Ряды с положительными членами.
Ряды Оглавление. 1. Основные понятия. 2. Необходимый признак сходимости. 3. Ряды с положительными членами. 4. Знакопеременные ряды. 5. Функциональные ряды. 6. Степенные ряды. 7. Ряд Тейлора. 8. Тригонометрический ряд (ряд Фурье). Основные понятия Рядом называется выражение вида где Рассмотрим числовой ряд Этот ряд задан, если известен его общий член Сумма конечного числа Конечный или бесконечный предел частичной суммы при Ряд, имеющий конечную сумму, называется сходящимся. Если предел частичной суммы не существует или равен бесконечности, то ряд называется расходящимся. Ряд, члены которого неотрицательны, называется положительным. Положительный ряд всегда имеет сумму; эта сумма будет конечной (и, следовательно, ряд – сходящийся), если его частичная сумма ограничена сверху, и бесконечной (а ряд – расходящийся), если суммы сверху неограниченны. Если в ряде отбросить первые называемым остатком ряда после
Необходимый признак сходимости Теорема 1. Если ряд сходится, то сходится и любой из его остатков; обратно, из сходимости остатка вытекает сходимость исходного ряда. Теорема 2. Если ряд сходится, то сумма
Теорема 3 (необходимый признак сходимости). Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е. Отметим, что эти условия не является достаточными. Следствие. Если общий член ряда к нулю не стремится, то ряд расходится. Примеры рядов. Геометрический ряд: Геометрический ряд сходится тогда и только тогда, когда Гармонический ряд Гармонический ряд, как мы покажем позже, расходится. Ряды с положительными членами.
Рассмотрим числовые ряды с положительными членами
Теорема4 (первый признак сравнения). Если для всех Если для всех Теорема 5 (второй признак сравнения). Если существует конечный и отличный от нуля предел Теорема 6 (интегральный признак Коши). Если сходится или расходится одновременно с интегралом Пример. Исследовать, при каких Если Поскольку интеграл сходится, то сходится и ряд Дирихле. Если Интеграл расходится, поэтому расходится и ряд Дирихле. При Итак, ряд Дирихле сходится при Замечание. Сходимость многих рядов может быть исследована сравнением с соответствующим рядом Дирихле. Пример. Исследовать сходимость ряда Воспользуемся интегральным признаком Коши, для чего составим функцию Эта производная отрицательна, т. к.
Теперь непосредственно используем признак Коши.
Теорема 7 (признак Д’Аламбера). Пусть для ряда (А) существует Если Теорема 8 (" радикальный" признак Коши). Пусть для ряда (А) существует Если Знакопеременные ряды Ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные члены, называется знакопеременным. Знакопеременный ряд
сходится, если сходится ряд, составленный из модулей его членов, т.е. ряд
Примечание – обратное неверно. Например: Ряд (В) в этом случае называется абсолютно сходящимся. Сумма абсолютно сходящегося ряда не зависит от порядка слагаемых. Ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки, называется знакочередующимся. Теорема 9 (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд сходится, если выполнены условия Доказательство: Частичная сумма с четным номером Возрастает, т.к. состоит из положительных слагаемых. Ее можно представить в виде Также можно записать т.к. Нечетная сумма Теорема доказана. Рассмотрим знакочередующийся ряд:
Члены этого ряда монотонно убывают Представим знакочередующийся ряд в виде: где Остаток ряда представим в виде: Вывод: погрешность при вычислении суммы знакочередующегося ряда не превосходит первого отброшенного члена. Таким образом, сравнивая два ряда
можно сделать следующие выводы. 1. Если ряды (1) и (2) сходятся, то ряд (1) – абсолютно сходящийся. 2. Если ряд (2) расходится, а ряд (1) сходится, то ряд (1) называется условно сходящимся. 3. Если и ряды (1) и (2) расходятся, то ряд (1) – расходящийся ряд. Свойство №1: Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов и сумма при этом не меняется. Свойство №2: Если ряд сходится условно, то при перестановке его членов сумма его может стать равной любому числу, а также можно сделать его расходящимся.
Пример. Ряд Рассмотрим ряд, составленный из модулей его членов
Согласно признаку Д’Аламбера, найдем предел
Отсюда следует, что ряд из модулей расходится, значит, нет и абсолютной сходимости. Пример. Исследовать ряд Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов исследуемого ряда и сравним его с гармоническим, расходящимся рядом Отсюда вытекает, что абсолютной сходимости исходного ряда нет. Для выяснения вопроса сходится ли ряд условно, рассмотрим необходимое условие сходимости, т.е. проверим условие Преобразуем его:
Откуда Или что эквивалентно - Итак, исходный ряд сходится условно. Функциональные ряды.
Пусть дан функциональный ряд т.е. ряд, члены которого Если этот ряд сходится, то значение аргумента - суммой данного ряда. Функция называется остатком ряда. Функциональный ряд где Теорема 9 (признак Вейерштрасса). Функциональный ряд такой, что для всех Ряд Пример. Ряд геометрическая прогрессия, ее сумма Пример. Исследовать ряд
Рассмотрим ряд, составленный из модулей его членов
Теорема 10. Если члены ряда (1) (Интеграл от суммы равен сумме интегралов). Пусть ряд (1) мажорируем на Доказательство. Пусть числовой ряд (2) Рассмотрим ряд Требуется доказать, что Имеем Далее Таким образом
Теорема 11. Если члены сходящегося ряда непрерывны при
Доказательство: По условию теоремы ряд
6. Степенные ряды.
Степенным называется функциональный ряд вида где Теорема 12 (признак Абеля). Если степенной ряд Доказательство: Если ряд Ряд Теорема доказана. Замечание. Степенной ряд можно сколько угодно раз почленно дифференцировать и интегрировать. Интервал сходимости от этого не изменится. Радиусом сходимости степенного ряда Степенной ряд сходится абсолютно и равномерно на любом отрезке, принадлежащем интервалу сходимости. Радиус сходимости степенного ряда находится с помощью признака Д’Аламбера или признака Коши. Радиус сходимости можно вычислить по одной из формул если соответствующий предел существует. Действительно, исследуем абсолютную сходимость степенного ряда Если Пример. Исследовать ряд: Радиус сходимости ряда 7. Ряд Тейлора. Если функция
в некоторой окрестности точки Следовательно, разложение функции в ряд будет иметь вид: Ряд, стоящий в правой части формулы называется рядом Тейлора для функции Это равенство выполняется, (ряд Тейлора сходится к стремится к нулю при неограниченном возрастании Если Разложение основных функций в ряд Тейлора. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Примечание. Радиус сходимости ряда (7) будет равен: При При
Тригонометрический ряд Рядом Фурье функции
Найдем выражения для коэффициентов ряда Фурье. Для этого введем определения. Функция Функция Функция 1. Найдем теперь выражение для коэффициента Для этого возьмем определенный интеграл от левой и правой частей тригонометрического ряда (1) в пределах от Согласно введенным определениям Аналогично, Далее, осталось последнее слагаемое: Отсюда получаем 2. Найдем теперь выражение для коэффициентов Для этого, умножим левую и правую части тригонометрического ряда (1) на Проинтегрируем получившийся ряд в пределах от При этом, как мы только что показали, учтем то обстоятельство, что в первом слагаемом будет интеграл вида: Затем учтем, что в третьем слагаемом будет интеграл вида:
Следовательно, под интегралом у нас будут нечетные функции, интеграл от которых в симметричных пределах равен нулю. Таким образом, и третье слагаемое в правой части будет равно нулю. Следующее, второе слагаемое будет иметь вид: т.к. под интегралом произведение двух четных функций. т.к. В результате получим, что исходный интеграл равен: Поэтому справа все слагаемые будут равны нулю, за исключением слагаемого, для которого Отсюда, для коэффициентов 3. Для нахождения коэффициента Опять же проинтегрируем получившийся ряд в пределах от Осталось третье слагаемое. Для его нахождения необходимо найти интеграл: т.к. произведение двух нечетных функций под знаком интеграла дает четную функцию. т.к. Отсюда 4. Окончательно запишем:
Теорема 13. Пусть – Если функция В частности, в точке непрерывности функции
Кроме того. Если функция Если функция
Далее рассмотрим теперь функцию произвольного периода. Пусть функция Поэтому ее разложение в ряд Фурье будет иметь вид: Обозначив Коэффициенты этого ряда будут находиться по аналогичным формулам
Частные случаи. Функция Функция
Пример. Разложить в ряд Фурье функцию Функция Следовательно, разложение в ряд Фурье будет иметь вид
Интеграл Фурье. f(x) – ограничена, кусочно-непрерывна, абсолютно интегрируется на (-∞, +∞), т.е.
Это от предыдущего примера:
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|