 |
Пример 1. Задача оптимизации параметров корректируемой ССЦ
|
|
|
|
Выбор модели эксперимента
Ранее было отмечено, что модель системы неизвестна (система представляется в виде «чёрного ящика»). Однако в результате опытов строится поверхность отклика y = f (x 1, x 2, …, xn). Задача состоит в том, чтобы определить вид этой поверхности (математическую формулу), а затем найти коэффициенты формулы.
Модель надо выбрать таким образом, чтобы избежать полного перебора факторов xi и минимизировать количество опытов N.
Допустим, что параметр оптимизации зависит от двух факторов х 1 и х 2. Пусть реально поверхность отклика представляет собой параболоид (рисунок 1.2).
Рисунок 1.2. Графическое представление поверхности отклика
Такую поверхность можно получить полным перебором факторов. Но задача состоит в том, чтобы найти такое соотношение между х 1 и х 2, при котором у максимально. Для этого совсем необязательно строить поверхность в её полном виде. Можно решить задачу по-другому. Проведём сечения поверхности отклика плоскостями уровня. В виде сверху это будут окружности (рисунок 1.3).
Сначала движение по вертикали, затем по горизонтали
Рисунок 1.3. Вариант поиска точки экстремума
Если зафиксировать значение одного фактора (х 1), а изменять значение другого, то в какой-то момент будет достигнут локальный экстремум. Если теперь зафиксировать значение х 2, а изменять х 1, то через ограниченное число шагов будет достигнут абсолютный экстремум. Очевидно, что здесь нет полного перебора. Но и этот способ ещё не самый лучший.
Рассмотрим другой вариант.
На рисунке 1.4 проводится 4 эксперимента в вершинах квадрата. По результатам этих экспериментов можно определить направление на экстремум. Если теперь изменять значения факторов синхронно, так, чтобы они оставались на прямой к экстремуму, то последний будет достигнут весьма скоро.
|
|
|
Рисунок 1.4. Вариант поиска точки экстремума
Данный приём носит название метода Бокса-Уилсона или метода «крутого восхождения». Именно при использовании этого метода существенно сокращается число экспериментов. Собственно, ПЭ и состоит в таком подборе сочетаний факторов, при котором быстро определяется направление на экстремум.
Таким образом, математическая модель требуется не для аппроксимации истинной поверхности, а для предсказания направления, в котором возрастает параметр оптимизации (или убывает, если ищется минимум).
Выбранная модель должна быть гладкой, непрерывной и иметь только один экстремум (этот экстремум может быть и на границе, то есть не быть экстремумом в классическом математическом понимании, но быть максимальным или минимальным значением в области).
После того как направление на экстремум предсказано, начинается движение по этому направлению («крутое восхождение»). Это так называемый шаговый принцип. При этом модель может уточняться. Выбираются только те значения факторов, которые ведут к экстремуму (здесь и экономятся опыты).
Рисунок 1.5. Вариант поиска точки экстремума
Так как модель используется не для аппроксимации, то она может быть выбрана максимально простой, но достаточно точной (как говорят – адекватной).
Как правило, ограничиваются полиномиальной моделью второй степени вида (пример для трёх факторов):
y = b 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 + b 12 x 1 x 2 + b 13 x 1 x 3 + b 23 x 2 x 3 + b 123 x 1 x 2 x 3 + b 11 x 12 +
+ b 22 x 22 + b 33 x 32. (1.2)
При реализации опытов выбор значений факторов в руках экспериментатора, поэтому можно взять соседние значения достаточно близко. Но тогда справедлива неполная квадратичная или линейная модель (пример для трёх факторов):
|
|
|
y = b 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 + b 12 x 1 x 2 + b 13 x 1 x 3 + b 23 x 2 x 3 + b 123 x 1 x 2 x 3. (1.3)
Полный факторный эксперимент 2 k
Полный факторный эксперимент (ПФЭ) – эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов. Уровень фактора – значение, которое может принимать фактор в одном из опытов.
Процесс исследования при помощи ПФЭ состоит из нескольких этапов. Часть из них полностью формализована (в основном это расчёты), часть требует принятия интуитивных решений. Последние очень важны, поскольку от них зависит эффективность решения, и в силу этого требуют глубокого осмысления задачи. Если этого нет, преимущества применения ПФЭ сводятся к нулю.
Из неформальных этапов основных – три:
1. Выбор факторного пространства – установление границ областей определения факторов, то есть области тех значений, где будут ставиться эксперименты. При выборе областей учитываются реальные ограничения, априорная информация, в ряде случаев ставятся контрольные опыты. Рассмотрим пример:
Рисунок 1.6.
Речь идёт об оптимизации системы управления (СУ) корректируемым программным сопровождением наземной цели (стрельба из подвижной артиллерийской установки штурмовика) (рисунок 1.6). Существенное влияние на точность наведения оказывают значения коэффициентов усиления в цепи коррекции по горизонту и вертикали. Критерий оптимальности – минимум средней квадратичной ошибки наводки:
(1.4)
где T – время сопровождения цели, β – угол разворота визира, ε – угол наклона по вертикали.
Эксперименты проводились на полунатурном стенде моделирования наведения (реальный оператор и модель системы управления). Определение факторного пространства было проведено путём постановки контрольных опытов, обработка результатов которых по одному из каналов коррекции дала результат в виде некоторой зависимости (коррекция по скорости, коэффициенты k V βи k V ε).
Оказалось, что зависимость имеет ярко выраженный экстремум (минимум). Она была построена для того, чтобы оценить область экстремума для постановки связанных экспериментов по соответствующим образом сформированному плану. Область экстремума позволяет оценить границы факторов, внутри которых лежит экстремум (то есть определить область факторного пространства). После определения границ выбирается основной уровень каждого фактора (это может быть любая точка факторного пространства, не лежащая на границе, но, как правило, это центральная точка факторного пространства) (рисунок 1.7).
|
|
|
Рисунок 1.7. Выбор факторного пространства
2. Выбор количества уровней варьирования факторов (то есть количества значений, которые фактор должен принимать в экспериментах).
Так как допустимо использование линейной модели, то достаточно двух значений каждого фактора (через две точки можно провести единственную прямую) (рисунок 1.8).
Рисунок 1.8. Линейная модель факторного эксперимента
3. Выбор интервалов варьирования факторов. Интервал варьирования – число, от прибавления которого к основному уровню получается верхняя граница интервала варьирования, от вычитания – нижняя граница (рисунок 1.9).
Рисунок 1.9. Выбор интервалов варьирования факторов
К формальным этапам относят:
1. Кодирование факторов. При составлении матрицы плана используются обезличенные значения факторов. Они называются кодированными значениями и образуются по следующей схеме: максимальное значение фактора устанавливается равным x max = +(1), минимальное x min = −(1), основной уровень x 0 = 0. В этом случае расчёт кодированных значений факторов осуществляется по формуле:
(1.5)
где Xi – натуральное значение фактора, 
– натуральное значение основного уровня фактора, Ji – интервал варьирования.
Кодирование факторов – очень ответственный этап. В случае, если интервал варьирования взят большим, то линейная модель не будет адекватной (реальная зависимость не линейна). Напротив, малый интервал варьирования приведет к большому числу опытов (к тому же, если точность измерений мала, то значения параметра оптимизации в опытах могут стать неразличимыми).
2. Составление матрицы плана. Рассмотрим составление плана на примере двух факторов, как наиболее наглядное (рисунок 1.10).
|
|
|
Рисунок 1.10. Иллюстративное представление составления матрицы плана
Для случая двух факторов, чтобы обеспечить полный перебор, необходимо поставить эксперименты в 4-х точках (тогда – 4 эксперимента). Очевидно, если бы было 3 фактора, то – 8 точек (8 экспериментов). Иначе говоря, если факторов k, то экспериментов 2 k.
Таблица 1.1. Матрица ПФЭ 2 k для двух факторов
| № опыта | x 0 | x 1 | x 2 | x 1 x 2 | yn |
| 1 | + | − | − | + | y 1 |
| 2 | + | + | − | − | y 2 |
| 3 | + | − | + | − | y 3 |
| 4 | + | + | + | + | y 4 |
Таблица 1.2. Матрица ПФЭ 2 k для трёх факторов
| № опыта | x 0 | x 1 | x 2 | x 3 | x 1 x 2 | x 1 x 3 | x 2 x 3 | x 1 x 2 x 3 | yn |
| 1 | + | − | − | − | + | + | + | − | y 1 |
| 2 | + | + | − | − | − | − | + | + | y 2 |
| 3 | + | − | + | − | − | + | − | + | y 3 |
| 4 | + | + | + | − | + | − | − | − | y 4 |
| 5 | + | − | − | + | + | − | − | + | y 5 |
| 6 | + | + | − | + | − | + | − | − | y 6 |
| 7 | + | − | + | + | − | − | + | − | y 7 |
| 8 | + | + | + | + | + | + | + | + | y 8 |
3. Проверка выполнения свойств ПФЭ. Матрица плана ПФЭ должна обладать следующими свойствами:
§ условием симметричности: 
§ условием нормировки: 
§ условием ортогональности: 
Здесь i, j – номера факторов, n – номер опыта, N – количество опытов.
§ условием ротатабельности – точность предсказания значений параметра одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления.
4. Определение коэффициентов функции отклика в соответствии с матрицей плана по формулам:
(1.6)
(1.7)
(1.8)
Пример 1. Задача оптимизации параметров корректируемой ССЦ
Условие: 
После проведения экспериментов получены следующие результаты:
| № опыта | x 0 | x 1 | x 2 | x 1 x 2 | yn |
| 1 | + | − | − | + | 4.85 |
| 2 | + | + | − | − | 4.15 |
| 3 | + | − | + | − | 4.29 |
| 4 | + | + | + | + | 4.06 |
у = 4.34 − 0.23 x 1 − 0.16 x 2 + 0.12 x 1 x 2.
Отметим, что последнее слагаемое не играет роли при поиске наилучшего соотношения факторов (оно играет определенную роль только при аппроксимации поверхности отклика: однако аппроксимация подобной функцией весьма приближенная). Таким образом, дальнейшие операции можно проводить только с линейной моделью.
|
|
|
