl, построенную систему функций (17) и (24) удовлетворим условиям склеивания (2) и (5). Из (17) и (24) вычислим: Приравнивая функции получим систему из которой находим коэффициенты
Найденные значения
Поскольку Рассмотрим по отдельности случаи
При При По формулам (25) и (26) находим где Из теории бесселевых функций известно [10], что при Таким образом, построена система собственных функций задачи Tl: Список литературы Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М., 1985. Пономарев С.М. Спектральная теория основной краевой задачи для уравнения смешанного типа Лавретьева-Бицадзе. Автореферат диссертации … д-ра ф.-м. наук. М.: МГУ, 1981. Моисеев Е.И. Уравнение смешанного типа со спектральным параметром. М.: МГУ, 1998. Сабитов К.Б., Тихомиров В.В. О построении собственных значений и функций одной газодинамической задачи Франкеля // Математическое моделирование. 1990. Т. 2. № 10. С. 100-109. Моисеев Е.И. о решении вырождающихся уравнений с помощью биортогональных рядов // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27. № 1. С. 94-103. Мамедов Я.Н. О некоторых задачах на собственные значения для уравнения смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26. № 1. С. 163-168. Сабитов К.Б., Вагапов В.З. О построении частных решений вырождающихся уравнений смешанного типа // Комплексный анализ, дифференц. уравнения и смежные вопросы: Тр. Международ. науч. конф. Уфа, 1996. С. 99-106 Вагапов В.З. построение частных решений одного уравнения смешанного типа // Тр. Всеросс. науч. конф. «Физика конденсированного состояния». Стерлитамак, 1997. Т. 1. С. 26-30. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1973. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. 1. М., 1949. Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.bashedu.ru
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|