 |
Исключение грубых ошибок из статистического ряда
|
|
|
|
Лекция №7. Обработка результатов прямых измерений. Определение приближенного значения (оценки) измеряемой величины. Исключение грубых ошибок из статистического ряда
Обработка результатов прямых измерений
Пусть выполнено n измерений некоторой физической величины a: x 1, x 2, …, xn.
Примем допущения, не нарушающие физического смысла:
1. Погрешность измерений Δ i распределена по нормальному закону;
2. Систематические ошибки отсутствуют, то есть m [Δ i ] = 0;
3. Измерения независимы и равноточны, то есть дисперсии σ X 2 случайных величин Xi одинаковы).
Ещё раз отметим, что данные допущения не противоречат физическому смыслу (распределение погрешности по нормальному закону, так как в образовании погрешности участвует множество некоррелированных факторов; измерения равноточны, так как измерительное оборудование имеет во всех опытах один и тот же класс точности, тем более, как правило, используется одно и то же оборудование).
Определение приближенного значения (оценки) измеряемой величины
Обозначим оценку через 
и воспользуемся методом максимального правдоподобия (ММП). Так как погрешности распределены по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием, то и случайные величины Xi распределены по нормальному закону с математическим ожиданием, равным , и некоторой дисперсией s2 (пока она неизвестна).
Плотность вероятности:
(7.1)
Найдем вероятность того, что значение, измеренное в некотором опыте (это случайная величина, так как опыты могут быть повторены, и от опыта к опыту измеренное значение изменяется) лежит в диапазоне 
:
(7.2)
|
|
|
Так как все Xi независимы, то вероятность попадания всех измерений в соответствующие диапазоны равна произведению вероятностей попадания каждой случайной величины в свой диапазон и имеет вид:
(7.3)
Произведение функций плотности распределения рассмотрим как функцию правдоподобия L (это произведение должно быть максимальным). Под функцией правдоподобия понимается совместное распределение выборки из параметрического распределения, рассматриваемое как функция параметра.
Действительно, с точки зрения здравого смысла логично предположить, что значения, полученные в результате измерений, и есть наиболее вероятные значения, то есть вероятность получения именно этих результатов – наибольшая:
(7.4)
Исходя из сделанного предположения, найдем оценку физической величины a. Запишем выражение для функции правдоподобия:
(7.5)
Так как в данном произведении n сомножителей, его можно переписать (7.5) в следующем виде:
(7.6)
Так как функция правдоподобия L должна иметь при искомом значении оценки максимум, то это значит, что выражение под знаком суммы (в показателе экспоненты) должно иметь минимум (перед ним знак «–»), то есть:
(7.7)
После дифференцирования и решения соответствующего уравнения получим, что оценка определяется из следующего выражения:
(7.8)
то есть среднее значение опытных данных является наилучшей оценкой измеряемой физической величины (с учётом сделанных вначале допущениях).
Исключение грубых ошибок из статистического ряда
Статистическим рядом называется совокупность опытных данных, упорядоченных по номерам опытов (i):
| i | 1 | 2 | 3 | … | n |
| Xi | x 1 | x 2 | x 3 | … | xn |
Если опытные данные размещены в порядке возрастания (или убывания), то такой ряд называется вариационным.
|
|
|
На практике могут возникать ситуации, когда один результат (или несколько) существенно отличается от остальных («выпадает» из статистического ряда). В таком случае необходимо выполнить следующую последовательность действий:
1. Установить, не изменились ли условия проведения эксперимента;
2. Если условия изменились, то данный результат отбросить, условия эксперимента восстановить, эксперимент повторить.
Если условия проведения эксперимента не изменились, то сомнительный результат необходимо проверить по каким-либо критериям и определить, не содержит ли он грубую ошибку. Дело в том, что могут быть единичные, не подлежащие уверенной интерпретации, случайные факторы, проявившиеся именно в данном опыте, которые существенно изменили результат; причины могут быть различными, но их объединяет то, что они не соответствуют естественному течению эксперимента.
Проверка сомнительного результата возможна при соблюдении трех условий:
1. Погрешность измерений распределена по нормальному закону;
2. Измерения независимы и равноточны, то есть во всех опытах одинакова дисперсия σ X 2.
На практике, как уже отмечалось ранее, если условия проведения эксперимента контролируются и от опыта к опыту не изменяются, измерительная аппаратура не изменяется, то указанные выше условия выполняются.
В соответствии с изложенным условие задачи формулируется следующим образом. Есть (n + 1) независимых измерений, результаты которых есть случайные величины: x 1, x 2, …, xn +1. В этом ряду есть один результат x * ∈ { x 1, x 2, …, xn +1} содержащий, предположительно, грубую ошибку.
Последовательность решения задачи:
1. По n не вызывающим сомнения результатам находим оценки математического ожидания и среднее квадратичное отклонение:
(7.9)
2. Составить соотношение:
(7.10)
где t * – случайная величина. При этом если погрешность распределена по нормальному закону, то величина t * подчиняется распределению Стьюдента Sn (t) с n степенями свободы. Изменение «подозрительного» значения x * приводит к соответствующему изменению величины t *.
|
|
|
Очевидно, что возможны случайные изменения x *, не вызывающие недоверия. Логично предположить, что существует некоторый диапазон, в который укладываются эти случайные, но не вызывающие опасений, изменения x *.
Рисунок 7.1. Графическое представление экспериментальных данных
На приведённом рисунке 7.1 верхняя и нижняя линии ограничивают указанный диапазон. Он расположен симметрично по отношению к среднему значению. Видно, что два значения (второе и восьмое) выходят за границы данного диапазона. Это и есть подозрительные значения.
Таким образом, существует некоторое значение t КР, такое, что при | t *| > t КР отклонение x *нельзя считать случайным, то есть x * – грубая ошибка (вероятность P (| t *| > t КР) < 1– P д, где P д – доверительная вероятность).
3. Задаем величину P д и для значения n из таблицы распределения Стьюдента находим t КР.
4. Сравниваем | t *| и t КР: Если | t *| > t КР, то x * – выходит за границы допустимого диапазона (доверительного интервала) и должно быть отброшено. В противном случае это значение возвращается в статистический ряд, после чего пересчитываются значения математического ожидания и среднего квадратичного отклонения.
|
|
|
