 |
1.4. Cистеми числення і способи переведення чисел із однієї системи числення в іншу
|
|
|
|
Системою числення (численням, нумерацією) називають систему прийомів і правил, що дозволяють встановити взаємно однозначну відповідність між будь-яким числом і його уявленням у вигляді сукупності кінцевого числа символів. Безліч символів, що використовуються для такого уявлення, називають цифрами. Кожній цифрі відповідає певна кількість, що виразима цією цифрою і зветься чисельним значенням або кількісним еквівалентом даної цифри.
Розрізняють непозиційні і позиційні системи числення. В непозиційних системах має місце однозначна відповідність між цифрами і їх кількісними еквівалентами, а будь-яке число визначається як деяка функція від кількісних еквівалентів сукупності цифр, що зображають це число. Якщо як ця функція використовується функція додавання, то систему називають адитивною, якщо ж використовується функція множення, систему називають мультиплікативною. Прикладами непозиційних адитивних систем числення є римська система і одинична (унітарна) система.
Переважне поширення в ЦОТ набули однорідні позиційні системи числення. В такій системі з безпосереднім поданням цифр будь-яке число X виражається у вигляді
 |
де k — основа системи числення, тобто кількість цифр, що використовуються в даній системі (k= 2, 3, ... ); х — цифри i-го розряду подання числа в системі з основою k. Величину ki прийнято називати вагою i-го розряду. Оскільки значення k відомо наперед, то вираз (1. 4) запишемо в простішій формі
У виразі (1. 5) кома відділяє цілу частину числа (n+1 розрядів) від дробової (m розрядів), а вага i-го розряду в k разів більша вага i-1-го розряду. Таку систему числення називають системою з природним порядком ваг.
|
|
|
Неважко помітити, що права частина виразу (1. 4) визначає правило обчислення кількісного еквівалента числа, записаного у формі (1. 5). На цьому заснований один з алгоритмів переведення чисел з однієї позиційної системи в іншу. Позначимо X(k1) число в k1-й системі числення. Для переведення числа в систему з основою k2 необхідно записати X(ki) у формі (1. 4), замінити цифри xi і основу k1 їх k2-ми уявленнями, а потім виконати операції множення і додавання в системі з основою k2. Розглянемо приклади.
Описаний спосіб переведення чисел з однієї системи в іншу одержав назву способу безпосереднього заміщення. Найбільше поширення цей спосіб набув у так званому табличному варіанті його реалізації. В цьому випадку в пам’яті ЕОМ зберігаються таблиці k2-x подання k1-x цифр і ступенів основи 
. Перевід чисел зводиться до вибірки з цих таблиць k2-х еквівалентів цифр і ступенів основи, а також до виконання додавання і множення за правилами
k2-ї арифметики. Цей спосіб зручно використовувати у разі, коли k1 < k2 і при переводі чисел в таку систему, де просто виконуються операції додавання і множення (наприклад, із двійкової системи в десяткову).
Приклад 1. Перевести з четвіркової системи в двійкову, а потім у шістнадцяткову число X(4) — 23013311. У шістнадцятковій системі кількісним еквівалентам 10, 11 15 відповідають цифри А, В, ..., F.
Згідно вищевикладеному
X(2) = 1011000111110101;
X(16) = B 1 F 5.
Для переведення числа X з канонічної k1-й системи числення в квазіканонічну систему з основою k2 спочатку необхідно подати X у канонічній k2-й системі. Потім ті цифри канонічної k2-й системи, яких немає в квазіканонічній, замінюють комбінаціями цифр квазіканонічної системи. Після цього за правилами k2-ї системи підсумовують всі одержані комбінації цифр з урахуванням їх ваг.
|
|
|
