 |
Программа экзамена по дисциплине
|
|
|
|
Программа дисциплины «Современные проблемы науки и образования»
Модуль 1. Наука. Место математики в системе наук. Математические методы познания.
Наука как одна из форм общественного сознания. Объект и предмет науки. Структура науки. Классификация наук. Современное состояние математики как науки. Математика в системе наук.
Классические и современные представления о предмете математики. Характерные черты математики как науки. Противоречия как движущие силы математики. Источники нового в математике: практика, внутренние потребности самой математики, необходимость обоснования математики.
Архитектура математики. Предмет и метод отдельных математических дисциплин.
Математика и религия. Математика и искусство. Математика и идеология. Математика и право.
Математическое моделирование как сверх метод математики. Понятия и свойства математической модели. Основные этапы конструирования математической модели. Роль математического моделирования в развитии науки. Специфика математического моделирования на современном этапе. Основные виды математических моделей: дескриптивные модели, оптимизационные модели, многокритериальные модели, игровые модели, имитационные модели.
Абстрагирование в математике. Понятие математического абстрагирования. Виды математических абстракций: абстракция отождествления, идеализации, абстракции осуществимости. Бесконечность в математике. Особенности математических абстракций.
Аксиоматический метод в математике. Общая характеристика аксиоматического метода. Содержательная и полуформальная аксиоматические теории. Метод интерпретации. Формальная аксиоматическая теория.
|
|
|
Модуль 2. Современные проблемы математики
Фрактальная геометрия.
История возникновения и развития фрактальной геометрии. Бенуа Мандельброт – создатель фрактальной геометрии. Проблема вычисления протяженности побережья Британии как геометрическая проблема.
Самоподобные геометрические объекты. Различные определения фрактала. Виды фракталов: геометрические (триадная кривая Кох, снежинки Кох, салфетка и ковер Серпинского, дракон «Хартера-Хейтуэя», губки Менгера, фрактал Кантора, фрактальные кривые Пеано, дерево Пифагора), алгебраические (множество Мандельброта, множество Жюлиа), стохастические.
Обобщение понятия размерности (координатная, топологическая, фрактальная). Фрактальная размерность (размерность Хаусдорфа-Безиковича, размерность самоподобия). Примеры вычисления размерности Хаусдорфа-Безиковича (размерности самоподобия) геометрических фракталов.
Итерации линейных систем. Системы итерируемых функций. Метод случайных итераций, или игра в хаос. Игры с поворотами. Сжимающие аффинные преобразования.
Теория кос и узлов.
Основные понятия теории узлов: узел, развязывание узла, тривиальный узел, полигональные узлы, плоская и сферическая диаграммы узла, зацепление, изотопные (эквивалентные) узлы, плоская изотопия диаграммы, типы узлов.
Проблема распутывания узла. Элементарные изотопии. Примеры распутывания узла при помощи элементарных изотопий (узел «лестница Иакова»). Алгоритм Рейдемейстера (достоинства и недостатки). Теорема Рейдемейстера. Примеры распутывания узла при помощи алгоритма Рейдемейстера. Алгоритм полного перебора с запоминанием. Примеры кодирования узла при помощи алгоритма перебора с запоминанием, возможности его использования в компьютерных программах. Алгоритм Ивана Дынникова.
Проблема сравнения узлов. Инвариант узла. Полный инвариант узла. Примеры инвариантов узла: минимальное число скрещиваний узла, «изломанность» узла, «кондитерское число» узла, полином Конвея (полином Александера-Конвея). Примеры вычисления инвариантов узлов и зацеплений.
|
|
|
Арифметика узлов. Группа узлов. Таблица диаграмм узлов.
Основные понятия теории кос: математическая коса, виды кос (тривиальная, девичья, крашенная, циклическая и др.). Теорема Александера. Алгебра кос. Группа кос.
Значение теории узлов и кос для современной науки.
Модуль 3. Современные проблемы в области математического образования.
Глобализация в сфере образования. Система российского образования и концепция его модернизации. Инновационные процессы в современном образовании. Инновационная деятельность преподавателя в системе среднего, среднего профессионального, высшего образования.
Образовательные инновации в образовательной области «математика», критерии оценки их эффективности.
Мониторинг в математическом образовании, международные системы оценки качества математического образования.
Интеграция отечественной системы математического образования с мировым образовательным пространством.
Программа экзамена по дисциплине
«Современные проблемы науки и образования»
1. Наука как одна из форм общественного сознания. Объект и предмет науки. Структура науки.
2. Классификация наук.
3. Современное состояние математики как науки. Математика в системе наук.
4. Классические и современные представления о предмете математики.
5. Характерные черты математики как науки. Противоречия как движущие силы математики. Источники нового в математике: практика, внутренние потребности самой математики, необходимость обоснования математики.
6. Математика и религия.
7. Математика и искусство.
8. Математика и идеология.
9. Математическое моделирование как сверх метод математики. Понятия и свойства математической модели.
10. Основные этапы конструирования математической модели. Роль математического моделирования в развитии науки. Специфика математического моделирования на современном этапе.
11. Основные виды математических моделей: дескриптивные модели, оптимизационные модели, многокритериальные модели, игровые модели, имитационные модели.
|
|
|
12. Абстрагирование в математике. Понятие математического абстрагирования.
13. Виды математических абстракций: абстракция отождествления, идеализации, абстракции осуществимости.
14. Бесконечность в математике. Особенности математических абстракций.
15. Аксиоматический метод в математике. Общая характеристика аксиоматического метода.
16. Содержательная и полуформальная аксиоматические теории.
17.Метод интерпретации. Формальная аксиоматическая теория.
18. История возникновения фрактальной геометрии. Значение фрактальной геометрии.
19. Геометрические фракталы: триадная кривая Кох.
20. Геометрические фракталы: салфетка Серпинского.
21. Фрактал Кантора.
22. Фрактальная размерность. Примеры вычисления размерности фракталов.
23. Алгебраические фракталы: метод построения алгебраических фракталов.
24. Множество Мандельброта.
25. Основные понятия теории узлов.
26. Изотопные (эквивалентные) узлы.
27. Проблема распутывания узлов: алгоритм Рейдемейстера.
28. Проблема распутывания узлов: алгоритм Ивана Дынникова.
29. Проблема распутывания узлов: алгоритм полного перебора с запоминанием.
30. Проблема сравнения узлов.
31. Инварианты узлов.
32. Арифметика узлов.
33. Полином Конвея.
34. Примеры вычисления полинома Конвея.
35. Основные понятия и факты теории кос.
36. Алгебра кос.
37. Прямолинейные и топологические симплексы. Примеры.
38. Международное сравнительное мониторинговое исследование качества математического и естественнонаучного образования TIMSS.
39. Международное исследование образовательных достижений PISA.
40. Российская система оценки качества математического образования. Единый государственный экзамен по математике. Государственные образовательные стандарты.
41. Интеграция отечественной системы математического образования с мировым образовательным пространством. Болонский процесс: плюсы и минусы.
42. Система российского образования и концепция его модернизации.
43. Инновационные процессы в современном образовании. Инновационная деятельность преподавателя в системе среднего, среднего профессионального, высшего образования.
|
|
|
44. Образовательные инновации в образовательной области «математика», критерии оценки их эффективности.
Основная литература
1. Будущее фундаментальной науки: концептуальные, философские и социальные аспекты проблемы: [сборник]/РАН, Институт философии; отв. ред.: А. А. Крушанов, Е. А. Мамчур. - М.: КРАСАНД, 2011.
2. Чупахин Н.П. Методологическая культура научного поиска: Учебное пособие / Н. П. Чупахин. – Томск: Изд-во ТГПУ, 2013.
3. Ясницкий Л. Н. Современные проблемы науки: учебное пособие для вузов / Л. Н. Ясницкий, Т. В. Данилевич. – Москва: БИНОМ. Лаборатория знаний,
2011.
4. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.: Институт компьютерных исследований, 2002.
5. Сосинский А.Б. Узлы и косы. Серия: Библиотека «Математическое просвещение». М.:МЦНМО, 2001.
Дополнительная литература
1. Арнольд В.И. «Жесткие» и «мягкие» математические модели. М.:Изд-во МЦНМО, 2004.
2. Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.
3. Гнеденко Б. В. Введение в специальность математика. М. Наука, 1991.
4. Гнеденко Б.В. О математике. – М.: Эдиториал УРСС, 2000.
5. Кохановский В.П., Пржиленский В.И., Сергодеева Е.А. Философия науки. - Ростов –на-Дону, 2005.
6. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. М.- Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.
7. Новиков С.П. Математика на пороге XXI века // ИМИ. Вып.42. М.: Янус-К, 2002.
8. Ушаков Е. В. Введение в философию и методологию науки.: учебник для вузов/Е. В. Ушаков.-2-е изд., перераб. и доп.-М.: КНОРУС, 2008.
9. Чупахин Н.П. Культура научного поиска / Н.П. Чупахин. – М.: НИА «Наследие Отечества», 2010. – URL: http://www.viperson.ru – 08.02.2010.
|
|
|
