Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

ЗАДАЧА 2.7. Проверить прочность каменной колонны

Задание на проектирование:

Каменная колонна нагружена силами Р₁ и Р₂. Сила Р₂ действует горизонтально в плоскости симметрии. Линия действия силы Р₁ параллельна оси колонны и проходит через полюс – точку сечения, заданную вариантом. Определить положение нейтральной линии и проверить прочность колонны при действии обеих сил, построить ядро сечения. В случае неудовлетворительной прочности подобрать допустимое значение силы Р₁.

В расчетах принять: [σ]_р = 250 кПа;

[σ]_сж = 1200 кПа;

Р₁=100кН Р₂- подобрать H=2,0 м а=0,5 м

Рис. 2.7.1. Исходная схема колонны.

Начинаем решение задачи с определения геометрических характеристик поперечного сечения колонны. Сечение имеет ось симметрии, это подсказывает, что центр тяжести будет находиться на этой оси. Условно делим сечение на два прямоугольника, для которых известны положения центров тяжести и площади. Принимаем систему координатных осей как показано на рис. 2.7.2. Вычисления выполняем в табличной форме.

Заполняем ячейки и находим суммы Σ₁, Σ₂, Σ_3. Определяем координаты центра тяжести

Таблица 2.7.1

Наименование	F_i, м²	Координаты центра тяжести	Статические моменты сечения	Собственные моменты инерции	Плечо переноса a_i=x_ci-x_c	Переносный момент инерции a_i².F_i	Центральные моменты инерции
y_ci м	x_ci м	S_xi м³	S_yi м³	I_x м⁴	I_y м⁴	I_x, м⁴	I_y, м⁴

а*2а	2а²		а		2а³			-0,9a	1,62 а⁴		2,29 а⁴
а*3а	3а²		2,5а		7,5а³			0,6a	1,08 а⁴		1,33 а⁴
	Σ₁ 5а²		Σ₂	Σ₃ 9,5а³				2,7 а⁴	I_xΣ	3,62 а⁴ I_yΣ

Строим по координатам центр тяжести сечения и продолжаем заполнение таблицы.

Нормальные напряжения в точке с координатами (x, y) при внецентренном сжатии определяются по формуле

, (2.7.1)

где x_p и y_p -координаты полюса, точки приложения силы, в системе центральных осей; x_p=-1,9a; y_p=0,5a

x и y - координаты точки, в которой определяются напряжения;

;

- квадраты радиусов инерции сечения.

Множество точек, в которых напряжения равны нулю, образуют прямую линию, называемую нейтральной линией. Уравнение нейтральной линии получим, приравняв нулю правую часть формулы нормального напряжения:

. (2.7.2)

Чтобы построить нейтральную линию, находим точки её пересечения с главными центральными осями сечения. Задаем x=0 и, подставив x в уравнение нейтральной линии, получаем ординату первой точки:

Задавая y=0, получаем абсциссу второй точки:

Рис. 2.7.2. Поперечное сечение колонны с нейтральной линией сечения.

Нейтральная линия это граница между зоной растяжения и зоной сжатия.

Все точки левее нейтральной сжаты. Это сжатие наблюдается по всей высоте бруса, аналогично с областью растяжения. Если колонна изготовлена из хрупкого материала: кирпича или бетона, который, как правило, слабо сопротивляется растяжению, то растянутая сторона покрывается микротрещинами. В приморском климате с большими суточными перепадами температуры особенно в период весенней оттепели, смена знака с плюса на мороз приводит к осаждению в этих трещинах конденсата насыщенного пара из весеннего воздуха. Если пятиградусный мороз способен порвать наполненные водой стальные водопроводные трубы и бронзовую запорную арматуру, то как может сопротивляться размораживанию кирпич? В марте днем температура поднимается до плюс пяти-шести, а следующим утром на градуснике минус десять. Несколько перепадов температур, и куски колонны, а то и вся колонна будет лежать у подножья. Но такого сценария катастрофы можно избежать, если в теле колонны не допустить появление растягивающих напряжений. При действии сжимающей силы напряжения в сечении и в колонне в целом могут быть разными по величине в соседних точках, но оставаться сжимающими. Это достигается специальным расчетом, который завершается построением некоторой области вокруг центра тяжести сечения. Эту область называют ядром сечения.

Ядро сечения – область вокруг центра тяжести сечения, при приложении силы в которой, во всех точках сечения, а в случае призматического бруса и во всех точках бруса, напряжения имеют одинаковый знак.

Это условие выполняется, если все точки сечения находятся по одну сторону от нейтральной линии. Задаем положение нейтральной линии так, чтобы она только касалась контура сечения в двух точках или касалась прямолинейного отрезка контура, если таковые имеются, и находим положение полюса, т.е. точки приложения силы.

С помощью уравнения нейтральной линии можно решать как прямую задачу – для заданного полюса находить положение нейтральной линии, так и обратную – по положению нейтральной линии определять место приложения силы.

Задаемся положением нейтральной линии и подставляем координаты любых двух точек, принадлежащих ей, в уравнение нейтральной линии. Решаем полученную систему двух уравнений относительно двух координат полюса. Проецируем полюс на чертеж сечения.

Не отрываясь от точки контура, поворачиваем нейтральную линию вокруг этой точки пока линия не коснется контура в другой точке. Если это трудно сделать мысленно, то приложите к чертежу линейку, совместив её с нейтральной линией, и начинайте обкатывать контур, не отсекая от сечения хотя бы малую часть.

Определив вторую точку касания, составляем новую пару уравнений относительно новой пары точек, принадлежащих новой нейтральной линии. Эти точки могут быть точками касания или произвольными на результат решения это не повлияет. Решив систему уравнений, строим новый полюс. Продолжаем обкатывать контур и находить новые характерные точки ядра сечения. Характерная точка ядра – это положение полюса, при котором нейтральная линия касается контура хотя бы в двух точках. Завершая обкатывание, находим все характерные точки, и нейтральная линия возвращается в первоначальное положение. Что дальше делать с полученными полюсами? Воспользуемся аксиомой:

Если полюс перемещается вдоль прямой, то нейтральная линия вращается вокруг некоторой точки, ей принадлежащей. И обратно:

Если нейтральная линия вращается вокруг точки, лежащей на ней, то полюс перемещается вдоль прямой.

Значит, пока нейтральная линия, касаясь контура в одной точке, вращается вокруг неё, полюс, т. е. точка, в которой в этот момент приложена внецентреннная сила, перемещается по поверхности сечения, оставляя за собой след в виде прямого отрезка. Этим отрезком мы соединяем построенные характерные точки. Последовательно соединяя по две точки, получаем выпуклую замкнутую фигуру, которую и называют ЯДРО СЕЧЕНИЯ. Эту фигуру и центр тяжести переносим на торец колонны. Монтажникам выдается инструкция о том, что монтируемая сверху конструкция должна опираться внутри отмеченного контура. После монтажа остается проверить качество работы. Если линия действия контактной силы проходит через точку центра тяжести сечения, то напряжения во всех точках колонны будут одинаковыми – осевое сжатие. Если линия действия прошла мимо центра, но в пределах контура ядра, то напряжения во всех точках останутся сжимающими, но величина их изменится. Где-то уменьшится по абсолютному значению, а в противоположном через центр тяжести направлении увеличится, причем существенно, что приведет к снижению несущей способности колонны, поскольку прочность конструкции определяется не средним значением напряжения в сечении, а напряжением в наиболее нагруженной точке. Таким образом, прочность конструкции зависит не только от внешней нагрузки на конструкцию, но и от качества её монтажно-конструктивного исполнения.

Задаемся первым положением нейтральной линии 1-1, при котором она проходит через точки F и A. Выпишем координаты всех точек контура, где нейтральная линия может касаться сечения.

F (-1,9a; -0,5a)

A (-1,9a; +0,5a)

B (+0,1a; +1,5a)

D (+1,1a; +1,5a)

E (+1,1a; -1,5a)

K (+0,1a; -1,5a)

1-1

Вычитая из первого уравнения системы второе, получим .

Суммируем первое со вторым и получаем

Строим справа от центра тяжести на оси х_с точку 1. Это первая вершина многоугольника - ядра сечения.

Для определения второй вершины ядра задаем положение нейтральной линии 2-2. Она проходит через точки A и B.

*(-3)

Умножив первое уравнение на (-3), складываем со вторым уравнением системы

Точка 2 имеет координаты .

Нейтральная линия 3-3 проходит через точки D и B

Вычитанием из первого уравнения второго получаем .

Точка 3 имеет координаты .

Нейтральная линия 4-4 проходит через точки D и E.

Решаем: .

Точка 4 имеет координаты .

Сечение симметричное относительно оси х_с поэтому точки 2 и 3 будут иметь зеркальное отражение в виде точек 2^’ и 3^’. Соединив последовательно пары точек, получаем ядро сечения в виде шестиугольника с одной осью симметрии.

Рис. 2.7.3. Построение ядра сечения.

Если нейтральная линия перпендикулярна главной центральной оси сечения, то полюс находится на этой оси по другую сторону от центра тяжести. Это можно наблюдать при определении положения точек 3 и 4. И еще раз замечаем, что результат не зависит от того какие именно точки были выбраны на нейтральной линии.

Еще раз напомним, что координаты полюса и координаты нейтральной линии взаимозависимы. Если траекторией перемещения полюса будет ломаная линия, образованная отрезками FA, AB, BD, DE, EK и KE, то нейтральная линия обкатывает контур ядра сечения. Одно положение нейтральной мы построили, когда полюс был зафиксирован в точке A.

Воспользуйтесь поиском по сайту: