 |
Проведение эксперимента и обработка результатов
|
|
|
|
Лабораторная работа № 9
Определение отношения молярных теплоёмкостей для воздуха γ
Методом Клемана-Дезорма
Цель работы:
1. Изучение метода использования 1-го начала термодинамики к исследованию различных термодинамических процессов в идеальных газах.
2. Экспериментальное определение отношения молярных теплоёмкостей для воздуха.
3. Освоение метода теоретического расчёта теплоёмкостей газов при различных процессах.
Оборудование:
1. Стеклянный сосуд с двумя кранами.
2. U - образный водяной манометр.
3. Ручной насос Шинца.
4. Секундомер.
Краткая теория
Термодинамика изучает системы, состоящие из огромного числа частиц, находящихся в непрерывном хаотическом движении. Методы описания поведения таких сложных систем принципиально отличаются от принятых в механике. При термодинамическом подходе к изучению таких систем не рассматривают поведение каждой частицы в отдельности и те внутренние механизмы, которые приводят к протеканию тех или иных процессов в системе. Термодинамика использует понятия и физические величины, относящиеся ко всей системе в целом, такие как внутренняя энергия, давление, объём, температура и т. д.
Все теоретические построения термодинамики исходят из весьма общих эмпирических законов, которые называются началами термодинамики. Первое начало представляет собой закон сохранения и превращения энергии в применении к термодинамическим системам. Второе начало указывает направление развития процессов, протекающих в системе. Третье начало накладывает ограничения на процессы, которые приводили бы к достижению абсолютного нуля температур.
Запишем уравнение и формулировку Первого начала Термодинамики: 
(1). Элементарное количество теплоты, полученное системой, идёт на изменение её внутренней энергии и совершение системой элементарной работы. Рассмотрим смысл величин, входящих в уравнение (1). 
- изменение внутренней энергии системы. С точки зрения статистической физики внутренняя энергия системы состоит из кинетической энергии поступательного и вращательного движения молекул, колебательного движения атомов, потенциальной энергии взаимодействия молекул и атомов в молекулах. Для идеального газа, где взаимодействие частиц считается пренебрежительно малым, потенциальная энергия взаимодействия принимается равной нулю и формула для расчета внутренней энергии выглядит следующим образом: 
(2), здесь i – число степеней свободы молекулы. Таким образом, внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры и, следовательно, может быть однозначно выражена через макроскопические параметры состояния системы: P, V, T. Поэтому говорят, что U есть функция состояния системы. Изменение внутренней энергии в ходе элементарного процесса, найдём дифференцированием уравнения (2): 
(3). В ходе конечного процесса 1-2 (рис.1) изменение внутренней энергии можно найти интегрированием уравнения (3): 
(4).
|
|
|
Из (4) видно, что 
не зависит от пути перехода системы из состояния 1 в состояние 2, т.к. однозначно определяется через параметры P, V, T конечного и начального состояний.
Второе слагаемое уравнения (1) δА – элементарная работа, совершённая в ходе бесконечно малого изменения параметров системы. Известная формула из механики для работы может быть преобразована к следующему виду: δА=PdV (5). В ходе конечного процесса 1-2 работа равна: 
(6).
Рис. 1
Из этих формул видно, что если система сама совершает работу (dV > 0), то работа положительна и считается отрицательной, если над системой совершается работа (dV < 0). Исходя из геометрического смысла интеграла (см. (6) и рис. 1) легко видеть, что работа зависит от типа процесса при переходе из 1-2 (т. е. от пути перехода на рис. 1), например, Ав > Аа. поэтому говорят, что работа является функцией процесса. Для того, чтобы рассчитать интеграл в (6), надо знать, по какому закону изменяются параметры Р, V, Т при переходе 1 
2.
|
|
|
Левая часть уравнения (1) 
- элементарное количество теплоты. Как и работа, эта величина является мерой изменения энергии системы в ходе процесса. Различие Q и А в том, что если работа оценивает изменение любого вида энергии (механической, электрической, магнитной), то количество теплоты без предварительного преобразования в работу (например, в ходе процесса, когда не изменяются внешние параметры системы: при теплообмене нагретого и холодного тела) оценивают только изменение внутренней энергии. Как и в случае работы, количество теплоты, которое потребуется на совершение процесса 1-2 зависит от того, по какому пути будет развиваться процесс (а или в, на рис.1), так что Q также является функцией процесса: δ Q> 0, если тепло поступает в систему и δ Q< 0, если тепло выходит из системы. Исходя из вышесказанного ясно, что бессмысленно говорить о величине работы или количестве теплоты в состоянии 1 или 2 без указания пути перехода.
Под теплоёмкостью всей системы понимают отношение: 
(7), она численно равна количеству тепла, необходимого для изменения температуры на один градус. На практике более часто используются понятия удельной 
(8) и молярной теплоемкости: 
(9). Поскольку δ Q - функция процесса, то и Ссист, с, Сµ являются функциями процесса, зависят от того, при каких условиях осуществляется процесс. Воспользуемся первым началом (1) для анализа некоторых простых процессов и рассчитаем молярные теплоёмкости для них (при m = const).
1. Изохорический процесс (V=const). Уравнение процесса следует из уравнения Менделеева-Клапейрона: 
(10). Используя (1) и (5), запишем 1 начало в виде: δQ=dU+pdV. Поскольку V=const, то δА=0 и δQ=dU, в ходе этого процесса подводимое к системе количество теплоты идёт только на увеличение внутренней энергии системы. С учётом (3) 
(11). За счёт подводимого тепла повышается температура системы (δQ> 0, следовательно, dT> 0). Молярную теплоёмкость для этого процесса обозначим СV: 
(12). Внутренняя энергия (2) может быть выражена через СV: 
(13).
|
|
|
2. Изотермический процесс (T=const). Уравнение процесса: PV=const или P1V1=P2V2 (14). Поскольку dT=0, то dU=0 и первое начало для этого процесса: δQ=dА=pdV, всё подводимое тепло идёт на совершение работы, без изменения внутренней энергии. Работу в ходе данного процесса вычислим, выражая давление через параметры V и T из уравнения Менделеева-Клапейрона: 
(15). Теплоёмкость этого процесса 
.
3. Изобарический процесс(Р=const). Уравнение процесса: 
или 
(16). Тогда 1 начало для этого процесса: 
(1`), в ходе этого процесса за счёт подводимого тепла изменяется внутренняя энергия и совершается работа (которая идёт на изменение объёма системы). Работа в ходе этого процесса: A12= 
PdV=P(V2-V1). Теплоемкость Cp для изобарического процесса с учётом (1`) и (13): Cp = 
v+ 
P 
(17). Дифференцируя уравнение Менделеева-Клапейрона (при P=const) PdV=νRdT (откуда 
= νR/P подставим в (17)), найдём связь между Cp и CV (уравнение Майера) Cp=CV+R (18). Смысл уравнения ясен из определения понятия Cp (17): для подогрева одного моля газа на один градус при изобарическом процессе потребуется количество теплоты численно равное Cp, часть которого пойдет на увеличение внутренней энергии на величину CV, а остальная часть на совершение одним молем газа работы, численно равной R.
4. Адиабатический процесс (δQ =0). Система в ходе этого процесса изолирована от окружающих тел и не может обмениваться с ними количеством теплоты. Первое начало примет вид: δU=-δA=-PdV (1``), если в условиях адиабатической изолированности газ будет расширяться, то это приведёт к уменьшению его внутренней энергии (dU <0) и, наоборот, процесс совершения работы над газом (по его сжатию, dV <0) будет приводить к повышению внутренней энергии газа (dU >0). Уравнение адиабатического процесса получим, записав уравнение (1``) для одного моля газа (используя (3) и (12)): PdV=-CvdT (19). Затем продифференцируем уравнение Менделеева-Клапейрона для одного моля PdV + VdP = RdT (20). Разделим уравнение (20) на (19) 1+ 
=- 
или, используя (17), получим:
|
|
|
1+ 
(21), где 
, перепишем после упрощения последнее уравнение (21) в виде (выполним разделение переменных) 
(22), после интегрирования имеем: 
)=ln(const). Тогда уравнение адиабатического процесса примет вид (уравнение Пуассона): PV =const (23), где 
называют показателем адиабаты.
Уравнение адиабаты (23) можно записать и через параметры P и T, если исключить объём из (23), используя уравнение Менделеева-Клапейрона:
P 
T 
=const (23`)
Экспериментальный метод определения 
.
Рис. 2
В данной работе используется метод адиабатического расширения исследуемого газа (предложен Клеманом и Дезормом). Суть метода в следующем: если в сосуд Б, соединённый с манометром М для измерения давления в сосуде, накачать при закрытом кране К1 небольшую порцию воздуха (2/3 части хода штока насоса Шинца и быстро закрыть кран К2), то при этом газ в сосуде сжимается и нагревается (рис. 2). Для единицы массы воздуха в баллоне этот процесс изображён на P-V диаграмме (рис.3) отрезком адиабаты 1-2. В исходном состоянии объём единицы массы обозначен V1, температура T1 (равна комнатной), давление P1 (равно атмосферному). После накачки воздуха (адиабатическое сжатие) параметры газа Р2, V2, T2. После закрытия кран К2 в сосуде происходит процесс изохорического остывания 2-3 (рис. 3) до начальной температуры (комнатной) T3=T0.
После изохорического остывания (состояние 3, параметры Р3, V3, T3) давление P3 будет несколько выше атмосферного давления на величину Δ P1= Δ h1 , которая измеряется манометром М в мм.вод.ст.: P3 = Pо + Δ P1 (24). Затем открывают кран K1 (на короткий отрезок времени, показание манометра станет равным нулю), происходит процесс адиабатического расширения 3-4 (рис. 3) соответствующий уравнению (22). Как только давление в газе упадет до P0 – атмосферного (состояние 4, параметры Р4 =Р0 , V4, T4) кран K1 закрывается. Далее происходит процесс изохорического нагрева 4-5 до комнатной температуры T5=T0 (состояние 5, параметры Р5, V5, T5), давление при этом будет возрастать P5=Pо+ Δ P2 (25), где ΔP2 = Δh2 измеряется манометром М.
Внешний вид установки
Проанализируем процессы 3-4 и 4-5 подробнее. Процесс 3-4 - адиабатическое расширение и описывается уравнением (23). Поскольку объём выделенной нами единицы массы газа измерить трудно, уравнение адиабаты для 3-4 запишем в виде уравнения (23`): P3 
Tо 
= P4 
T4 
(26). Процесс 4-5 описывается уравнением изохоры (10) или P4T4-1=P5Tо-1 (27). Возведём обе части уравнения (27) в степень γ и поделим уравнение (26) на полученное уравнение (Pγ5Tо-1γ =Pγ4T4-1γ) с целью исключения из этих равенств температур То и Т4 получим: 
или с учётом Р4=Ро 
(28), учитывая (24) и (25) перепишем (28) в виде: 
(29).
Поскольку 
и 
, то с достаточной точностью можно ограничиться только двумя членами в разложении сумм в (29) по степеням γ-1 и γ 
, отсюда уже можно найти значение: 
, ΔР измеряется водяным манометром ΔР1=ρgΔh1, ΔP2 = ρgΔh2, где Δh1 и Δh2 разность высот уровней воды в коленах манометра М, соответственно для состояний 3 и 5.
|
|
|
Тогда выражение для расчёта γ будет иметь вид: 
(30).
Рис. 3
Проведение эксперимента и обработка результатов
До начала эксперимента (краны К1 и К2 открыты) убедитесь в том, что уровни воды в коленах манометра одинаковы, что свидетельствует о том, что давление в сосуде равно атмосферному. Закройте кран К1, а кран К2 подсоедините к насосу и накачайте столько воздуха (1/3 длины штока насоса), чтобы разность уровней столбиков жидкости в манометре Δh 
25-30 см. Сразу же закройте кран К2. Поскольку после закрытия крана имеет место процесс изохорического остывания воздуха до комнатной температуры, то следует выждать 1-2 минуты, пока температура газа в сосуде Б наверняка достигнет комнатной. Об этом мы узнаем по установившейся и уже неизменной со временем разности давлении, регистрируемой манометром. Снимите показания манометра Δh1 в мм.вод.ст.
Затем откройте кран К1 и следите по манометру за падением давления воздуха при адиабатическом расширении. Воздух в сосуде при этом охлаждается. Как только уровни воды в коленах манометра выравниваются, кран К1 закройте (в ходе процесса 3-4 кран К1 должен быть перекрыт в момент, когда давление станет равным Ро).
После этого происходит процесс изохорического нагревания газа до комнатной температуры. Давление в сосуде при этом возрастает. Опять надо выждать 1-2 минуты, пока разность давлений не установится неизменной, постоянной и снимите показания манометра Δh2. По формуле (30) рассчитайте значение γ. Опыт повторите не менее 7 раз. После каждого опыта откройте краны К1 и К2 и сделайте выдержку порядка 1 минуты. Результаты измерений занесите в таблицу и рассчитайте погрешность измерений. При подготовке к работе обязательно проработайте указанную литературу.
Контрольные вопросы и задания.
1. Какие процессы, протекающие в газах, называются изохорическими, изобарическими, адиабатическими, изотермическими?
2. Записать уравнение состояния газа для изопроцессов.
3. В чём сущность первого начала термодинамики и какой он принимает вид для всех изопроцессов?
4. Почему теплоёмкость газа при изобарическом процессе больше теплоёмкости этого же газа при изохорическом процессе?
5. В какой последовательности выполняется работа?
6. Почему в данном опыте показатель адиабаты не может быть точно равен величине, рассчитанной в теории, т.е. 1,4?
Литература
1. Сивухин Д.В. Общий курс физики т. 11. – М.: Просвещение, 1975.
2. Яковлев В.Ф., Курс физики (теплота и молекулярная физика). – М.: Просвещение, 1976.
3. Телеснин Р.В., Молекулярная физика. – М.: Просвещение, 1965.
4. Гершезон Е.М., Малов Н.Н., Курс общей физики, Молекулярная физика. - М.: Просв. 1982.
|
|
|
