Параллельный перенос системы координат

Поверхности второго порядка. Исследование

 поверхностей методом сечений

 

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат.

Определение.

Поверхностью второго порядка называется поверхность, определяемая уравнением , где A, B, C, D, F, G, H, K, L, M - вещественные числа, причем хотя бы одно из чисел A, B, C, D, F, G отлично от нуля.

Поверхности второго порядка, за исключением случаев сильного вырождения, можно разделить на пять классов: эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды, конусы и цилиндры. Для каждой из поверхностей существует декартова прямоугольная система координат, в которой поверхность задается простым уравнением, называемым каноническим уравнением. Этот факт будет обоснован позже.

 

Сфера

Определение.

Сферой называется геометрическое место точек пространства, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром.

Теорема Сфера радиуса с центром в точке  имеет уравнение

.

Пример 1 Построить сферу, заданную уравнением .

Решение. Выделив полные квадраты, получим

.

Следовательно, центром сферы является точка , радиус сферы .

Для ее изображения построим сечения сферы плоскостями, проходящими через центр и параллельными координатным плоскостям. Каждое такое сечение будет окружностью радиуса 2 с центром в точке  (рис1).

                          

Рис.1.                                                                              Рис.2.

Эллипсоид

Определение

Эллипсоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид , где  - положительные числа.

Исследуем форму эллипсоида. Из канонического уравнения эллипсоида видно, что координаты точек поверхности ограничены: . Эллипсоид обладает тремя плоскостями симметрии, тремя осями симметрии и центром симметрии. Ими служат соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.

Для выяснения формы эллипсоида рассмотрим его сечения плоскостями. Найдем линию пересечения эллипсоида с плоскостью . Так как любая точка плоскости имеет нулевую аппликату , то координаты точек эллипсоида на плоскости  удовлетворяют уравнению

Рис.3.Сечение плоскостью .

Аналогично, сечение в плоскости  дает эллипс с полуосями и , а сечение плоскостью -эллипс с полуосями  и  (рис.4)

Рис.4.Сечения эллипсоида координатными плоскостями.

Построенный "каркас" из сечений уже дает представление об эллипсоиде. Но чтобы выяснить, как ведет себя поверхность между нарисованными кривыми, рассмотрим сечение эллипсоида плоскостью . Эта плоскость параллельна плоскости . Уравнения этой линии пересечения

Очевидно, что если , то ни одна точка пространства не может удовлетворять этой системе: в левой части первого уравнения стоит неотрицательное число, а в правой - отрицательное. Если , то в сечении получим лишь одну точку  или в зависимости от знака .

Пусть . Тогда исходное уравнение преобразуем к виду

.

 

Введём обозначения , , тогда уравнение примет вид .

Данное уравнение является уравнением эллипса, подобного эллипсу, задаваемому уравнением, полученным при пересечении эллипсоида плоскостью  с коэффициентом подобия  и полуосями и . Ясно, что сечение плоскостью является таким же эллипсом, расположенным симметрично первому относительно плоскости . Изобразим эти сечения

                         

Рис.5.Дополнительные сечения эллипсоида.                   Рис. 6. Эллипсоид.

 

Так же, как для эллипса, точки пересечения эллипсоида с координатными осями называются вершинами эллипсоида, центр симметрии- центром эллипсоида. Числа  называются полуосями. Если полуоси попарно различны, то эллипсоид называется трехосным.

Если две полуоси равны друг другу, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения. Эллипсоид вращения может быть получен вращением эллипса вокруг одной из осей. Например, если , то все сечения эллипсоида плоскостями , , будут окружностями. Сам эллипсоид может быть получен из эллипса , , лежащего в плоскости , при вращении его вокруг оси  (рис. 7).

Рис.7.Эллипсоид вращения

Гиперболоиды

Определение.

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид , где - положительные числа.

Исследуем форму однополостного гиперболоида. Так же, как эллипсоид, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.

Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому

Это уравнение на плоскости задает эллипс с полуосями и . Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому

.

Это уравнение гиперболы на плоскости , где действительная полуось равна , а мнимая полуось равна . Построим эту гиперболу (рис.8).

Рис.8.Сечения однополостного гиперболоида двумя плоскостями

Сечение плоскостью также является гиперболой с уравнением

Изобразим и эту гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью  (рис. 9).

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями . Уравнения этих линий

 

Первое уравнение преобразуем к виду

Введём обозначения , , тогда уравнение примет вид  Данное уравнение является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости , с коэффициентом подобия и полуосями и . Изобразим полученные сечения (рис.9).

                          

Рис.9.Изображение однополостного гиперболоида с помощью сечений

Если в каноническом уравнении гиперболоида , то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости , являются окружностями. В этом случае поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости , вокруг оси  (рис. 10).

Рис.10.Однополостный гиперболоид вращения

 

Определение

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид , где - положительные числа.

Исследуем форму двуполостного гиперболоида. Так же, как эллипсоид и однополостный гиперболоид, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.

Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому . Координаты ни одной точки плоскости не могут удовлетворять данному уравнению. Следовательно, двуполостный гиперболоид не пересекает эту плоскость. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому . Это уравнение гиперболы на плоскости , где действительная полуось равна , а мнимая полуось равна . Построим эту гиперболу (рис. 11).

Рис. 11.Сечения двуполостного гиперболоида плоскостью  

Сечение плоскостью также является гиперболой, с уравнением . Построим гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью  (рис.12).

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями . Уравнения этих линий

Очевидно, что ни одна точка не может удовлетворять этим уравнениям, если . Если  или , то плоскость имеет с исследуемой поверхностью только одну точку  или . Эти точки называются вершинами гиперболоида.

Пусть . Первое уравнение преобразуем к виду

Введём обозначения , , тогда уравнение примет вид  

Данное уравнение является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости , с коэффициентом подобия и полуосями и . Нарисуем полученные сечения (рис. 12).

                                    Рис. 12 Изображение двуполостного.    Рис. 13. Д вуполостный гиперболоид.  Рис. 14 Д вуполостный гиперболоид

гиперболоида с помощью сечений                                                                              вращения

Если в уравнении , то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости , являются окружностями. В этом случае поверхность называется двуполостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости , вокруг оси  (рис.14).

Конус

Определение

Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид , где - положительные числа.

С математической точки зрения поверхность лучше определять с помощью уравнения , так как в нем меньше параметров, но при этом, во-первых, теряется аналогия с уравнениями предыдущих поверхностей, а во-вторых, если считать, что величины  имеют размерность длины, то в уравнении размерности правой и левой части не согласуются.

Для краткости в дальнейшем конус второго порядка будем называть просто конус. Исследуем форму конуса. Так же, как эллипсоид и гиперболоиды, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.

Для построения конуса найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому .

Координаты только одной точки плоскости могут удовлетворять данному уравнению, а именно, начала координат. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому

Это уравнение пары прямых на плоскости . Построим эти прямые (рис.15). Сечение плоскостью также является парой прямых с уравнением .

 

Рис. 15. Сечения плоскостями  и .

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями . Уравнения этих линий

Первое уравнение преобразуем к виду . Обозначив  и , получим

Данное уравнение является уравнением эллипса. Построим полученные сечения (рис. 17).

 

                                  

Рис.16. Дополнительное сечение                     Рис.17. Изображение конуса с помощью сечений

Точка пересечения конуса с плоскостью называется вершиной конуса.

Если в каноническом уравнении , то сечения конуса плоскостями параллельными плоскости являются окружностями. В этом случае поверхность называется прямым круговым конусом и может быть получена вращением прямой, лежащей в плоскости , вокруг оси .

Параболоиды

Определение

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид , где  и  - положительные числа.

Исследуем форму эллиптического параболоида. Он имеет две плоскости симметрии и ось симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости ,  и координатная ось .

Для построения эллиптического параболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому .

Координаты только одной точки плоскости могут удовлетворять данному уравнению, а именно, начала координат. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому .

Это уравнение параболы на плоскости . Построим ее (рис. 19). Сечение плоскостью  также является параболой. Найдем линии пересечения поверхности с плоскостью . Уравнения этой линии

 

Очевидно, что только одна точка (начало координат) удовлетворяет этим уравнениям, если . Эта точка называется вершиной параболоида.

Пусть . Первое уравнение преобразуем к виду , то есть к виду , где , . Полученное уравнение является уравнением эллипса. Изобразим полученное сечение (рис.19). При  плоскость поверхность не пересекает.

Рис.19.Сечения эллиптического параболоида координатными плоскостями

Найдем сечения параболоида плоскостями , параллельными плоскости . Линии этих сечений удовлетворяют уравнениям  и являются параболами, такими же, как в плоскости , только сдвинутыми вверх на величину , их вершины при таком сдвиге лежат на параболе, получившейся в сечении плоскостью  (рис. 20).

                

Рис.20 Дополнительное сечение    Рис. 21.Эллиптический параболоид       Рис. 22.Параболоид вращения

 

 

Следовательно, вся поверхность может быть получена движением параболы, лежащей в плоскости . Парабола должна двигаться так, чтобы ее плоскость была параллельна плоскости , а вершина скользила по параболе в плоскости .

Если в уравнении , то сечения плоскостями, параллельными плоскости , являются окружностями. В этом случае поверхность называется параболоидом вращения и может быть образована вращением параболы, лежащей в плоскости , вокруг оси  (рис. 22).

Определение.

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид , где  и  - положительные числа.

Исследуем форму гиперболического параболоида. Так же, как и эллиптический параболоид, он имеет две плоскости симметрии и ось симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости , и координатная ось .

Для построения гиперболического параболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому

.

Это уравнение определяет на плоскости пару прямых , изображенных на рис. 23.

Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому .

Это уравнение на плоскости задает параболу, ветви которой направлены вниз. Построим ее (рис. 23). Сечение плоскостью также является параболой , но ее ветви направлены вверх (рис. 23).

 

Рис.23.Сечения гиперболического параболоида координатными плоскостями

 

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостью . Уравнения этой линии

 

Первое уравнение преобразуем к виду , то есть к виду , где , . Данное уравнение является уравнением гиперболы. Ее действительная ось параллельна оси , а мнимая - оси . Полуоси равны соответственно и . Изобразим полученное сечение, но чтобы не перегружать рисунок линиями, асимптоты изображать не будем (рис. 24).

Найдем линии пересечения с плоскостями , параллельными плоскости . Уравнения этих линий

 

Первое из этих уравнений является уравнением параболы, такой же, как и в сечении плоскостью , только сдвинутой вдоль оси на величину вверх. Эти параболы изображены на рисунке 24.

Рис.24.Изображение гиперболического параболоида с помощью сечений

Так как - произвольное число, то вся поверхность может быть получена движением параболы, лежащей в плоскости . Передвигать параболу нужно так, чтобы ее плоскость оставалась параллельной плоскости , а вершина скользила по параболе в плоскости .

Плоскость , , пересекает поверхность по гиперболе, но в отличие от гиперболы, ее действительная ось параллельна теперь оси , а мнимая -- оси  (рис. 25).

  

Рис.25.Дополнительное сечение                  Рис.26.Гиперболический параболоид

Цилиндры

Определение

Цилиндрической поверхностью называется геометрическое место параллельных прямых, пересекающих данную линию. Эта линия называется направляющей, а параллельные прямые - образующими.

Рассмотрим уравнение вида . Покажем, что оно определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси . Пусть  - некоторая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению. Поскольку в это уравнение не входит явно переменная , ему будут удовлетворять координаты всех точек , где  - любое число. Следовательно, при любом точка  лежит на поверхности, определяемой уравнением. Отсюда следует, что на поверхности целиком лежит прямая, проходящая через точку  параллельно оси . А это означает, что поверхность, определяемая уравнением, составлена из прямых, параллельных оси , то есть она является цилиндрической поверхностью.

Заметим, что на плоскости уравнение определяет направляющую рассматриваемой цилиндрической поверхности.

Итак, делаем вывод, что если уравнение поверхности не содержит в явном виде какой-либо переменной, то это уравнение определяет в пространстве цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси отсутствующего переменного и направляющей, которая в плоскости двух других переменных имеет то же самое уравнение.

Нас будут интересовать только те цилиндрические поверхности, которые являются поверхностями второго порядка.

Определение

Поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением  называется эллиптическим цилиндром,
поверхность, заданная уравнением   называется гиперболическим цилиндром,

поверхность, заданная уравнением , называется параболическим цилиндром.

Для того чтобы построить поверхность, задаваемую приведёнными уравнениями, достаточно изобразить на плоскости направляющую, уравнение которой на этой плоскости совпадает с уравнением самой поверхности, и затем через точки направляющей провести образующие параллельно оси . Для наглядности следует построить также одно-два сечения плоскостями, параллельными плоскости . В каждом таком сечении получим такую же кривую, как и исходная направляющая. Изображения этих цилиндров сечениями приведены на рисунках 27,.29 и 31, а их объемные изображения - на рисунках 28, 30 и 32.

                                                                                      

Рис.27.Изображение эллиптического цилиндра с помощью сечений   Рис.28.Эллиптический цилиндр

 

                                 

Рис.29.Изображение гиперболического цилиндра с помощью сечений   Рис.30.Гиперболический цилиндр

 

                                          

Рис.31.Изображение параболического цилиндра с помощью сечений        Рис..32.Параболический цилиндр

Параллельный перенос системы координат

Так же как и на плоскости, в пространстве можно выполнить параллельный перенос системы координат. Пусть в пространстве заданы две декартовы прямоугольные системы координат: "старая" с началом в точке  и осями , , и "новая" с началом в точке и осями , , , причем оси одной системы координат соответственно параллельны осям другой системы и одинаково с ними направлены. Будем говорить, что вторая система координат получена из первой параллельным переносом.

Пусть начало новой системы координат имеет в старой системе координаты . Пусть - некоторая точка пространства с координатами в старой системе координат и - в новой системе координат. Тогда связь между "старыми" и "новыми" координатами точки задается формулами, аналогичными формулам

.

Пусть некоторая поверхность задана уравнением

 

Тогда в системе координат с началом в точке и осями , , , полученной параллельным переносом, уравнение поверхности будет иметь вид .

Пример 2. Построить поверхность .

Решение. Выделим полные квадраты по переменным , и  

.

 

Введем новую систему координат с началом в точке , получающуюся из старой параллельным переносом. в новой системе поверхность задается уравнением

 

Данное уравнение отличается от канонического уравнения однополостного гиперболоида тем, что поменялись ролями оси ординат  и аппликат (). Не переобозначая осей, произведем построение поверхности с помощью сечений. В сечении плоскостью  получаем эллипс

 

Его полуоси равны 1 и 2 и лежат соответственно на осях и . В сечении плоскостью получаем гиперболу с уравнением

 

Ее мнимая ось лежит на оси , а действительная ось лежит на оси , полуоси соответственно равны 2 и 1. В сечении плоскостью  получаем равностороннюю гиперболу

 

Ее мнимая ось лежит на оси