Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

V. Примеры экзаменнациолнных работ прошлых лет

Ниже приводятся варианты экзаменационных работ прошлых лет на различные факультеты. В скобках указаны ответы. Наиболее трудные задачи снабжены указаниями или краткими решениями. На выполнение работы отводится 4 часа (240 минут).

Экзаменационная работа по математике

Вариант 1

1. Заказ по выпуску машин завод должен был выполнить за 20 дней. Но завод выпускал ежедневно по 2 машины сверх плана, а потому выполнил заказ за 18 дней. Сколько машин выпустил завод? (360 машин)

2. Решите уравнение ()

3. Решите неравенства ,

)

4. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 6, а боковое ребро 5. Найдите объем пирамиды и площадь сферы, описанной около пирамиды.

5. К графику функции проведена касательная, образующая с осями координат треугольник наименьшей площади. Найдите координаты точки касания.

Экзаменационная работа по математике

Вариант 2

1. Решите уравнения ,

2. Магазин, купив два предмета за 225 рублей, продал их, получив 40% прибыли. Сколько рублей магазин заплатил за каждый предмет, если на первом прибыли было получено 25%, а на втором 50%? (90 руб, 135 руб)

3. На стороне ВС треугольника АВС как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны АВ и АС в точках М и К. Найдите площадь треугольника АМК, если площадь треугольника АВС равна 7, а .

4. Решите неравенство

5. К графику функции проведены касательные, параллельные прямой . Найдите абсциссы точек касания.

Экзаменационная работа по математике

Вариант3

1. Решите уравнение

2. Решите неравенство

3. К графику функции проведены касательные, проходящие через точку . Найдите площадь четырехугольника, образованного этими касательными и осями координат.

4. Найти сумму всех двузначных натуральных чисел, которые при делении на 5 дают остаток, равный 2. (981)

5. Решите неравенство

Экзаменационная работа по математике

Вариант 4

1. По течению реки моторная лодка проходит 40 км за 2 ч, а против течения –
35 км за 2 ч 30 мин. Найдите скорость течения реки. (3 км/ч)

2. Решите уравнение

3. Решите неравенство

4. Решите уравнение ()

5. В треугольнике АВС АВ=ВС, , АЕ – биссектриса, ВЕ =2а. Найдите площадь треугольника АВС.

Экзаменационная работа по математике

Вариант 5

1. Решите уравнение

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций

и .

3. Решите неравенство

4. Решите уравнение

5. Хорды окружности AC и BD пересекаются. Найдите угол CAD, если

ABD=30 , ADС=50 .

Экзаменационная работа по математике

Вариант 6

1. Сумма двух чисел равна 4, а сумма их квадратов . Найдите эти числа.

2. Решите уравнение

3. Решите уравнение . Укажите корни уравнения, удовлетворяющие условию .

4. Решите неравенство

5. Найдите площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой 5 и радиусом вписанной в него окружности, равным 1. (6)

Экзаменационная работа по математике

Вариант 7

1. Решите уравнение

2. Найдите два числа, сумма которых равна 16, а разность – 3.

3. Решите уравнение ,

4. Меньший катет прямоугольного треугольника равен 4. Окружность радиуса 3 с центром на гипотенузе касается большего катета и проходит через вершину противоположного угла. Найдите гипотенузу. (12)

5. Найдите область определения функции

Экзаменационная работа по математике

Вариант 8

1. Решите систему уравнений (-1,-4), (4,1)

2. Решите уравнение

3. Решите неравенство

4. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6, угол между боковой гранью и плоскостью основания равен . Найдите объем пирамиды и расстояние от центра основания до боковой грани.

5. Напишите уравнения касательных к графику функции , проходящих через точку . Сделайте схематический чертеж.

Экзаменационная работа по математике

Вариант 9

1. Решите уравнения ,

2. К графику функции в точке М (1, 2) проведена касательная. Найдите длину отрезка касательной, заключенной между осями координат. Сделайте схематический чертеж.

3. Решите неравенство

4. При каких значениях уравнение имеет единственное решение?

Указание. Уравнение равносильно системе , которая будет иметь единственное решение, когда графики функций и пересекаются в единственной точке. График первой функции представляет собой “усеченную” параболу (часть параболы, которая находится над осью ОХ). График второй функции – множество всех прямых (за исключением оси OY), проходящих через точку (0, -1). При прямая касается “усеченной” параболы, а при пересекает ее в единственной точке.

5. Через вершины А и В треугольника АВС проходит окружность радиуса 5, пересекающая сторону ВС в точке М. Найдите радиус окружности, проходящей через точки А, М и С, если АВ=6, АС=8.

Указание. Используйте теорему синусов для треугольников AMB и AMC.

Экзаменационная работа по математике

Вариант 10

1. На двух станках было изготовлено 100 деталей. После модернизации производительность первого станка возросла на 40%, а второго – на 20% и на них за это же время изготовили 132 детали. Сколько деталей было изготовлено на каждом станке первоначально? (60 и 40)

2. Решите неравенства ,

3. Решите уравнение

4. Четырехугольник можно вписать в окружность. О – точка

пересечения диагоналей МК и . Площади треугольников и

равны 8 и 2 соответственно. Найдите , если . (ON=4)

Указание. Углы KMN и LNK равны, поскольку опираются на равные дуги. Следовательно, треугольники MNK и KON подобны. А отношение площадей подобных треугольников равно отношению квадратов соответственных сторон.

5. При каких значениях функция

возрастает на всей области определения?

Указание. . Функция будет возрастать при . Если обозначить , то условие равносильно тому, что парабола будет на отрезке расположена не ниже оси (Ot). Если абсцисса , вершины параболы меньше -1, то парабола будет не ниже оси (Ot) при , т.е. параметр находится из системы

, решением которой будет промежуток . Аналогично, решая системы , , получим еще два промежутка.

Экзаменационная работа по математике

Вариант 11

1. Решите уравнение

2. Решите неравенство .

3. К графику функции проведена касательная в точке с абсциссой . Найдите площадь треугольника, образованного этой касательной и осями координат. (S=4)

4. При каких значениях a уравнение имеет решения?

Указание. Обозначим , тогда , где . Уравнение будет иметь решения, когда будет изменяться от наименьшего до наибольшего значения функции на отрезке . Остается найти наименьшее и наибольшее значения функции на указанном отрезке.

5. В равнобедренную трапецию () вписана окружность с центром О. Найдите радиус окружности, если

Указание. AO и DO являются биссектрисами углов A и D. Так как сумма этих углов равна , то сумма их половинок будет . Следовательно, треугольник AOD прямоугольный и высота этого треугольника (опущенная на гипотенузу) равна радиусу окружности.

Экзаменационная работа по математике

Вариант 12

2. Решите уравнение

3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна . Один из катетов составляет 60% от другого. Найдите катеты и биссектрису прямого угла. (3, 5, )

4. Решите уравнение

5. При каких натуральных неравенство

выполняется при всех ? (n=1,2,3,4,5,6,7)

Указание. Неравенство будет выполняться при всех , если дискриминант квадратного трехчлена будет отрицательным .

Экзаменационная работа по математике

Вариант 13

1. Решите уравнение

2. Моторная лодка прошла по течению реки 20 км, а против течения 30 км. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна
3 км / час, а на весь путь затрачено 6 часов 40 минут. (9км/ч)

3. Решите уравнение

4. Решите неравенство

5. Точка пересечения диагоналей трапеции делит одну из диагоналей на отрезки 10 см и 6 см. Найдите основания трапеции, если одно из них на 10 см больше другого. (15, 25)

Экзаменационная работа по математике

Вариант 14

1. В двух мешках находится 129 кг муки. Во втором мешке муки на 15% больше, чем в первом. Сколько муки в каждом мешке? (60, 69)

2. Решите неравенство (0<x<0,25, x=8)

3. Решите уравнение и укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку .

4. В равнобедренной трапеции с основаниями 3 и 6 и боковой стороной 3 найдите длину диагонали.

5. Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые при делении на 5 дают остаток, равный 2. (98910)

Экзаменационная работа по математике

Вариант 15

1. Решите уравнение (х=0,25)

2. Решите уравнение (х=5)

3. Решите уравнение

4. Решите неравенство

5. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 6, а боковое ребро 5. Найдите объем пирамиды и площадь сферы, описанной около пирамиды.