 |
Задача о повторении испытаний. Формула Бернулли.
|
|
|
|
Зависимые и независимые случайные события. Теорема умножения вероятностей (доказать).
Случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того какое значение принимает другая случайная величина.
Теорема. Для того, чтобы случайные величины Х и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы (X, Y) была равна произведению функций распределения составляющих.
Теорема. Для того, чтобы случайные величины Х и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного распределения системы (X, Y) была равна произведению плотностей распределения составляющих.
Событие А называется независимым от события B, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет.
- критерий независимости событий
События А и В называются независимыми тогда, когда Р(АВ) = Р(А)*Р(В)
Вероятность события А, вычисляемая при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью Р(А/В)=P(AB)/P(B).
Свойства условных вероятностей.
Свойства условных вероятностей аналогичны свойствам безусловных вероятностей.
0 £ Р(А/В) £ 1, т.к. 
; АВ Ì В, Р(АВ) £ Р(В)
Р(А/А)=1
ВÌА, è Р(А/В)=1
Р[(A+C)/B] = Р(А/В) + Р(C/В) – Если события А и С несовместны
Р[(A+C)/B] = Р(А/В) + Р(C/В) - Р(АC/В) – Если события А и С совместны
Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого.
Док-во:
P(AB)=l/n; P(A)=m/n; P(B/A)=l/m; l/n=m/n * l/m => P(AB)=P(A)*P(B/A)
Следствия:
Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А
Вероятность произведения 2х независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
|
|
|
P(AB)=P(A)*P(B)
Совместные и несовместные случайные события. Теорема сложения вероятностей (доказать).
Два события называются несовместными, если появление одного
из них исключает появление другого события в одном и том же опыте,
т.е. не смогут произойти вмесге в одном опыте. В противном случае
события называются совместными
Теорема: Вероятность суммы 2х несовместных событий равняется сумме их вероятностей.
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
Д-во:
Используем схему случаев, из которых m~A, k~B, P(A)=m/n, P(B)=k/n. Поскольку А и В несовместные, то получается, что
m+k=A+B
P(A+B)= (m+k)/n=m/n+k/n=P(A)+P(B)/
Если события А1…Аn образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей = 1. Противоположными называются 2 несовместных события, которые образуют полную группу {0;P}
A=”0” – P
A=”P” – q
Сумма вероятностей события и его противоположности равняется 1
P(A)+P(-A)=1
p+q=1
Вероятность суммы 2х совместных событий А и В равняется сумме их вероятности без учета вероятности их совместного появления.
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
Вероятность появления хотя бы одного события (вывод).
Формула полной вероятности (вывод).
P(B) = 
P(Ak)×P(B/Ak),
что непосредственно следует из (8.2.14) для попарно несовместных событий:
B = BA1+BA2+...BAN.
P(B) = P(BA1)+P(BA2)+... +P(BAN) = P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)+...+P(AN)P(B/AN).
Уточнение вероятностей гипотез. Формулы Бейеса (вывод).
Задача о повторении испытаний. Формула Бернулли.
На практике часто прилагаются задачи, в которых один и тот же опыт повторяется неоднократно., причем нас интересует не отдельное, а общее число появлений события А в серии опытов. Предположим, что опыты являются независимыми величинами. Независимые опыты могут проводиться в одинаковых или разных условиях. При одинаковых условиях вероятность события А будет одинаковой и к нему относится частная теорема. Если опыты разные, то к нему относится общая теорема о повторении опытов.
|
|
|
Частная теорема:
Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в n испытаниях событие A наступит ровно k раз и не наступит n-k раз, по теореме умножения вероятностей независимых событий равна 
.Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из n элементов по k элементов, т.е. 
. Т.к. эти сложные события несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий искомая вероятность равно сумме вероятностей всех возможных сложных событий. Поскольку вероятности всех этих сложных событий одинаковы, то искомая вероятность равна вероятности одного сложного события, умноженной на их число:
. Эта формула называется формулой Бернулли.
Определение вероятностей по формуле Бернулли усложняется при больших значениях n и при малых p или q. В этом случае удобнее использовать приближенные асимптотические формулы. Если 
, а 
, но 
, то в этом случае
Эта формула определяется теоремой Пуассона. Если в схеме Бернулли количество опытов n достаточно велико 
, а вероятность р события А в каждом опыте постоянно, то вероятность 
может определяться по приближенной формуле Муавра-Лапласа:
,
где 
;
- локальная функция Лапласа, которая табулирована и приводится в справочниках. Данная формула отражает, так называемую, локальную теорему Муавра-Лапласа.
Вероятность появления события А не менее m раз при n опытах вычисляется по формуле:
Вероятность появления события А хотя бы один раз при n опытах
Наивероятнейшее число 
наступление события А в n опытах, в каждом из которых оно может наступить с вероятностью p (и не наступить с вероятностью q=1-p), определяется из двойного неравенства
Если событие А в каждом опыте может наступить с вероятностью p, то количество n опытов, которое необходимо произвести для того, чтобы с заданной вероятностью Рзад. можно было утверждать, что данное событие А произойдет по крайней мере один раз, находится по формуле:
Частная теорема о повторении опытов касается того случая, когда вероятность события А во всех опытах одна и та же.
|
|
|
