Показательная форма комплексного числа.
ОДОБРЕНО Цикловой методической комиссией общеобразовательных и естественнонаучных дисциплин: Протокол № ___ от «____» _________________ 2016 г. Председатель ЦМК: _____________ Криницына Н.А.
«МАТЕМАТИКА» Методические рекомендации для студентов решения задач по математики.
для специальностей: 26.02.06 «Эксплуатация судового электрооборудования и средств автоматики» 23.02.03 «Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта» 23.02.01 «Организация перевозок и управление на транспорте (по видам)» 26.02.05 «Эксплуатация судовых энергетических установок» 26.02.03 «Судовождение»
Преподаватель: Абраменкова В.П..
Пермь
Образцы решения некоторых заданий контрольных работ Комплексные числа. Пример 1. Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:
Числа Числа В числах Сложение комплексных чисел. Пример 2. Сложить два комплексных числа Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части: Пример 3. Вычитание комплексных чисел. Найти разности комплексных чисел: Умножение комплексных чисел.
Пример 4. Найти произведение комплексных чисел Необходимо раскрыть скобки по правилу умножения многочленов, главное, помнить, что Понятно, что Пример 5. Деление комплексных чисел. Даны комплексные числа Пример 6.1. Представить в тригонометрической форме число Обратное проверочное действие: Пример 6.2. Представить в тригонометрической форме число Таким образом, число в тригонометрической форме: Используя таблицу значений тригонометрических функций, легко обратно получить алгебраическую форму числа (заодно выполнив проверку): Пример 6.3. Представить в тригонометрической форме число Очевидно, что Проверка: Пример 6.4. Представить в тригонометрической форме число Найдем его модуль и аргумент.
Рассмотрим более распространенные случаи. Модуль вычисляется по формуле 1) Если 2) Если x < 0, y > 0 (2-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле 3) Если x < 0, y < 0 (3-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле Пример 6.5. Представим в тригонометрической форме число Следовательно Следовательно Пример 6.7. Представим в тригонометрической форме число
Следовательно Следовательно Показательная форма комплексного числа. Любое комплексное число Пример 7.1. Представить в показательной форме комплексные числа: 9.1. 9.2. 9.3. 9.4. Пример1.. Решить систему линейных уравнений, используя правило Крамера и метод обратной матрицы: Решение. 1. Правило Крамера. Находим определитель системы: Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители:
По формулам Крамера находим:
Ответ: Пример 2. Решить уравнение: Решение. Данное уравнение относится к классу дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
Пример 3. Решить уравнение Решение. Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка, для его решения применяем метод Бернулли. Делаем замену: Пример 4. Решить уравнение: у ² +2 у' +5 у = 0. Решение. Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения составляем характеристическое уравнение:
Пример 5. Исследовать на сходимость ряд Решение. Для исследования данного ряда на сходимость можно применить признак Даламбера. Для этого находим Пример 7. Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появится число очков, сумма которых делится на пять. Решение. Определим испытание и его результат, т. е. элементарное событие. Испытанием является бросание трех игральных костей; результатом – одно из сочетаний очков 1,..., 6 на верхних гранях трех костей. Исследуемое событие А – сумма очков на трех костях делится на пять. Вероятность события А вычислим с помощью формулы: Р(А) = m/n. Общее количество элементарных событий п можно найти по правилу умножения. На каждой игральной кости 6 граней и все они могут сочетаться со всеми гранями других костей. Итак, получаем n = 6 × 6 × 6 = 216. Количество элементарных событий т, входящих в состав события А или благоприятствующих событию А,найдем выписав всевозможные результаты испытаний и оставив из них только те, для которых сумма очков на всех трех костях делится на пять. Можно облегчить работу, выписав всевозможные исходы бросания первых двух костей, сочетая с ними подходящие значения количества очков, выпавших на третьей кости. Имеем:
В результате получаем, что Р (т) = 43, значит, Р (А) = 43/216. Ответ: Р (А) = 43/216. Пример 8. Вероятность выигрыша по одному билету равна 0,2. Имеется шесть билетов. Найти вероятности следующих событий: а) два билета будут выигрышными; б) выигрышных билетов будет от двух до четырех. Решение. Для вычисления искомых вероятностей воспользуемся формулой Бернулли:
а) Рассмотрим случайное событие А: два билета из шести будут выигрышными. Его вероятность: б) Рассмотрим случайное событие В: выигрышных билетов будет от двух до четырех. Это сложное событие состоит из следующих: В1: два билета из шести будут выигрышными; В2: три билета из шести будут выигрышными; В3: четыре билета из шести будут выигрышными. Тогда В= В1+В2+В3 и Р(В) = Р(В1)+Р(В2)+Р(В3). Находим по формуле Бернулли соответствующие вероятности:
Тогда искомая вероятность: Р(В) = 0,2458+0,0492+0,0061=0,3011 Ответ: P(B)=0,3011. Пример 9. После обработки результатов эксперимента составлена таблица, в первой строке которой указаны группы возможных значений некоторой случайной величины хi, а во второй строке – численность каждой группы значений m:
Найти объем выборки Решение. Найдем объем выборки n по формуле: Относительные частоты Составим вариационный ряд распределения данной случайной величины:
Находим числовые характеристики выборки: а) среднее арифметическое находим по формуле: б) выборочная дисперсия находится по формуле: Получаем: в) среднеквадратическое отклонение:
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|