Функции нескольких переменных. Интегралы.
Материал выставлен на странице кафедры математики http://www.swsu.ru/structura/up/fivt/kvm/student_mathematical_olympiads.php В подготовительном этапе олимпиады могут принимать участие все студенты 1-2 курсов. Решения можно сдать Федоровой Н.Б. или своему преподавателю до 20 декабря. 15 декабря будут выложены указания к решениям. Решения предложенных задач будут доступны 21 декабря. Наиболее активные участники первого этапа будут приглашены в математический кружок по решению олимпиадных задач с целью подготовки к Всероссийским и Международным математическим олимпиадам. Участие в работе математического кружка дает возможность получить 3-6 дополнительных баллов в модульно-рейтинговой системе. Участие в олимпиадах также дает дополнительные баллы: в международных – 10; в республиканских – 8; вузовских – 6 баллов. За призовые места добавляется ещё 4 балла. Алгебра 1.1. Найти , где Е – единичная матрица второго порядка, т.е. решить матричное уравнение Х2 = Е.
1.2. Построить график функции . 1.3. Вычислить: .
1.4. Найти наименьшее , при котором выполняется равенство: . 1.5. Доказать, что матричное уравнение , не имеет решений среди матриц с действительными элементами.
1.6. Изобразите на плоскости aOb множество точек (a,b), для которых система имеет более одного решения и найдите эти решения.
1.7. Докажите, что квадратная матрица второго порядка с положительными элементами имеет собственный вектор с положительными координатами.
1.8. Доказать, что для любого действительного числа α . При каких α достигается знак равенства?
2. Геометрия.Векторная алгебра и аналитическая геометрия
2.1. Определить вид треугольника АВС, если
а) , б) в)
2.2. Известно, что и . Докажите, что 1) среди векторов нет ни одной пары коллинеарных; 2) вычислите значение выражения: .
2.3. К вершине куба приложены три силы, равные по величине 1, 2, 3 и направленные по диагоналям граней куба, выходящим из этой вершины. Найти величину равнодействующей этих сил и углы, образуемые с составляющими силами.
2.4. В пирамиде SABC AS = a, BC =b, угол между векторами равен φ. Найти расстояние между серединами ребер АВ и CS.
2.5. Под действием некоторой силы точка двигалась по окружности . Действие силы прекратилось в тот момент, когда точка занимала положение А(2;1). Определить дальнейшую траекторию точки.
2.6. Парабола пересекает окружность в точках А и В. Найти значение параметра , если ΔОАВ (О – начало координат) – правильный.
2.7. В треугольнике АВС точка Н – точка пересечения высот, О – центр опи- санной окружности, М – середина ВС, F – основание высоты, проведенной из вершины А. Прямоугольник HOMF имеет стороны НО = 11 и ОМ = 5. Найти длину ВС.
Пределы.
3.1. Найдите пределы функций: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
3.2. Найдите n из уравнения .
3.3. Докажите, что последовательность (xn), заданная формулами: , имеет предел и найдите его.
Функция. Производная функции и её приложения.
4.1. Для многочлена n-ой степени Р(x) известно, что . Докажите, что корни уравнения Р(x) = 0 не превосходят а.
4.2. Найдите если .
4.3. Фигура ограничена линиями: , , . В какой точке графика функции нужно провести к нему касательную так, чтобы она отсекала от фигуры трапецию наибольшей площади? 4.4 Пусть f(x), - заданная дифференцируемая функция. Докажите, что уравнение имеет хотя бы один корень.
4.5. Найдите наименьшее значение функции .
4.6. Найдите наименьшее значение ординаты середины отрезка длины а, кон- цы которого расположены на параболе .
Функции нескольких переменных. Интегралы. 5.1. Найдите кратчайшее расстояние между поверхностью и плоскостью .
5.2. При каких значениях параметра а производная функции z = x2 + y2 в точке М(1,1) по направлению вектора принимает наибольшее значение?
5.3. Вычислите интеграл: . 5.4. Найдите среднее значение функции на отрезке [0,1].
5.5. Вычислите .
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|