 |
Классификация методов и моделей менеджмента
|
|
|
|
В мире не происходит ничего, в чем не был бы виден
смысл какого-нибудь максимума или минимума.
Леонард Эйлер
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР
Экономико-математические методы и модели применяют с целью отыскания наилуч-шего решения, т. е. решения, оптимального в том или ином смысле (максимума или
минимума). Поиск наилучшего решения занимал умы людей на протяжении многих
веков. Еще Евклид описал способы построения наибольшего и наименьшего из отрезков, соединяющих данную точку с окружностью, и показал, как среди параллелограммов с заданным параметром найти параллелограмм максимальной площади.
В Древнем Вавилоне и Древнем Египте математика (от греч. mathma — знание) — наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного
мира — преподавалась как система практических навыков, крайне важных для работы государственных чиновников. В «Диалогах» Архимеда (III в. до н. э.) особенно акцентируется внимание на необходимости нематематических следствий как «очередного шага» после математических выводов.
Великие математики X V I I - X V I I I вв. развили новые методы оптимизации для решения комплекса задач геометрии, механики, физики. К таким задачам, например, относится отыскание минимальных поверхностей вращения или кривой наибыстрейшего спуска. Становление математических методов анализа и выработки хозяйственных реше-ний как самостоятельной ветви математики произошло в X V I I I в.Перефразируя изре-чение Галилея, можно сказать, что экономика излагается в большом количестве моно-графий, инструкций, положений, но понять ее может лишь тот, кто научился понимать ее язык и знаки, которыми она написана. Написана же она на математическом языке — искусственном языке, характеризующемся точными правилами построения выражений и их понимания, а знаки ее — математические формулы.
|
|
|
Во Франции Франсуа Кенэ, врач и экономист, предпринял одну из первых попыток экономико-математического моделирования механизма движения финансов. Он построил
экономическую таблицу, рассматривающую экономику государства как единую систему. Кенэ применил идею кровообращения человека к кругообороту экономических отноше-ний. Карл Маркс, используя таблицы Кенэ, ввел алгебраические формулы и мечтал «вы-вести главные законы кризисов». В работах Маркса впервые сделано математическое
формализованное описание процесса расширенного воспроизводства. В 1838 г. Француз-ский математик Антуан Курно выпустил книгу «Исследование математических принци-пов теории богатства». В ней впервые была предложена математическая зависи-
мость спроса и цены товара. Эти величины связаны коэффициентом эластичности, который показывает, как изменяется спрос при росте или снижении цены на 1%. Функция спроса позволила вскрыть ряд закономерностей. Продавать дороже не всегда выгодно. Все зависит от коэффициента эластичности. Спрос на товары, для которых он больше единицы, при снижении цены растет так быстро, что общая прибыль от продажи увеличивается. В 1874 г. швейцарский экономист Л. Вальрас ввел статистическую
модель системы экономического равновесия, затем итальянский экономист В. Парето предложил модель распределения доходов населения.
Конец X I X — начало XX в. характеризуется значительной активизацией работ, развивающих математические методы решения экономических задач. Одной из первых задач, решенных на основе математического подхода, является «задача о землекопе», сформулированная Фредериком Тейлором в 1885 г. В задаче требовалось определить оптимальную разовую массу подбираемой земли, обеспечивающую максимум объема работ землекопа за день. Если землекоп за один раз забирает много земли, то усталость его быстро нарастает. Если брать за один раз мало земли, то падает общий объем работ.
|
|
|
В 1911 г. русский экономист И. Дмитриев описал балансовые соотношения «продукты-ресурсы» с помощью линейных алгебраических выражений. В 1920-е гг. С. Г. Стру-
милиным сформулирована идея о составлении плана как результата решения оптимиза-ционной задачи. Одновременно В. А. Базаров, выделяя требования к плану, отмечал необходимость плавного изменения показателей, согласованности элементов системы, кратчайшего пути к цели. На методических разработках Базарова и Струмилина базиро-вался первый годовой план страны 1925 г. В 1930-х гг.профессором Массачусетского технологического института В. Леонтьевым введены основы экономико-математических
моделей «затраты—выпуск» для изучения межотраслевых связей.
Становление современного математического аппарата оптимальных экономических решений началось в 1940-е гг., благодаря первым работам Н. Винера, Р. Беллмана, С. Джонсона, Л. В. Канторовича. В 1938 г. перед двадцатипятилетним профессором ЛГУ
Л. В. Канторовичем была поставлена задача: как наилучшим образом распределить работу восьми станков фанерного треста при условии, что известна производительность
каждого станка по каждому из пяти видов обрабатываемых материалов. В 1939 г. выдающийся советский математик и экономист опубликовал работу «Математические
методы организации и планирования производства», в которой впервые сформулировал задачу линейного программирования и разработал алгоритм ее решения. В 1975 г.
совместно с американским ученым Т. Купмансом Канторович получил Нобелевскую премию за вклад в теорию оптимизации распределения ресурсов.
В годы, когда применение математических методов в экономике СССР считалось круп-ной методологической ошибкой, их роль и значение недооценивались, они начали с
конца 1940-х гг. интенсивно развиваться в США в рамках исследований операций, прежде всего, в военной области, например, оптимальное развертывание боевой авиации, макси-мизирующее шансы страны на победу в войне, и др. Исторически общая задача линейного программирования ставится в 1947 г. Дж. Данцигом и М. Вудом в департаментеВВС США. Данцигом предлагается универсальный алгоритм решения задач линейного программирования, названный им симплекс-методом. В 1941 г. Хичкок и независимо
|
|
|
от него Купманс в 1947 г. формулируют транспортную задачу, Стиглер в 1945 г. — задачу о диете. В 1952 г. было проведено первое успешное решение задачи линейного прог-
раммирования на ЭВМ «Seact> в Национальном бюро стандартов США. С этого же периода наблюдается интенсификация исследований в трудах Гасса, Баранкина и Дор-
фмана (квадратичное программирование), Беллмана и Дрейфуса (нелинейное программ-мирование).
В 1 9 5 0 - 1 9 6 0 - х гг. появляются значительные работы в области экономико-математического моделирования и у нас, в том числе: «Экономический расчет наилуч-шего исследования ресурсов» Л. В. Канторовича (1959); «Применение математических методов в вопросах анализа грузопотоков» Л. В. Канторовича, М. К. Гавурина (1949); работы, В. В. Новожилова по оптимальному планированию народного хозяйства. В 1960 г. академик В. С. Немчинов при Новосибирском отделении АН СССР создает лабораторию
экономико-математического моделирования, в Киеве организуется институт кибернетики, возглавляемый академиком В. М. Глушковым.
В наше время исследование операций применяют к определенному классу задач, связанному со сложными организационными структурами современного общества. Наша
естественная склонность ставить и решать подобные задачи проявляется в выражениях типа «с наименьшими затратами», «максимальная прибыль», «полная отдача» и т. п.
Сюда относятся задачи наиболее эффективного управления предприятием, распределения ресурсов, управления технологическими процессами, создания оптимальных конструк-ций, управления грузопотоками, персоналом и многие другие. Эти задачи возникают не только в промышленности, но и в повседневной жизни каждого человека. Например, задача программирования утреннего одевания*. Мы должны выбрать программу дей-ствий, которая позволит одеться так, чтобы выполнялись определенные ограничения или общепринятые правила. Время — основной ресурс, и выбранная программа должна быть наилучшей в том смысле, в каком каждый понимает расход утреннего времени. Если
|
|
|
программа включает шесть предметов одежды: ботинки,носки, брюки, рубашку, галстук, пиджак, то программа —любой порядок, в котором можно надеть эти предметы. Всего в этом случае существует 6! = 720 различных программ. Многие из них недопустимы (нос-ки поверх ботинок, галстук под рубашку) и, если их отбросить, все равно остается нес-
колько допустимых программ, которые нужно исследовать. Как же выбрать окончатель-ное, оптимальное решение? В этой или любой другой задаче, где необходимо анали-зировать все возможные варианты решений и выбрать единственный оптимальный, имеется некая основная цель, позволяющая сравнивать эффективность этих допустимых
вариантов (программ действий). Если мы сможем как-нибудьсравнить меры этих прог-рамм, то тем самым можем выбрать и оптимальную. Если эта мера — затраты времени,
то оптимальная программа утреннего одевания: носки, рубашка, брюки, галстук, ботинки, пиджак — минимизирует время на одевание без нарушения общепринятых ограничений.
Но может быть и другая мера — минимизация утреннего шума — как можно меньше открывать и закрывать дверцы и шкафчики. Тогда будет и другое оптимальное
решение.
Задачи математического программирования существуют только тогда, когда имеется много допустимых решений (два и более). Если допустимое решение единственное, не возникает никакой проблемы по его поиску. Постановки задачи поиска оптимального решения известны еще из древности. Например, при изготовлении самого простого кувшина объективно требуют решения такие вопросы. Какой формы должен быть кувшин, чтобы при использовании имеющегося количества глины его объем был максимальным? Глина имеет некоторую стоимость, тогда — другая постановка вопроса. Какую выбрать форму, чтобы при заданной стоимости глины объем кувшина был макси-мальным? Или: какой формы должен быть кувшин заданного объема, чтобы стоимость его была минимальной? Такая же постановка задачи сохраняется независимо от того, что будут изготавливать спустя тысячелетия. Иными словами, существует одна из двух задач принятия решений, например, в проектировании оптимальных конструкций— сделать изделие:
1- с заданными свойствами минимальной стоимости;
2- заданной стоимости с максимальными свойствами.
Неоптимальное решение этих задач приводит к излишним затратам сырья и времени. Допустим, что при интуитивном распределении людей на работы возможность их
|
|
|
использования по сравнению с оптимальным вариантом, рассчитанным на компьютере, ухудшается всего на 3 %. Казалось бы, очень небольшая погрешность, на которую
можно и не обратить внимания. Такая погрешность означала бы, например, в гончарном цехе прошлых веков с 30 работниками неполную загрузку в течение рабочего дня лишь одного из них. А в наши дни, если принять за число занятых в народном хозяйстве 100 млн. человек, такая же погрешность может явиться причиной сокращения числа рабо-
чих мест почти для 3 млн человек.
1.2 ЭТАПЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
Чтобы менеджеру принять управленческое решение без компьютера, зачастую ничего не надо. Возникла в производстве ситуация, требующая своего разрешения, т. е. принятия
менеджером соответствующего решения, он подумал и принял его. Правда, без гарантии оптимальности (т. е. правильности). Компьютер же никаких решений не принимает,
а только подготавливает их для принятия менеджером. Что нужно сделать, чтобы найти такие варианты решений (рис. 1)? Разработку любой модели оптимизации можно приблизительно разбить на 5 стадий, частично перекрывающих друг друга и не имеющих четких границ.
1. Постановка (формулировка) задачи.
2. Разработка математической модели изучаемой системы.
3. Отыскание решения с помощью этой модели.
4. Проверка данной модели и решения.
5. Уточнение решения на практике.
При постановке задачи проводится предпроектное обследование объекта модели-рования, формулируется цель решения, ограничения, формы исходной и результатной
информации, порядок ее преобразования и использования и т. д. Порядок принятия реше-ний мы можем проследить по рис. 1. При разработке математической модели формали-зуется цель решения, с которой увязываются переменные величины и наличные ограни-чения, оценивается число возможных (допустимых) вариантов решения.
Собственно решению на ЭВМ предшествует разработка алгоритма — формализованной последовательности действий по реализации модели (блок-схем решения задачи),по которой разрабатывается программа решения задачи на ЭВМ или подбирается готовый программный продукт. Далее сравнивается полученное решение с реальной действии-тельностью, чтобы выяснить, действительно ли решена реальная задача, все ли пере-менные в модели учтены, все ли ограничения формализованы, все ли изменения объекта
внесены в модель и т. д. Особенно важным на этих этапах представляется выбор цели решения. Например, установка зениток на торговыхсудах в Атлантике во время Второй мировой войны. Из 25 вражеских самолетов сбивали один, что не окупало установку
орудий. Но после установки зениток потопляемость судов уменьшилась в 2,5 раза. Так ставить зенитки или нет? А если ставить, то какая при этом должна быть цель — сбивать самолеты или сохранять свои суда? Хорошую модель, достаточно полно отражающую реальный моделируемый объект, составить непросто. По словам Беллмана, «если мы попытаемся включить в нашу математическую модель слишком много черт действии-тельности, то захлебнемся в сложных уравнениях, содержащих неизвестные парамет-
ры и неизвестные функции. Определение этих функций приведет к еще более сложным уравнениям с еще большим числом неизвестных параметров и функций и т. д. Если
же, наоборот, оробев от столь мрачных перспектив, построим слишком упрощенную модель, то обнаружим, что она не определяет последовательность действий так, чтобы удовлетворять нашим требованиям. Следовательно, Ученый, подобно Паломнику, должен идти прямой и узкой тропой между Западнями Переупрощения и Болотом Переуслож-нения». Для обеспечения успеха моделирования надо выполнить
три правила, которые, по мнению древних, являются признаками мудрости.
1. Отделить главные свойства моделируемого объекта от второстепенных.
2. Учесть в модели главные свойства объекта.
3. Пренебречь его второстепенными свойствами.
Модель — это условное представление действительности. Степень соответствия может быть различной, и проблема заключается в том, чтобы, выбирая уровень упрощения ре-
альной ситуации, оставить основные влияющие факторы и соотношения между ними. По этому поводу рассказывают, что академик С. А. Чаплыгин, будучи в свое время науч-
ным руководителем Центрального аэрогидродинамического института, не утвердил в смете расходы на продувку в аэродинамической трубе петуха. Причина его решения
была лаконично проста: «Петух не летает». Для экономических оптимизационных задач можно сформулировать ряд обязательных требований.
1.- Экономические задачи должны ставиться и решаться количественно, путем объективного расчета.
2.-. Экономические задачи выбора рассматриваются как экстремальные.
3.- Функционирование экономики в целом, предприятия и его отдельного подраз-деления должно оцениваться по некому критерию.
4.- Лучший вариант приходится выбирать в условиях ограниченности ресурсов.
1.3. КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ
Во всех сферах человеческой деятельности большое место занимает принятие решений. Для постановки задачи принятия решения необходимо выполнение двух условий:
1) должно быть много решений;
2) вариант должен быть выбран по определенному принципу.
Очевидно, что если нет хотя бы двух возможных вариантов решения, то выбирать нечего и задача принятия решения отсутствует. Так, если предприятию задан план, устанав-
ливающий номенклатуру и количество выпускаемой продукции, то задачи определения плана нет, так как план задан. Известны два принципа выбора: волевой и критериальный.
Волевой выбор, наиболее часто используемый, применяют при отсутствии формализо-ванных моделей как единственно возможный. Критериальный выбор заключается в принятии некоторого критерия и сравнении возможных вариантов, соответствующих
критерию. Вариант, для которого выбранный критерий принимает наилучшее решение, называют оптимальным (от лат. optimus), а задачу принятия наилучшего решения — задачей оптимизации. Решение не может быть оптимальным вообще, во всех смыслах, а только в одном, единственном смысле, определяемом выбранным критерием. Критерий оптимизации называют целевой функцией, функцией цели, функционалом и др. Любую задачу, решение которой сводится к нахождению максимума или минимума целевой функции, называют задачей оптимизации. Задачи менеджмента чаще всего связаны с
нахождением условного экстремума целевой функции при известных ограничениях, накладываемых на ее переменные. В качестве целевой функции при решении различных
оптимизационных задач принимают количество или стоимость выпускаемой продукции, затраты на производство, сумму прибыли и т. п. Ограничения обычно —ресурсы:людские, материальные, денежные. Можно показать, что оптимизационные задачи менеджмента,
различные по своему содержанию и реализуемые с использованием стандартных прог-раммных продуктов, соответствуют тому или иному классу экономико-математических
моделей. Классификацию некоторых основных задач оптимизации, реализуемых менед-жментом на производстве, можно выполнить по следующим признакам: функция
управления; состав оптимизационных задач; класс экономико-математических моделей (табл. 1). Другой важный признак систематизации — классификация моделей по ее эле-ментам: исходным данным, искомым переменным, зависимостям, описывающим цель задачи (моделирования) и ограничения (рис. 2). В зависимости от исходных данных выделяют 3 типа математического описания задач управления: детерминированные,
вероятностные и задачи в условиях неопределенности. Исходные данные, которые заданы определенными величинами, называют детерминированными. Детерминированные задачи формулируются в условиях полной определенности о значениях используемых параметров, составе и виде влияющих ограничивающих условий. Такое описание имеет однозначность при математическом представлении и позволяет получить однозначное решение. В детерминированной задаче всегда известно, что стратегия действий А при-ведет к результату а, а стратегия действий В — к результату б. Остается только опре-делить, какой результат имеет большую полезность, чтобы выбрать лучшую из двух стратегий. Исходные данные, которые зависят от ряда случайныхфакторов, называют случайными величинами. Например, имеющееся наличие ресурсов зависит от своевре-менности их поставки, производительность оборудования — от его исправности и т. д. Вероятностные, или, как их еще называют, стохастические задачи, включают в своей постановке задачи параметры, задаваемые в виде случайных величин, для которых известны вероятности достижения возможных значений. Такие задачи называют также задачами с риском, и их решение формулируется как конкретные результаты с вероят-
ностной оценкой каждого из них. Заметим, что детерминированные задачи можно рассматривать как предельный вариант задач с риском, в которых вероятность появления значений используемых параметров равна единице. Оценки вероятностей бывают объек-тивными и субъективными. Объективные вероятности получаются путем определения
отношения числа интересующих нас событий к общему числу наблюдаемых событий.
Задачи в условиях неопределенности возникают в ситуациях, когда нет предварительной вероятностной оценки возможных будущих ситуаций или значений параметров, их харак-теризующих. В подобных задачах используют своеобразный подход для описания оценки предпочтительности управленческих стратегий. Оценка МАКСИМИН предполагает
предпочтительность стратегии действий, у которой достигается максимально полезный результат при наиболее неблагоприятном развитии событий. Оценка МИНИМАКС ориентирует на выбор стратегии, требующей наименьших расходовпри наиболее неб-лагоприятном развитии событий. Переменные величины могут быть непрерывными и дискретными. НЕПРЕРЫВНЫЕ величины могут принимать в заданном интервале любые значения (например, процентное содержание элементов в марке материала). ДИСКРЕТНЫЕ, или ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ, принимают только целые значения
(например, нельзя ввести в эксплуатацию 1,5 здания). Зависимости между элементами могут быть линейными инелинейными. ЛИНЕЙНЫМИ называют зависимости, в которые входят переменные в первой степени и нет их произведения. Если входят переменные не в первой степени или есть произведение переменных, то зависимости называют НЕЛИНЕЙНЫМИ. Сочетание различных элементов модели приводит к различным классам задач оптимизации, которые требуют разных методов решения, следовательно, и разных программных средств (табл. 2). В задачах дробно-линейного программирования целевая функция — отношение двух линейных функций, а функции,
определяющие область возможных изменений переменных,также линейны. В отдельные разделы выделены задачи динамического и стохастического программирования. Задача динамического программирования — задача, процесс нахождения решения которой яв-ляется многоэтапным. Если в целевой функции или в функциях, определяющих об-
ласть возможных изменений переменных, содержатся случайные величины, то такую задачу относят к стохастическому программированию.
1.5. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Задание 1. Что подразумевается под следующими понятиями: целевая функция, цело-численные переменные, допустимое решение? Назовите основные классификационные
признаки экономико-математических моделей. На какие группы классифицируются эко-номико-математические модели в зависимости от свойств целевой функции и ограни-чений? Сформулируйте математическую постановку экстремальнойзадачи в общем виде.
Задание 2. Сформулируйте математическую постановку задачи распределения. Есть ограниченное количество средств, которое предполагается использовать для подготовки жилищно- коммунального хозяйства к зиме. Необходимо распределитьэти средства на контроль и ремонт тепловых сетей, отопительного оборудования в домах и ТЭЦ, утеп-ление домов и прочее, так, чтобы вероятность нарушения теплоснабжения в течение отопительного сезона была минимальной. Ответ —в виде вектора оптимального распределения средств.
Задание 3. Сформулируйте математическую постановку задачи выбора. Для строительства здания необходимовыбрать генерального подрядчика из нескольких строительных фирм так, чтобы обеспечить качество и сроки строительства не ниже заданных и выполнить строительство заи минимальные сроки и с минимальными затратами. Ответ —наименование организации.
Задание 4. Сформулируйте математическую постановку задачи размещения. Необхо-димо построить торговый центр, и известны несколько вариантов его размещения. Необходимо выбрать такой вариант, чтобы стоимость доставки товаров от оптовых складов была минимальной, торговый оборот — максимальным, а стоимость строи-тельства не превышала бы заданной величины. Ответ — в виде координат строительства.
Задание 5. Сформулируйте математическую постановку задачи распределения затрат. В регионе ремонтируются дороги, которыми будут пользоваться несколько фирм.
Необходимо так распределить затраты между заинтересованными фирмами, чтобы ни одна из них не отказалась участвовать в финансировании ремонта. Ответ — вектор
распределения затрат.
Задание 6. Сформулируйте математическую постановку задачи дележа. Работодатель нанимает группу служащих. На какую оплату своего труда они могут согласиться и каким образом должны распределить совокупный доход между собой? Ответ — вектор дележа.
|
|
|
