 |
Нормальное уравнение прямой.
|
|
|
|
Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве
Лекция 2.1. Прямая на плоскости и её уравнения. Угол между двумя прямыми. Взаимное положение прямых на плоскости.
1) Уравнение прямой на плоскости.
Уравнением линии на плоскости называется уравнение относительно переменных (x,y), которому удовлетворяют координаты любой точки линии и только они.
Общий вид уравнения линии в декартовой системе координат: 
.
Это уравнение определяет линию как некоторое геометрическое место точек, т.е. совокупность точек, обладающих некоторым свойством, исключительно им присущим.
Чтобы составить уравнение линии как некоторого геометрического места точек, необходимо:
a. взять произвольную точку с текущими координатами x и у;
b. записать общее свойство точек данного геометрического места в виде тождества;
c. преобразовать полученное тождество в уравнение.
Точки пересечения двух линий 
и 
находят из системы уравнений 
. Если система совместна, то линии пересекаются. Число точек пересечения равно числу решений системы.
2) Прямая на плоскости.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Дано: т. 
, 
, 
/
Общее уравнение прямой.
, где
A, B, C – постоянные коэффициенты, причём A и B не обращаются в ноль 
.
Общее уравнение прямой называется полным, если все его коэффициенты A, B и C отличны от нуля.
Если хотя бы один из коэффициентов равен нуля, то уравнение называется неполным.
8 С=0 
, 
, 
;
8 B=0 
, 
, 
- прямая параллельна оси Оу;
8 А=0 
, 
, 
- прямая параллельна оси Ох;
8 B=С=0 
, 
- ось Оу;
8 А=С=0 
, 
- ось Ох.
Уравнение прямой в отрезках.
При построении прямой можно воспользоваться тем, что одну из координат точки можно выбрать произвольно .
|
|
|
,
,
Обе эти точки лежат на осях и поэтому
величины 
, 
называются
отрезками, осекаемыми на осях, и в нашем случае могут быть приняты в качестве параметров прямой
, 
, 
.
4) Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Дано: 
, 
~ 
Уравнение прямой, заданной точкой и нормальным вектором.
Дано: 
, 
, 
, 
6) Каноническое уравнение прямой (уравнение прямой, проходящей через заданную точку, параллельно направляющему вектору)
Дано: , 
, 
// L
// 
,
Параметрическое уравнение прямой
Параметрическое уравнение прямой элементарно получается из канонического уравнения этой прямой. Примем за параметр t величины, стоящие в левой и правой частях 
Нормальное уравнение прямой.
Рассмотрим некоторую прямую L.
Проведём через начало координат прямую, перпендикулярную к L и обозначим через Р точку пересечения этих прямых. На прямой ОР возьмем единичный вектор 
.
Поставим перед собой цель: выразить уравнение прямой L чез два параметра
1) длину p отрезка ОР;
2) угол 
между и осью Ох.
Так как - единичный вектор, то 
.
точка М(х, у) 
, тогда и только тогда, когда 
, 
, т.к. 
, то 
.
Имея ввиду, что 
, а , получим 
.
- нормальное (нормированное) уравнение прямой, где
р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую;
- угол, который этот перпендикуляр образует с положительным направлением оси Ох.
Алгоритм приведения общего уравнения прямой к нормальному виду:
Т.к. данные уравнения определяют одну и ту же прямую, то существует такое число 
, при котором 
; 
; 
. Первые два тождества возведём в квадрат и просуммируем: + 
, 
, 
- 
.
Остаётся уточнить, какой из знаков 
следует взять в данной формуле. Так как расстояние 
всегда неотрицательно, то из третьего тождества заключаем, что знак нормирующего множителя противоположен знаку С.
|
|
|
Итак, для приведения общего уравнения прямой к нормальному виду следует умножить его на нормирующий множитель, знак которого противоположен знаку свободного члена С.
Введём теперь фундаментальное понятие – отклонение произвольной точки М от данной прямой L.
Пусто число d – это расстояние от точки М до прямой L.
Назовём отклонением 
точки М от прямой L число + d в случае, если т.М и начало координат т. О лежат по разные стороны от прямой L и число - d в случае, если т.М и начало координат т. О лежат по одну сторону от прямой L.
Спроектируем точку М на направление вектора
PQ = = OQ – p,
,
.
Итак, для нахождения отклонения точки 
от прямой L, следует в левую часть нормального уравнения прямой L подставить на место х и у координаты 
точки М.
Угол между двумя прямыми.
Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
1) Дано: 
Задача об определении угла между прямыми 
и 
сводится к определению угла между векторами 
и 
.
Условие параллельности прямых и эквивалентно коллинеарности векторов и , т. е. 
.
Условие перпендикулярности прямых и также эквивалентно перпендикулярности векторов и , т. е. 
.
2) Дано: 
, 
,
Условие параллельности прямых и : 
.
Условие перпендикулярности прямых и : 
.
|
|
|
