Заметки о парадоксах зенона

Александр Койре.

Обсуждение аргументов — или, лучше сказать, парадоксов — Зенона, как и обсуждение всякой истинно философской проблемы, никогда не может быть завершено. Если бы возникла нужда в оправдании нашего намерения вновь подвергнуть исследованию проблему более чем двухтысячелетней давности, достаточно было бы привести высказывание В. Брошара, капитальное исследование которого сыграло столь большую роль как в том, чтобы вновь поставить проблему на повестку дня, так и в том, чтобы вдохнуть в старые аргументы (ибо вряд ли кто-либо сегодня стал бы по-прежнему трактовать их как «софизмы») новую жизнь. «Аргументы Зенона против движения, — говорит он, — обсуждались много раз. Если это является доводом в пользу того, чтобы к ним более не возвращаться, то какая важная философская проблема в свою очередь не заслужила бы того, чтобы быть оставленной в стороне?»
Мы обращаемся к этому столь часто обсуждавшемуся вопросу отнюдь не в поисках некоей новой интерпретации аргументов диалектики Элеата, равно как и не для того, чтобы к известному в истории бесчисленному количеству их опровержений добавить еще одно, столь же «успешное», как и все предыдущие. Цель этого небольшого исследования — показать, что поднятая Зеноном проблема не относится к одному лишь движению: она касается времени, пространства и движения в той мере, в какой включает в себя понятие бесконечности и непрерывности. Эта проблема вновь с необходимостью возникает во всех областях, где эти два последние понятия играют хоть какую-нибудь роль, и, следовательно, она имеет более общее значение, чем то, которое ей обычно приписывают. Уже исходя из одного лишь этого факта, следует сказать, что все опровержения, относящиеся только к проблеме движения, в самой своей основе ошибочны. По нашему мнению, в числе авторов таких предпринятых в последнее время попыток могут быть названы Г. Ноэль, А. Бергсон, а также — но с иной точки зрения — Ф. Эвеллен.
1. Аргументы Зенона
Согласно ясной концепции В. Брошара, к которой мы отсылаем читателя во всем, что касается интерпретации, четыре аргумента Зенона представляются в форме дилеммы. Первые два («Дихотомия» и «Ахиллес и черепаха») направлены против непрерывности и бесконечной делимости времени и пространства; два других («Стрела» и «Стадий») —против финитарной гипотезы, согласно которой время и пространство состоят из некоторых конечных, далее неделимых элементов. Напомним аргументы Зенона:
а) Дихотомия
Движение невозможно. Ибо до того, как движущееся достигнет конечной точки своего пути, оно должно преодолеть половину расстояния, и так далее до бесконечности; а это, в современных терминах, равносильно утверждению, что движение предполагает сумму, или синтез, бесконечного числа элементов 3~4,
б) Ахиллес и черепаха
Движение невозможно. Ибо самый быстрый бегун никогда не· сможет догнать самого медленного. Действительно, если второй из них в начале движения находится на некотором расстоянии от первого, то первый, чтобы догнать его, должен сначала достичь
точки, в которой более медленный находился в начале движения.
Расстояние между ними, разумеется, будет убывать. Но оно никогда не исчерпается полностью. Говоря современным языком, это означает следующее:

1. Каждое из тел должно пробежать, бесконечное количество точек (что может быть выражено простой формулой).

2. Поскольку каждой точке пути, пройденного Ахиллесом, соответствует точка пути, пройденного находящейся, впереди него черепахой, и наоборот, постольку число точек в том и другом случае с необходимостью должно быть равным, следовательно, невозможно, чтобы путь, пройденный Ахиллесом, был· больше пути, пройденного за это же время черепахой.
в) Стрела
Летящая стрела в каждое мгновение и в каждой точке траектории своего полета неподвижна. Действительно, если, согласие финитарной гипотезе, предположить, что любой временной интервал и любой протяженный отрезок состоит из далее неделимых элементов (точек и мгновений), то стрела с необходимостью должна всегда и везде находиться в покое. Ибо в неделимых мгновениях и точках пространства и времени движение не может иметь места.
г) Стадий
в некотором стадии расположены три равновеликих отрезка прямой (состоящих из равного числа неделимых элементов). Один из них неподвижен, два других движутся параллельно ему, но в противоположных направлениях. В этом случае, в соответствии с финитарной гипотезой, «половина, — говорит Зенон, — должна быть равна целому», так как в одно определенное, по предположению неделимое, мгновение один и тот же пространственный-·
элемент должен одновременно миновать и один, и два (равновеликих) пространственных элемента и, следовательно, быть одновременно равным и одному, и двум элементам.
2. Эквивалентность возможных интерпретаций
До сих пор мы следовали интерпретации В. Брошара. Однако мы не желаем быть связанными одной интерпретацией и вместе с тем не претендуем на то, чтобы приписать некий однозначный смысл аргументам Зенона и выразить аутентично мысль этого философа. Тем более что, по нашему мнению, эти четыре аргумента, абсолютно не теряя своего значения, допускают двойную интерпретацию, в зависимости от того, производится ли последняя с финитарной или инфинитарной точек зрения.
1. Действительно, даже если допустить бесконечную делимость пространства и времени, останется тем не менее истинным утверждение, согласно которому каждому мгновению времени летящей стрелы должна соответствовать точка пространства, то есть каждому мгновению соответствует определенное пространственное положение стрелы. И поскольку, согласно гипотезе, ни пространственные, ни временные элементы не являются протяженными — каждый из них представляет геометрическую точку, — отсюда следует, что стрела не может двигаться, так как двигаться — значит переходить от точки к точке, а не находиться в одной из них. Более того, так как мгновение настоящего есть не что иное, как граница между прошлым и будущим, стрела должна претерпевать движение в этот единственно реальный, единый миг настоящего. А это означает, что она вовсе не движется. Мы располагаем бесконечным количеством пространственных положений и бесконечным количеством соответствующих временных моментов, что отнюдь не означает движение. Кроме того, пока мы не сумеем завершить синтез этого бесконечного количества изолированных элементов, мы не получим и пройденного пути.
2. Посмотрим теперь, как обстоит дело в случае «Стадия».
Отрицание бесконечной делимости пространства и времени не только не исключает, но, наоборот, с еще большей ясностью способствует выявлению следующего парадоксального факта: в определенное мгновение только одна точка прямой В и только одна точка прямой С проходят мимо определенной точки прямой А, так же как определенная точка прямой С совершает это по отношению к точке прямой В. Следовательно, в каждое мгновение
точке О прямой В соответствует одна и только одна точка прямой 6; и, несмотря на это, прямая С целиком перемещается относительно точки О, в то время как прямая А относительно этой же точки перемещается только наполовину. Следовательно, половина
равна целому.
3. Теперь обратимся к аргументу «Ахиллес», предположив на сей раз, что пространство и время состоят из конечного числа неделимых элементов. И в этом случае всегда также остается верным тот факт, что в каждое данное мгновение точке пути черепахи взаимно-однозначно соответствует определенная точка пути Ахиллеса. И в этом случае еще менее, чем с точки зрения инфинитарной теории, понятно, что из одинакового числа идентичных элементов получаются разные суммы.
4. И наконец, рассматривая в свете финитарной гипотезы «Дихотомию», мы сталкиваемся с трудностью, подобной той, которая имеет место в случае «Стадия». Действительно, рассмотрим последний протяженный элемент, который в этом качестве еще делим и составлен из двух непротяжённых элементов. Это пространство представляет собой минимальную протяженность, в которой еще возможно движение, ибо очевидно, что в непротяженном ничто двигаться не может. То, что движется, пройдет эту минимальную протяженность за время, состоящее из одного неделимого мгновения. Но так как мы имеем право делить пространство, можно задаться вопросом: в какой момент движущееся пройдет
половину этой протяженности? Возникнет, следовательно, необходимость разделить пополам мгновение, которое по предположению неделимо.
в нашем понимании аргументация Зенона является абсолютно строгой. Движение предполагает бесконечную делимость пространства и времени, что включает в себя, следовательно, актуально бесконечную совокупность пространственных элементов и мгновений. За конечное время в конечном пространстве движущееся тело пробегает бесконечное число точек. Точно так же строгий анализ показывает, что два тела, движущиеся с различными скоростями, проходят за одно и то же время отрезки пути, состоящие из равного числа элементов. Следует ли рассматривать все эти выводы как возражения против возможности движения?
Этим мы сейчас займемся. И для начала проследуем теми путями, на которых исследователи пытались избежать выводов Зенона. <…>