 |
Метод узловых потенциалов в матричной форме
|
|
|
|
На основании полученного выше соотношения (4), представляющего собой, как было указано, матричную запись закона Ома, запишем матричное выражение:
 ,
| (14) |
где 
- диагональная матрица проводимостей ветвей, все члены которой, за исключением элементов главной диагонали, равны нулю.
Матрицы Z и Y взаимно обратны.
Умножив обе части равенства (14) на узловую матрицу А и учитывая первый закон Кирхгофа, согласно которому
 ,
| (15) |
получим:
 ..
| (16) |
Выражение (16) перепишем, как:
 .
| (17) |
Принимая потенциал узла, для которого отсутствует строка в матрице А, равным нулю, определим напряжения на зажимах ветвей:
 .
| (18) |
Тогда получаем матричное уравнение вида:
 .
| (19) |
Данное уравнение представляет собой узловые уравнения в матричной форме. Если обозначить
| (20) |
 ,
| (21) |
то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу узловых потенциалов:
| (22) |
где 
- матрица узловых проводимостей; 
- матрица узловых токов.
В развернутом виде соотношение (22) можно записать, как:
| (23) |
то есть получили известный из метода узловых потенциалов результат.
Рассмотрим составление узловых уравнений на примере схемы по рис. 4.
| 
|
Данная схема имеет 3 узла (m=3) и 5 ветвей (n=5). Граф схемы с выбранной ориентацией ветвей представлен на рис. 5.
Узловая матрица (примем 
)
| А | 
|
Диагональная матрица проводимостей ветвей:
| Y |  ,
|
где 
.
Матрица узловых проводимостей
| 
|
.
Матрицы токов и ЭДС источников
| 
|
| 
|
..Следовательно, матрица узловых токов будет иметь вид:
| 
|
.Таким образом, окончательно получаем:
,
где 
; 
; 
; 
; 
.
Анализ результатов показывает, что полученные уравнения идентичны тем, которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по методу узловых потенциалов.
|
|
|
Литература
- Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
- Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
Контрольные вопросы и задачи
- В чем заключаются преимуществаиспользования матричныхметодоврасчета цепей?
- Запишите выражения матрицы контурных сопротивлений и матрицы контурных ЭДС.
- Запишите выражения матрицы узловых проводимостей и матрицы узловых токов.
- Составить узловые уравнения для цепи на рис. 2.
Ответ:
.
- Составить контурные уравнения для цепи рис. 4, приняв, что дерево образовано ветвями 3 и 4 (см. рис. 5).
Ответ:
.
Лекция N 7
Преобразование энергии в электрической цепи. Мгновенная,
активная, реактивная и полная мощности синусоидального тока
Передача энергии w по электрической цепи (например, по линии электропередачи), рассеяние энергии, то есть переход электромагнитной энергии в тепловую, а также и другие виды преобразования энергии характеризуются интенсивностью, с которой протекает процесс, то есть тем, сколько энергии передается по линии в единицу времени, сколько энергии рассеивается в единицу времени. Интенсивность передачи или преобразования энергии называется мощностью р. Сказанному соответствует математическое определение:
 .
| (1) |
Выражение для мгновенного значения мощности в электрических цепях имеет вид:
 .
| (2) |
Приняв начальную фазу напряжения за нуль, а сдвиг фаз между напряжением и током за 
, получим:
 .
| (3) |
Итак, мгновенная мощность имеет постоянную составляющую и гармоническую составляющую, угловая частота которой в 2 раза больше угловой частоты напряжения и тока.
|
|
|
Когда мгновенная мощность отрицательна, а это имеет место (см. рис. 1), когда u и i разных знаков, т.е. когда направления напряжения и тока в двухполюснике противоположны, энергия возвращается из двухполюсника источнику питания.
Такой возврат энергии источнику происходит за счет того, что энергия периодически запасается в магнитных и электрических полях соответственно индуктивных и емкостных элементов, входящих в состав двухполюсника. Энергия, отдаваемая источником двухполюснику в течение времени t равна 
.
Среднее за период значение мгновенной мощности называется активной мощностью 
.
Принимая во внимание, что 
, из (3) получим:
 .
| (4) |
Активная мощность, потребляемая пассивным двухполюсником, не может быть отрицательной (иначе двухполюсник будет генерировать энергию), поэтому 
, т.е. на входе пассивного двухполюсника 
. Случай Р=0, 
теоретически возможен для двухполюсника, не имеющего активных сопротивлений, а содержащего только идеальные индуктивные и емкостные элементы.
|
|
|
