Лекция 48. Понятие о степенных рядах. Интервал сходимости степенного ряда. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена. Примеры разложения функций в ряды.
Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида
где а0,а1,а2,…, аn – постоянные числа, называемые коэффициентами ряда. Ряд вида
также является степенным рядом. Это – степенной ряд, расположенный по степеням двучлена (x-a). Еще такой ряд называют обобщенным степенным рядом. Начнем с того, что найдем область сходимости степенного ряда (1). Для этого проанализируем положительный числовой ряд, составленный из его модулей:
Применим к нему признак Даламбера. Для этого найдем q:
Введем обозначение
Тогда выражение для q примет вид:
Согласно признака Даламбера: 1) Если q <1, то есть если | x | < R, или, что одно и то же, если – R < x < R, то ряд (3) сходится. А вместе с ним сходится, причем абсолютно, и ряд (1). 2) Если q >1, то есть | x|>R или, что одно и то же, если x > R или x < –R, то ряд (3) расходится. Заметим, что при этом и ряд (1) тоже не будет сходиться, ибо условие 3) Наконец, если q = 1, то есть если x = ± R, то о сходимости – расходимости и ряда (3), и ряда (1) ничего сказать нельзя. Этот случай нужно исследовать особо. Итак, выводы: Степенной ряд (1) сходится при –R < x < R; расходится при x > R и x < – R; при x = ± R он может как сходиться, так и расходиться (рис.1).
Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда Решение. Данный ряд – это ряд вида (1) при
Итак, данный степенной ряд сходится при x є (- 2; 2) и, возможно, еще в точках x = ± 2. Для всех остальных x он расходится. Исследуем ряд при x = ± 2. 1) Если x = 2, то наш ряд примет вид: Это – гармонический ряд без первых двух своих членов. А значит, он расходится. 2) Если x = - 2, то получим: Это – знакочередующийся ряд, сходящийся по признаку Лейбница. Таким образом, областью сходимости D степенного ряда Степенные ряды (1) обладают замечательным свойством: внутри их интервалов сходимости (- R; R) их можно почленно дифференцировать и интегрировать. Это значит, что если
то
Эти факты примем без доказательства. Ограничимся лишь приведением примеров их использования. Пример 2. Рассмотрим степенной ряд
Это – степенной ряд вида (1) при
Заменяя в (11) x на - x, получим еще один степенной ряд с известной суммой:
Если теперь почленно продифференцировать равенства (11) и (12), то получим еще два разложения:
А если равенство (12) почленно проинтегрировать в промежутке [0; t ], где
Или в обычных обозначениях (заменив t на x):
Перейдя в этом равенстве к пределу при x ®1, получим:
Равенства (11) – (16) являются разложениями в степенные ряды, расположенные слева, тех функций, которые находятся справа. Рассмотрим теперь общую проблему разложения любой заданной функции f(x) в степенной ряд (1). Для этого обратимся к формуле Маклорена:
Здесь
- остаточный член формулы Маклорена, записанный в форме Лагранжа. Допустим, что функция f(x) имеет при x = 0 производные любого порядка. И допустим, что для некоторого множества значений аргумента x
Формула (20) представляет собой не что иное, как разложение функции f(x) в степенной ряд. Этот ряд называется рядом Маклорена. Разложение (20) верно и может быть использовано лишь для тех x, для которых Пример 3. Пусть
Выясним теперь, для каких значений x оно справедливо. Для этого выпишем и проанализируем остаточный член
Покажем, что
- при любом x. Значит, ряд
Совершенно аналогично можно доказать и много других разложений различных функций в степенной ряд Маклорена. Например:
Разложения (24) – (28) и им подобные широко используются как для приближенного вычисления значений стоящих слева функций с любой заданной точностью, так и для различных математических операций с указанными функциями. Пример 4. Вычислить Решение. Используя разложение (24) при х = - 0,2, получим: Отбрасывая в получившемся знакочередующемся ряде четвертое слагаемое, меньшее допустимой погрешности 0,0001, и все последующие за ним, которые еще меньше, получим с требуемой точностью:
Пример 5. Вычислить приближенно с точностью до 0,001 неберущийся определенный интеграл
Решение. Используя разложение (26), получим:
Пример 6. Построить в виде степенного ряда приближенное решение задачи Коши
Эта задача, заметим, не имеет точного решения, так как дифференциальное уравнение Решение. Искомое решение
Для неизвестных коэффициентов 1) 2) 3) Дифференцируя обе части уравнения 4) Дифференцируя обе части равенства Продолжая этот процесс, можем получить
На основании общей теории дифференциальных уравнений можно доказать, что ряд (32) сходится для всех
Оно будет тем точнее, чем ближе х к нулю.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|