Основные теоретические положения.

ВВЕДЕНИЕ

Экспериментальные исследования подразделяются на натурные и модельные. Натурные исследования проводятся на действующем объекте и позволяют получать наиболее полные и надежные характеристики объекта. Модельные исследования проводятся на специально создаваемых стендах – экспериментальных установках, и позволяют детально изучить отдельные процессы, протекающие в реальных объектах.

Исследования на моделях проводят с учетом правил моделирования /подобия/. При выполнении этих правил осуществляется физическое моделирование. Процессы различной физической природы, которые описываются математически тождественными уравнениями и условиями однозначности, называются аналогичными. Такая аналогия существует, например, между явлениями теплопроводности и диффузии. К исследованиям по методу аналогий прибегают тогда, когда удается подобрать процесс, который существенно легче осуществить экспериментально, чем натурный, и в котором измерения проводятся с большей точностью.

 

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

 

Процесс теплопроводности в области G_T (x,y,z) имитируется прохождением электрического тока в геометрической подобной электропроводящей области G_э (x,y,z). На границах области G_э (x,y,z) организуется подвод электрического тока I или задаются электрические потенциалы u с соблюдением подобия в краевых условиях модели и натурного образца.

Явления теплопроводности и электропроводности описываются уравнениями:

(1)

где dQ и dI – элементарные потоки теплоты и электрического тока, прошедшие через площадки dF_T и dF_э в направлении нормалей n_T и n_э; Т и u – температура и электрический потенциал; l и s - коэффициенты теплопроводности и электропроводности, индексы «Т» и «Э» отмечают величины, относящиеся к тепловым и электрическим явлениям.

Применение указанных уравнений к случаю двумерной задачи при стационарных условиях протекания процессов и независимости физических свойств l, s от температуры приводит к уравнениям Лапласа

(2)

Пусть граничные условия (третьего ряда) задаются в виде:

- grad T = - grad u = (3)

Введем безразмерные величины:

X_Т = x_Т /l_от, Y_T = y_T/l_от, L_T = l_T/ l_от, q = DT/DT₀,

Где величины с индексом о являются характерными для данного процесса. Такие же соотношения вводятся и для величин, относящихся к электрическому явлению.

После постановки этих соотношений уравнения (2) и граничные условия (3) принимают безразмерный вид:

, , (4)

- grad q = q/L_T, - grad u = u/L_э. (5)

Тождественность приведенных уравнений имеет место при любом выборе масштабов для температуры и электрического потенциала. Решения дифференциальных уравнений теплопроводности и электропроводности (4) тождественно одинаковы при условии L_T = L_э.

Из этого условия выходит, что q_i = u_i, следовательно:

(6)

т.е. распределение температуры и электрического потенциала подобны и имеет место аналогия.

При исследовании нестационарных процессов для одномерных областей исходные уравнения имеют вид:

, (7)

где R_э и С_э электрические сопротивление и емкость на единицу длины. Из сравнения этих уравнений следует, что аналогия устанавливается, если выполняется условие:

Изменение теплового потока пропорционально теплоемкости системы и изменению температуры

Следовательно, в модели теплоемкости могут быть воспроизведены соответствующими электрическими емкостями.

При описании электрических моделей, имитирующих процессы теплопроводности, применяются два способа. По первому способу электрические модели повторяют геометрию тепловой системы и изготовляются из материала с непрерывной электропроводностью.

Наряду с такими моделями применяются электрические модели с электрическими цепями (сопротивлениями, емкостями), которые используются при описании наиболее сложных явлений, как правило, нестационарных.

Если область G_T(х,у) выполнена из материалов с различными значениями l, то область G_T(х,у) изготавливают составной. Части областей с различными l моделируют либо несколькими слоями из одного и того же материала, либо слоями из различных материалов с соблюдением пропорциональности между l и s.

Термические сопротивления теплоотдачи (внешние) на поверхностях исследуемой системы учитываются путем добавления к электрической модели дополнительных слоев или сопротивлений R_Э.

НАХОЖДЕНИЕ ДВУМЕРНОГО СТАЦИОНАРНОГО ПОЛЯ ТЕМПЕРАТУР В ПОПЕРЕЧНОМ СЕЧЕНИИ ОБРАЗЦА.

Пусть на наружном контуре образца (рис.1) задано распределение температуры Т (S ), на внутреннем контуре происходит конвективный теплообмен с теплоносителем со средней температурой Т₊. Задано распределение местных коэффициентов теплоотдачи . Необходимо определить температурное поле внутри образца Т (х,у).

Рис. 1. Электромоделирование поля температуры

а) двумерная тепловая область с симметрией;

б) электропроводная область из листового материала

Из листового проводящего материала вырезается область G_э(х,у) геометрически подобная область G_T(х,у). Масштаб выбирается из соображения удобства. Наружный и внутренний контуры модели разбиваются на участки S и S , на которые накладываются электрические шины. При сложном изменении граничных условий производится разбиение на мелкие участки, а на участках с постоянными граничными условиями накладываются шины большего размера. На участках наружного контура D S задаются потенциалы, соответствующие температурам Т(S ).

Пересчет температур на потенциалы производится по формуле:

, (8)

где Т_max и u_max – максимальная из температур Т(S ) и соответствующая ей потенциал в сходственном участке, u_f – потенциал, соответствующий температуре Т_f.

К участкам внутреннего контура присоединяются сопротивления R_э, значения которых определяются из соотношения:

, (9)

где и характерные (обычно максимальные) размеры областей G_T(x,y) и G_э(x,y).

Формула (9) находится из равенства чисел Био для тепло- и электропроводных областей.

Безразмерные потенциалы U = (u-u_t)/(u_max-u_t) равны безразмерным температурам Q = (T-T_f)/(T_max-T_f), в сходственных точках Х = х_Т/L_T = x_э/L_Т и Y = Y_T/ L_T = Y_э/ L_э.

Из этих соотношений можно найти искомую температуру:

(10)

 

При симметрии температурного поля моделируют часть области G_T(x,y), отделяемой от остальной по линиям симметрии (рис.1). Поверхности по линиям симметрии являются адиабатными.

ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

Экспериментальная установка состоит из исследуемой модели 1 (в данном случае приведена модель резца), изготовленной из электропроводного материала; координатного устройства 2 с зондом 3 для снятия потенциалов различных точек модели, двухкоординатного потенциометра 4, блока сопротивлений 5 и источника питания 6.

Напряжение от источника питания 6 подается в блок сопротивлений 5. Подвод и отвод теплоты определенной величины к разным участкам образца моделируется подключением шинам к соответствующим участкам напряжения источника питания положительной или отрицательной полярности через определенные сопротивления блока 5. Распределение потенциалов на модели 1 снимается зондом 3 и фиксируется потенциометром 4.

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: