 |
Аналитическая геометрия на плоскости
|
|
|
|
Элементы линейной алгебры, векторная алгебра,
Аналитическая геометрия. Комплексные числа
Элементы линейной алгебры
1. 1. Матрица. Основные понятия. Матрицей А размера 
называется множество 
элементов расположенных в виде прямоугольной таблицы из 
строк и 
столбцов, имеющей вид:
.
Если 
, то А называется квадратной матрицей. Квадратные матрицы размера 
и 
называются матрицами второго и третьего порядка, соответственно.
Квадратная матрица, элементы главной диагонали которой единицы, а все остальные элементы нули, называется единичной:
, 
.
Матрица вида 
называется матрицей–столбцом.
Пусть даны две матрицы:
, 
.
1) Суммой (разностью) матриц А и В называется матрица, элементы которой равны сумме (разности) соответствующих элементов матриц
А и В:
.
2) Умножение матрицы на число. При умножении матрицы А на число 
, на это число умножаются все элементы матрицы:
.
3) Произведение матрицы А на матрицу В обозначается символом АВ и определяется равенством:
.
т. е. элемент матрицы произведения, стоящий в 
-й строке и 
-м столбце, равен сумме произведений соответственных элементов -й строки матрицы А и -го столбца матрицы 
. Например.
.
Необходимо знать, что 
(в общем случае), но в некоторых случаях равенство может иметь место. Например: 
.
1. 2. Определитель. Определителем второго порядка, соответствующим матрице 
называется число, вычисляемое по формуле:
.
Аналогично, определителем третьего порядка называется число, определяющееся равенством:
.
Минором 
элемента 
определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, который получится, если в исходном определителе вычеркнуть строку и столбец, содержащий данный элемент. Алгебраическим дополнением 
элемента называется произведение его минора на 
, где и 
номера строки и столбца, содержащих данный элемент. Например:
|
|
|
, тогда 
.
Пример 1. Даны матрицы
; 
; 
Найти матрицу 
и вычислить ее определитель.
Решение.
,
,
,
т. е. 
.
.
1. 3. Нахождение обратной матрицы.
Матрица 
называется обратной по отношению к матрице , если произведения 
и 
равны единичной матрице:
.
Пусть , тогда найдется по формуле:
,
где 
— определитель матрицы , а 
– алгебраическое дополнение элемента матрицы 
.
Если 
, обратная матрица не существует (не определяется).
Пример 2. Дана матрица 
. Найти ей обратную.
Решение. Вычисляем определитель матрицы:
.
Находим алгебраические дополнения элементов этого определителя:
, 
, 
,
, 
, 
,
, 
, 
.
Следовательно,
.
Проверка. Если обратная матрица найдена правильно, то должно выполняться равенство: 
.
.
1. 4. Решение систем линейных уравнений (СЛУ). Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
Эту систему можно записать в матричном виде: 
, где
, 
, 
.
1. 4. 1. Метод Крамера для решения СЛУ. Если 
, то система имеет единственное решение и находится по формулам:
, 
, 
,
где — определитель матрицы , а
, 
, 
.
1. 4. 2. Метод Гаусса для решения СЛУ.
Допустим, что 
(если 
, то изменим порядок уравнений, выбрав первым такое, в котором коэффициент при 
не равен нулю).
1 ШАГ. Делим уравнение (1) на 
; умножим полученное уравнение на 
и вычтем его из (2); затем умножим на 
и вычтем из (3). В результате приходим к системе:
2 ШАГ. Делим уравнение (5) на 
, умножаем полученное уравнение на 
и вычитаем его из (6). В результате система преобразуется к так называемому ступенчатому виду:
|
|
|
Из преобразованной системы все неизвестные определяются последовательно, начиная с 
.
4. 3. Матричный метод решения СЛУ. Пусть дана система . Домножим обе части данного выражения на слева, т. е. 
, так как , а 
, то придем к уравнению вида 
. Это и будет решением СЛУ.
Пример 3. Решить систему уравнений тремя способами:
Решение.
1) Метод Крамера. Запишем матрицу и столбец свободных членов :
, 
Решение данной системы найдем по формулам:
, 
, 
,
где 
,
,
,
Следовательно,
, 
, 
,
2) Метод Гаусса.
Умножим уравнения (а) на 3 и вычтем полученное уравнение из (б); затем умножим уравнение (а) на 4 и вычтем из уравнения (в), в итоге получим:
Разделим уравнение (д) на (-4); умножим полученное уравнение на (-5) и вычтем его из уравнения (е), получим:
Из последнего уравнения находим 
; далее, из второго
уравнения: 
; из первого: 
.
Итого 
, 
, 
.
3) Матричный метод.
, 
.
Решение данной системы найдем по формуле .
Найдем . Определитель матрицы мы уже знаем 
. Вычислим алгебраические дополнения для элементов определителя матрицы А.
, 
, 
,
, 
, 
,
, 
, 
.
.
,
значит решением данной системы будет , , .
Аналитическая геометрия на плоскости
2. 1. Прямая линия
Общее уравнение прямой
.
Две прямые 
и 
параллельны, если 
, перпендикулярны, если 
. Расстояние от точки 
до прямой вычисляется по формуле:
.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
.
Угол 
, отсчитанный против часовой стрелки от прямой 
, до прямой 
определяется формулой:
.
Условие параллельности двух прямых: 
,
Условие перпендикулярности: 
.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку 
, или уравнение пучка прямых:
.
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки 
и 
:
.
Угловой коэффициент прямой, проходящей через две точки: 
.
Уравнение прямой в отрезках на осях: 
.
Пример 1. Через точку 
провести прямые параллельно, перпендикулярно и под углом 
к прямой (АВ): 
.
Решение. Уравнения прямых, проходящих через точку 
:
,
.
Найдем угловые коэффициенты искомых прямых. Прямая (АВ) задана общим уравнением: . Выразив из него 
, получаем уравнение с угловым коэффициентом 
; 
.
|
|
|
1. 
.
Уравнение 
: 
или 
.
2. 
.
Уравнение 
: 
или 
.
3. Прямая 
образует с 
угол 
. Обозначим ее угловой коэффициент через 
и воспользуемся формулой
; 
=1. Имеем 
, так как искомое 
может совпадать с 
или 
.
1) 
; 
; 
.
2) 
; 
; 
.
Искомые прямые
: 
или 
.
: 
или 
.
Пример 2. 
; 
; 
вершины треугольника. Найти уравнения стороны АС, высоты, медианы, проведенных из вершины В, длину этой высоты, угол А.
Решение. 1)Прямая (АС) проходит через две точки
; 
;
(АС): 
или 
; 
.
2) 
(ВН): 
; 
; 
.
3) ВМ – медиана, М – середина АС,
; 
;
(ВМ): 
; 
; 
.
4) Длина высоты 
равна расстоянию от точки В до прямой АС
; 
(ед.).
5) 
; 
;
; 
.
.
Кривые второго порядка
Уравнение 
если А, В и С одновременно не равны нулю, задает на плоскости линию, которую называют кривой второго порядка.
Если В =0 кривая имеет ось симметрии параллельную координатным осям. Будем рассматривать только этот случай.
Выделяя полный квадрат относительно каждой переменной x и y, уравнение 
приводим к одному из следующих канонических видов:
1. 
– линии эллиптического типа:
– эллипс с центром 
полуосями а и b. 
Если 
то уравнение запишется в виде
– окружность с центром радиуса R.
2. 
– линии гиперболического типа:
– гипербола с центром вещественной полуосью – а, мнимой полуосью – b.
– сопряженная гипербола с центром вещественной полуосью – b, мнимой полуосью – а.
3. 
– линии параболического типа.
Здесь возможны четыре случая:
либо 
– параболы с вершиной 
, где 
.
В первом случае – ось симметрии параллельна оси 
, во втором – 
Если в уравнении знак “+”, ветви параболы направлены в положительном направлении оси симметрии, знак “–” — в противоположном.
Замечание. Возможны так называемые вырожденные случаи:
1) :
– точка 
.
– мнимый эллипс.
2) : 
или
– пара пересекающихся прямых: 
3) : 
или 
– пара мнимых прямых, пара параллельных прямых.
|
|
|
4. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
3.1. Координаты вектора.
Обозначим единичные векторы координатных осей соответственно 
, 
, 
. 
, 
, 
, 
. Любой вектор 
может быть единственным способом разложен на составляющие по координатным осям:
, 
, 
,
.
Числа 
, 
, 
проекции вектора на оси координат, называются координатами вектора 
в базисе 
.
3. 2. Основные действия с векторами.
Пусть 
, 
, – скаляр.
1°. 
Û 
, 
, 
.
2°. 
.
3°. 
.
4°. Длина (модуль) вектора: 
.
5°. Условие параллельности векторов: || 
Û 
.
6°. Чтобы найти координаты вектора надо из координат его конца вычесть координаты начала 
.
Пример. Найти длину вектора 
, если 
, 
.
Решение. По 6°: 
, 
. Его длина (4°): 
(ед).
3. 3. Скалярное произведение векторов есть число, вычисляемое по формуле:
.
Угол между векторами:
Условие перпендикулярности векторов: 
Û 
Û 
.
Проекция вектора на направление : 
.
Пример. Найти угол между векторами 
; 
.
Решение. Находим 
; 
,
; 
,
.
3. 4. Векторное произведение.
Векторным произведением на 
называется вектор 
, удовлетворяющим трем условиям
1. 
,
2. 
; 
,
3. 
образуют правую тройку, т. е. с конца вектора вращение от к , по наименьшему углу, выглядит против часовой стрелки.
Обозначают 
.
Обратите внимание, 
.
— модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах.
Если известны координаты сомножителей, то
.
Пример. Построить векторы , , 
.
; 
. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах.
Решение. Найдем вектор 
.
.
Сделаем чертеж.
На векторах и , как на сторонах, строим параллелограмм ОАВD. Его площадь численно равна 
, т. е. длине вектора 
.
;
Площадь параллелограмма 
.
3. 5. Смешанное произведение трех векторов есть число
.
В координатной форме:
.
Модуль смешанного произведения 
— численно равен объему параллелепипеда, построенного на векторах 
, как на сторонах.
Смешанное произведение имеет знак плюс, если тройка векторов — правая, минус, если тройка левая.
Условие компланарности векторов. Векторы компланарны (лежат в одной плоскости) тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю, т. е.
.
3.6. Разложение вектора по базису.
Любые три вектора , , , не лежащие в одной плоскости, могут быть приняты за базис в 
. Всякий вектор 
может быть разложен по этому базису, т. е. представлен в виде 
.
Пример. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах
; 
, 
.
Решение. Найдем смешанное произведение
,
Объем 
Пример. Убедиться, что векторы 
не лежат в одной плоскости, написать разложение вектора 
по векторам 
если
|
|
|
; 
; 
; 
.
Решение. 1) Проверяем условие компланарности для векторов .
не лежат в одной плоскости и могут быть приняты за базис.
2) Разложим вектор по векторам 
:
.
Чтобы найти 
запишем это равенство для каждой координаты
Решив систему уравнений любым известным способом, находим 
; 
; 
. Значит, 
.
3. 7. Плоскость и прямая в пространстве
1. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости есть уравнение первой степени относительно 
:
.
Вектор 
перпендикулярен к плоскости.
2. Если плоскость проходит через точку 
, то ее уравнение
.
3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки 
,
, 
:
4. Расстояние от точки до плоскости находится по формуле
Пример. Найти расстояние до плоскости, проходящей через точки 
, 
, 
, от начала координат.
Решение. Составим уравнение плоскости
,
; 
.
Расстояние от начала координат 
до плоскости
.
5. Общие уравнения прямой записываются как линия пересечения двух плоскостей:
если 
и 
не коллинеарны.
6. Канонические уравнения:
–прямая, проходящая через точку 
в направлении 
.
7. Прямая, проходящая через две данные точки
8. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей, прямых, прямой с плоскостью определяются соотношениями направляющих векторов 
и 
. Например, если плоскости параллельны, то 
, если прямая параллельна плоскости, то 
и т. п.
Пример. Через точку 
провести прямую, перпендикулярно плоскости 
.
Решение. Воспользуемся каноническими уравнениями прямой 
, так как его длина несущественна, можно взять 
. Имеем 
: 
.
Пример. Точки 
, 
, 
, 
являются вершинами пирамиды. Вычислить 1) длину ребра 
; 2) угол между ребрами и 
; 3) площадь грани 
; 4) Объем пирамиды; 5) уравнения прямой ; 6) уравнение плоскости ; 7) уравнение высоты, опущенной из вершины 
на грань ; 8) длину этой высоты.
Решение. Найдем координаты векторов — ребер:
.
, 
,
.
1) Длина вектора 
.
2) 
,
,
Скалярное произведение: 
,
,
.
Из таблиц (или с помощью калькулятора) находим 
.
3) Площадь грани .
Векторное произведение
;
, 
4) Объем пирамиды 
.
Смешанное произведение
,
.
5) Уравнения прямой 
пишем как уравнение прямой, проходящей через две точки:
; 
;
.
6) Уравнение плоскости по трем точкам:
.
; 
;
. 
7) Уравнение высоты 
. Канонические уравнения прямой:
.
Прямая проходит через точку 
, в качестве направляющего вектора возьмем вектор — нормаль к плоскости .
8) Длина высоты может быть найдена как расстояние т. от плоскости
или
; 
.
Комплексные числа
4.1. Комплексным числом называется выражение вида:
,
где 
и — любые действительные числа, а — так называемая мнимая единица, удовлетворяющая условию
.
Числа и называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа 
.
Комплексные числа можно представлять точками 
плоскости 
или же векторами 
этой плоскости.
4. 2. Длина 
вектора называется модулем комплексного числа и обозначается через 
, так что 
.
Угол
