 |
Положительные числовые ряды. Достаточные признаки сходимости.
|
|
|
|
Определение. Числовой ряд (1) называется положительным, если все его слагаемые an – положительные числа. Частичная сумма Sn = а1+ а2 + …+ аn такого ряда при любом значении n тоже, естественно, положительна, причем с увеличением номера n она монотонно возрастает. Следовательно, имеются всего две возможности:
1) 
2) 
где S – некоторое положительное число.
В первом случае ряд расходится, во втором сходится. Какая из этих двух возможностей реализуется, зависит, очевидно, от поведения слагаемых 
ряда при n ® ∞. Если эти слагаемые стремятся к нулю, причем делают это достаточно быстро, то ряд будет сходиться. А если они не стремятся к нулю, или стремятся к нему, но недостаточно быстро, то ряд будет расходиться.
Например, у гармонического ряда (16) слагаемые 
хоть и убывают, стремясь к нулю, но делают это довольно медленно. Поэтому гармонический ряд оказался расходящимся. А вот у положительного ряда (6) слагаемые стремятся к нулю гораздо быстрее, поэтому он оказался сходящимся.
Еще пример. Ряд вида
(18)
называется обобщенным гармоническим рядом (при 
это будет обычный гармонический ряд). Если исследовать его на сходимость – расходимость аналогично тому, как исследовался гармонический ряд (16) (с помощью рисунка, подобного рисунку 1), то можно установить (попробуйте это сделать самостоятельно), что обобщенный гармонический ряд расходится при 
(его сумма 
) и сходится при 
(его сумма S – конечное положительное число). И это понятно: при слагаемое 
обобщенного гармонического ряда убывают медленнее слагаемых 
гармонического ряда. А так как гармонический ряд расходится (скорость убывания его слагаемых недостаточна для сходимости), то тем более при будет расходиться и обобщенный гармонический ряд (18). А при слагаемые ряда (18) будут, очевидно, убывать быстрее, чем слагаемые гармонического ряда (16). И этой возросшей скорости убывания оказывается достаточно для сходимости ряда (18).
|
|
|
Можно эти соображения изложить строже, в виде так называемого признака сравнения положительных числовых рядов.
Его суть в следующем. Пусть
(19)
(20)
- два произвольных положительных числовых ряда. И пусть 
для всех n =1,2,…. То есть (20) – ряд с бóльшими членами, чем ряд (19). Тогда очевидно, что:
1) Если ряд с бóльшими членами сходится, то и ряд с меньшими членами сходится.
2) Если ряд с меньшими членами расходится (его сумма равна +∞), то и ряд с бóльшими членами тоже расходится (его сумма тем более равна +∞).
3) Если ряд с бóльшими членами сходится (его сумма равна +∞), то про ряд с меньшими членами ничего сказать нельзя.
4) Если ряд с меньшими членами сходится (его сумма – число), то про ряд с бóльшими членами ничего сказать нельзя.
Замечание 1. В формулировке всех четырех пунктов признака сравнения можно условие , с помощью которого сравниваются ряды и которое должно выполняться для всех n =1,2,3,…, заменить на это же условие , справедливое не для всех n, а лишь начиная с некоторого номера N, то есть для n>N, ибо отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость.
В подтверждение сказанного докажем две теоремы.
Теорема 2. Если члены положительного ряда 
(а) не больше соответствующих членов положительного ряда 
(б), т.е. 
(*) и ряд (б) сходится, то сходится и ряд (а).
Доказательство. Обозначим через 
и 
, соответственно, частичную сумму первого и второго рядов:
.
Из условия (*) следует, что 
.
Так как ряд (б) сходится, то существует предел 
его частичной суммы 
. Из того, что члены рядов (а) и (б) положительны, следует, что 
, и тогда в силу неравенства , получается 
.
Итак, мы доказали, что частичные суммы ограничены. Заметим что при увеличении n частичная сумма возрастает, а из того, что последовательность частичных сумм возрастает и ограничена, следует, что она имеет предел 
, причем очевидно, что 
.
|
|
|
Теорема 3. Если члены положительного ряда (а) не меньше соответствующих членов положительного ряда (б), т.е. 
(*) и ряд (б) расходится, то расходится и ряд (а).
Доказательство. Из условия (*) следует что 
. Так как члены ряда (б) положительны, то его частичная сумма возрастает при возрастании n, а так как он расходится, то 
. Но тогда из неравенства следует 
, т.е. ряд (а) расходится. Что и требовалось доказать.
Замечание 2. Признак сравнения положительных числовых рядов допускает обобщение. А именно, если существует конечный и отличный от нуля предел
, (21)
то есть если
при 
(22)
(bn эквивалентны Lan при ), то положительные числовые ряды (19) и (20) сходятся или расходятся одновременно. Данное замечание оставим без доказательства.
Пример 5. Ряд
(23)
расходится (его сумма равна +∞). Действительно, сравнивая этот ряд с гармоническим (16), слагаемые которого меньше слагаемых ряда (23) для всех n >1, сразу приходим к этому выводу на основании пункта 2 признака сравнения. Также его расходимость следует и из того, что это – обобщенный гармонический ряд (18) при 
.
Пример 6. Ряд
(24)
- это положительный ряд с меньшим для всех n >1 слагаемыми, чем ряд
(25)
Но ряд (25) представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 
. Такой ряд, согласно (15), сходится и имеет сумму S =1. Но тогда сходится и меньший ряд (24), причем его сумма 
.
Пример 7. Ряд 
- положительный числовой ряд, у которого слагаемые
при .
Но ряд 
расходится в силу (17). Значит, в соответствии с (22), расходится и данный ряд со слагаемыми an.
Признак Даламбера. Этот признак состоит в следующем. Пусть 
- положительный числовой ряд. Найдем предел q отношения последующего члена ряда к предыдущему:
(26)
Французский математик и механик 19-го века Даламбер доказал, что при q <1 ряд 
сходится; при q >1 он расходится; при q =1 вопрос о сходимости - расходимости ряда остается открытым. Доказательство признака Даламбера опускаем.
Пример 8. Исследовать на сходимость – расходимость положительный числовой ряд 
.
|
|
|
Решение. Применим к этому ряду признак Даламбера. Для этого по формуле (26) вычислим q:
Так как 
, то данный ряд сходится.
Радикальный признак Коши. Если для ряда с положительными членами
величина 
имеет конечный предел l при 
, т.е. 
, то:
1) в случае l<1 ряд сходится;
2) в случае l>1 ряд расходится.
Доказательство признака приводить не будем.
Пример 9. Исследовать на сходимость – расходимость положительный числовой ряд 
.
Решение. Применим к этому ряду радикальный признак Коши.
Ряд сходится.
Упражнения.
1. Выполняется ли для ряда
необходимое условие сходимости? Какова сумма S этого ряда?
Ответ: не выполняется; S = +∞.
2. Записать несколько первых членов ряда 
. Показать, что этот ряд сходится. Сколько членов ряда нужно просуммировать, чтобы найти его сумму с точностью до 0,01? Найти эту сумму S с указанной точностью.
Ответ: 
.
3. С помощью признака Даламбера исследовать на сходимость ряд 
.
Ответ: ряд сходится.
4. Доказать сходимость ряда и найти его сумму.
а) 
. Ответ. 
б) 
. Ответ. 
5. Исследовать на сходимость- расходимость следующие ряды:
а) 
. Ответ. Расходится. б) 
. Ответ. Сходится.
в) 
. Ответ. Расходится. г) 
. Ответ. Сходится.
|
|
|
