Правила выполнения простейших арифметических действий

Позиционные системы счисления

Вариант оформления

В разных системах счисления используется разное количество цифр для обозначения чисел. Исторически сложилось, что мы пользуемся десятичной системой счисления, т.е. десятью цифррами (от 0 до 9).

В двоичной системе счисления всего две цифры: 0 и 1. Примеры двоичных чисел: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000

Чтобы отличать в какой системе счисления записано число, обычно подписывается индекс снизу, например 101₂ = 5₁₀. Данная запись означает, что 101 в двоичной системе счисления - это 5 в десятичной.

В восьмиричной системе счисления восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Число восемь будет записываться как 10 (8₁₀ = 10₈), девять как 11 (9₁₀ = 11₈) и т.д.

В шестнадцатеричной, соответственно, шестнадцать цифр, но так как мы знаем всего десять, то вводятся дополнительные обозначения:

A=10, B=11, C=12, D=13, E=14 и F=15. Пример шестнадцатеричной записи числа: 1E240 (1E240₁₆ = 123456₁₀).

1. ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ В ДВОИЧНУЮ (A₁₀ → A₂)

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в двоичную используют так называемый "алгоритм замещения", состоящий из следующей последовательности действий:

1. Делим десятичное число А на 2. Частное Q запоминаем для следующего шага, а остаток a записываем как младшийбит (МБ) двоичного числа.

2. Если частное q не равно 0, принимаем его за новое делимое и повторяем процедуру, описанную в шаге 1. Каждый новый остаток (0 или 1) записывается в разряды двоичного числа в направлении от младшего бита к старшему.

3. Алгоритм продолжается до тех пор, пока в результате выполнения шагов 1 и 2 не получится частное Q = 0 и остаток a = 1.

Перевести десятичное число в двоичное (223₁₀ → А₂). В соответствии с приведенным алгоритмом получим:

22310: 2 = 11110

22310 - 22210 = 1, остаток 1 записываем в МБ двоичного числа.

11110: 2 = 5510

11110 - 11010 = 1, остаток 1 записываем в следующий после МБ разряд двоичного числа.

5510: 2 = 2710

5510 - 5410 = 1, остаток 1 записываем в старший разряд двоичного числа.

2710: 2 = 1310

2710 - 2610 = 1, остаток 1 записываем в старший разряд двоичного числа.

1310: 2 = 610

1310 - 1210 = 1, остаток 1 записываем в старший разряд двоичного числа.

610: 2 = 310

610 - 610 = 0, остаток 0 записываем в старший разряд двоичного числа.

310: 2 = 110

310 - 210 = 1, остаток 1 записываем в старший разряд двоичного числа.

110: 2 = 010

110 - 0 = 110 , остаток 1 записываем в старший разряд двоичного числа.

 

Таким образом, искомое двоичное число равно 11011111₂ (223₁₀=11011111₂).

2. ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ В ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ (A₁₀ → A₁₆)

Перевести десятичное число 223 в шестнадцатеричное (223₁₀ → А₁₆). В соответствии с приведенным алгоритмом получим:

Ход решения:
Делим число 223₁₀ на 16 и выписываем остатки
223₁₀ = 13·16 + 15 (15 записывается как F)
Последний множитель перед 16 равный 13 записываем первым.
Затем записываем найденные остатки в обратном порядке.
Получаем: DF

22310: 16 = 1310

22310 - 10810 = 15, остаток 15 записываем в МБшестнадцатеричного числа как F.

1310: 16 = 010

1310 – 010 =1310, остаток 13записываем в старший разряд шестнадцатеричного числа какD

Таким образом, искомое шестнадцатеричное число равно DF (223₁₀= DF₁₆).

3. ПЕРЕВОД ЧИСЛА ИЗ ШЕСНАДЦАТЕРИЧНОЙ СИСТЕМЫ В ДВОИЧНУЮ (A₁₆ → A₂)

· каждая цифра исходного числа заменяется тетрадой двоичных цифр в соответствии с таблицей. Если в таблице двоичное число имеет менее 4 цифр, оно дополняется слева незначащими нулями до тетрады;

· незначащие нули в результирующем числе отбрасываются.

 

Соответствие между первыми несколькими натуральными числами всех четырех систем счисления представлено в таблице перевода:

Десятичная	Двоичная	Восьмеричная	Шестнадатеричная
			A
			B
			C
			D
			E
			F

 

Перевести 1FF₁₆ → А₂

По таблице имеем:

1₁₆ = 1₂ и после дополнения незначащими нулями двоичного числа 1₂ = 0001₂;

F₁₆ = 1111₂

Тогда 1FF₁₆ = 000111111111₂.

После удаления незначащих нулей имеем 1FF₁₆ = 111111111₂.

4. ПЕРЕВОД ЧИСЛА ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДЕСЯТИЧНУЮ (A₂ → A₁₀)

Перевести 111100111₂ → А₁₀

111100111₂ = 1*2⁸ + 1*2⁷ + 1*2⁶ + 1*2⁵ + 0*2⁴ + 0*2³ + 1*2² +1*2¹ + 1*2⁰ = 256 + 128 + 64 + 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 1 = 487₁₀

Таким образом, 111100111₂ = 487₁₀

5. ПЕРЕВОД ЧИСЛА ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ШЕСНАДЦАТЕРИЧНУЮ (A₂ → A₁₆)

· исходное число разбивается на тетрады (т.е. 4 цифры), начиная с младших разрядов. Если количество цифр исходного двоичного числа не кратно 4, оно дополняется слева незначащими нулями до достижения кратности 4;

· каждая тетрада заменятся соответствующей шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей.

Перевести 111100111₂ →А₁₆

Десятичная	Двоичная	Шестнадатеричная
		A
		B
		C
		D
		E
		F

Поскольку в исходном двоичном числе количество цифр не кратно 4, дополняем его слева незначащими нулями до достижения кратности 4 числа цифр. Имеем:

111100111₂ = 0001 1110 0111₂

0111 – первая тетрада – младшая цифра числа

1110 – вторая тетрада – младшая цифра числа

0001 – третья тетрада – старшая цифра числа

В соответствии с таблицей, имеем 0001 1110 0111₂ = 1E7₁₆

 

ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ ПРОСТЕЙШИХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ

 

Арифметические операции для двоичных и шестнадцатеричных чисел выполняются по тем же правилам, что и для десятичных чисел, которые хорошо знакомы читателю. Рассмотрим на примерах выполнение таких арифметических операций, как сложение, вычитание и умножение для целых чисел.

Правила сложения

Таблица сложения двоичных цифр имеет вид (желтым цветом выделены значения суммы):

Пример 1. Сложить двоичные числа 1101 и 11011.

Запишем слагаемые в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов:
слагаемые:

Процесс образования суммы по разрядам описан ниже:

а) разряд 1: 1₂ + 1₂ = 10₂; 0 остается в разряде 1, 1 переносится в разряд 2;

б) разряд 2: 0₂ + 1₂ + 1₂ = 10₂, где вторая 1₂ – единица переноса; 0 остается в разряде 2, 1 переносится в разряд 3;

в) разряд 3: 1₂ + 0₂ + 1₂ = 10₂, где вторая 1₂ – единица переноса; 0 остается в разряде 3, 1 переносится в разряд 4;

г) разряд 4: 1₂ + 1₂ + 1₂ = 11₂, где третья 1₂ – единица переноса; 1 остается в разряде 4, 1 переносится в разряд 5;

д) разряд 5: 1₂ + 1₂ = 10₂; где вторая 1₂ – единица переноса; 0 остается в разряде 5, 1 переносится в разряд 6.

Таким образом: 1 1 0 1₂ +1 1 0 1 1₂ = 10 1 0 0 0₂.

Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и суммы (см. Перевод целых чисел):

1101₂ = 1*2³ +1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 8 + 4 + 1 = 13;

11011₂ = 1*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 16 + 8 + 2 + 1 = 27;

101000₂ = 1*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 0*2¹ + 0*2⁰ = 32 + 8 = 40.

Поскольку 13 + 27 = 40, двоичное сложение выполнено верно.

Таблица сложения некоторых шестнадцатеричных чисел имеет вид (обозначения строк и столбцов соответствуют слагаемым):

 

А

В

С

D

E

F

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

A

A

B

C

D

E

F

1A

B

B

C

D

E

F

1A

1B

C

C

D

E

F

1A

1B

1C

D

D

E

F

1A

1B

1C

1D

E

E

F

1A

1B

1C

1D

1E

F

F

1A

1B

1C

1D

1E

1F

1A

1B

1C

1D

1E

1F

 

Пример 2. Сложить шестнадцатеричные числа 1С и 7В.

Запишем слагаемые в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов:
слагаемые:		С
	В

 

Процесс образования результата по разрядам с использованием приведенной таблицы описан ниже:

а) разряд 1: С₁₆ + В₁₆ = 17₁₆; 7 остается в разряде 1; 1 переносится в разряд 2;

б) разряд 2: 1₁₆ + 7₁₆ + 1₁₆ = 9₁₆, где вторая 1₁₆ – единица переноса.

Таким образом: 1 С₁₆ + 7 В₁₆ = 9 7₁₆.

Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результата (см. Перевод целых чисел):

1С₁₆ = 1*16¹ + 12*16⁰ = 16 + 12 = 28;

7В₁₆ = 7*16¹ + 11*16⁰ = 112 + 11 = 123;

97₁₆ = 9*16¹ + 7*16⁰ = 144 + 7 = 151.

Поскольку 28 + 123 = 151, сложение выполнено верно.

Правила вычитания

При вычитании используются таблицы сложения, приведенные ранее.

Пример 3. Вычесть из двоичного числа 101 двоичное число 11.

Запишем алгебраические слагаемые в столбик в порядке “уменьшаемое – вычитаемое” и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов:
уменьшаемое:
вычитаемое:

Процесс образования результата по разрядам описан ниже:

а) разряд 1: 1₂ – 1₂ = 0₂;

б) разряд 2: поскольку 0 < 1 и непосредственное вычитание невозможно, занимаем для уменьшаемого единицу в старшем разряде 3. Тогда разряд 2 результата рассчитывается как 10₂ – 1₂ = 1₂;

в) разряд 3: поскольку единица была занята в предыдущем шаге, в разряде 3 остался 0.

Таким образом: 1 0 1₂ - 1 1₂ = 1 0₂.

Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результата. По таблице (или с помощью Перевод целых чисел)имеем:

101₂ = 5₁₀; 11₂ = 3₁₀; 10₂ = 2₁₀.

Поскольку 5 – 3 = 2, вычитание выполнено верно.

Пример 4. Вычесть из шестнадцатеричного числа 97 шестнадцатеричное число 7В.

Запишем алгебраические слагаемые в столбик в порядке “уменьшаемое – вычитаемое” и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов:
уменьшаемое:
вычитаемое:		В

Процесс образования результата по разрядам описан ниже:

а) разряд 1: поскольку 7₁₆ < В₁₆ и непосредственное вычитание невозможно, занимаем для уменьшаемого единицу в старшем разряде 2. Тогда 17₁₆ – В₁₆ = С₁₆;

б) разряд 2: поскольку единица была занята в предыдущем шаге, разряд 2 уменьшаемого стал равным 8₁₆. Тогда разряд 2 результата рассчитывается как 8₁₆ – 7₁₆ = 1₁₆.

Таким образом: 9 7₁₆ - 7 В₁₆ = 1 С₁₆.

Проверим результат. переведем все числа в 10-ю систему счисления:

97₁₆ = 9*16¹ + 7*16⁰ = 144 + 7 = 151.

7В₁₆ = 7*16¹ + 11*16⁰ = 112 + 11 = 123;

1С₁₆ = 1*16¹ + 12*16⁰ = 16 + 12 = 28;

Поскольку 151 – 123 = 28, вычитание выполнено верно.

Правила умножения

 

Таблица умножения двоичных цифр приведена ниже (обозначения строк и столбцов соответствуют слагаемым):

 

 

Пример 5. Перемножить двоичные числа 101 и 11.

Запишем множители в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов:
сомножители:

Процесс образования результата по шагам умножения множимого на каждый разряд множителя с последующим сложением показан ниже:

а) умножение множимого на разряд 1 множителя дает результат: 101₂ * 1₂ = 101₂;

б) умножение множимого на разряд 2 множителя дает результат: 101₂ * 1₂ = 101₂;

в) для получения окончательного результата складываем результаты предыдущих шагов:

слагаемые:
сумма:

Для проверки результата найдем полные значения сомножителей и произведения в 10-й системе счисления:

101₂ = 5; 11₂ = 3; 1111₂ = 15.

Поскольку 5 * 3 = 15, умножение выполнено верно: 101₂ * 11₂ = 1111₂.

Пример 6. Перемножить шестнадцатеричные числа 1С и 7В.

Используем таблицу умножения шестнадцатеричных чисел (обозначения строк и столбцов соответствуют слагаемым):

 

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

A

C

E

1A

1C

1E

C

F

1B

1E

2A

2D

C

1C

2C

3C

A

F

1E

2D

3C

4B

C

1E

2A

3C

4E

5A

E

1C

2A

3F

4D

5B

1B

2D

3F

5A

6C

7E

A

A

1E

3C

5A

6E

8C

B

B

2C

4D

6E

8F

9A

C

C

3C

6C

9C

D

D

1A

4E

5B

8F

9C

E

E

1C

2A

7E

8C

9A

F

F

1E

2D

3C

4B

5A

Запишем множители в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов:
сомножители:		С
	В

Процесс образования результата по шагам умножения множимого на каждый разряд множителя с последующим сложением показан ниже (для простоты записи у чисел не показан атрибут шестнадцатеричной системы счисления):

а) умножение на разряд 1 дает результат:

1С*В = (10+C) * B = 10*B+C*B = (1*B)*10+C*B = B0+84 = 134;

б) умножение на разряд 2 дает результат:

1С*70 = (10+C)*7*10 = 10*7*10+C*7*10 = 700+540 = С40;

в) для получения окончательного результата складываем результаты предыдущих шагов:

134+ С40 = D74.

Для проверки результата найдем полное значение сомножителей и произведения, воспользовавшись результатами примера 2 и правилами формирования полного значения числа:

1С₁₆ = 1*16+ 12 =28;

7В₁₆ = 7*16 + 11 = 112+11=123;

D74₁₆ = 13*16² + 7*16¹ + 4*16⁰ = 3328 + 112 + 4 =3444.

Поскольку 28 * 123 = 3444, умножение выполнено верно: 1С16 * 7В16 = D7416.

Машинные коды

В большинстве компьютеров операция вычитания не используется. Вместо нее производится сложение обратных или дополнительных кодов уменьшаемого и вычитаемого. Это позволяет существенно упростить конструкцию АЛУ.

Сложение обратных и дополнительных кодов.

1. А < В

Дано: A=10; B=15

Вычислить: Y₂=(A-B)_ок; Z₂=(В-А)_дк

Решение

Целые числа со знаком обычно занимают в памяти компьютера один, два или четыре байта. При этом старший разряд содержит информацию о знаке числа. В компьютерной технике применяется три формы записи (кодирования) целых чисел со знаком: прямой код, обратный код и дополнительный код.

 

Переводим число А₁₀ = 10 из 10-й системы счисления в двоичную:

10: 2 =5, остаток 0 - младший бит (разряд)

5: 2 = 2, остаток 1

2: 2 = 1, остаток 0

1: 2 = 0, остаток 1 – старший бит (разряд)

Таким образом, «собирая» остатки снизу вверх, получаем 1010₂ = 10₁₀

Аналогично переведем число В₁₀ = 15 из 10-й системы счисления в двоичную:

15: 2 = 7, остаток 1 – младший бит

7: 2 = 3, остаток 1

3: 2 = 1, остаток 1

1: 2 = 0, остаток 1 – старший бит (разряд)

Таким образом, «собирая» остатки снизу вверх, получаем 1111₂ = 15₁₀

 

1) Вычисление Y₂=(A-B)_ок

Прямой код (п) двоичного числа образуется из абсолютного значения этого числа и кода знака (0 или 1) перед его старшим числовым разрядом.

 

А₁₀ = +10; А₂ = + 1010: [А₂]_п= 0 ׀ 0001010;

æкод знака (для положительного числа - 0)

 

В₁₀ = -15; В₂ = - 1111: [В₂]_п= 1 ׀ 0001111;

æкод знака (для отрицательного числа - 1)

 

Так как [(А – В)]_ок = [А + (-В)]_ок = [А]_ок + [-B]_ок, то найдем обратный код положительного числа А₁₀ = 10₁₀ = А₂ = 1010₂ и отрицательного числа В₁₀ = -15.

 

12Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: