Фундаментальные физические константы
Стр 1 из 2Следующая ⇒ Фотоэффект Задача 7.1. Какой максимальный заряд Q max возможно сообщить платиновому шарику с радиусом R = 1 см, облучая его ультрафиолетом? Длина волны излучения λ = 200 нм.
Решение: При облучении металлического шарика светом возникает явление внешнего фотоэффекта – вырывание с поверхности шарика электронов, в результате чего шарик приобретает положительный заряд. Когда величина приобретенного заряда достигает определенного значения Q max, создаваемое им электростатическое поле препятствует удалению электронов от шарика, т.е. создает задерживающий потенциал. Электроны больше не могут покидать шарик, и его заряд больше не изменяется, и фотоэффект прекращается. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:
где Если электрон не может покинуть шарик, значит, его кинетическая энергия не превышает потенциальную энергию его взаимодействия с заряженным шариком, т.е.
где Таким образом,
и уравнение Эйнштейна можно переписать в виде:
откуда выразим
Наименование:
Вычисление: Ответ: максимальный заряд шарика Q max = 107 Кл. Задача 7.2. Какая доля энергии фотона уносится фотоэлектронами, выбитыми из металла светом с частотой 2×1015 Гц, если красная граница фотоэффекта равна 300 нм?
Решение: При облучении металла светом происходит явление фотоэффекта – выбивание электронов с поверхности металла. При этом энергия падающих на металл фотонов расходуется в соответствии с уравнением фотоэффекта (7.1), согласно которому часть энергии фотона переходит в кинетическую энергию электрона, т.е. доля энергии, уносимой фотоэлектронами будет равна Из (7.1) найдем Работа выхода электронов из металла равна минимальной энергии фотонов, при которой еще возможен фотоэффект
где Тогда максимальная кинетическая энергия электронов будет равна
Вычислим: Ответ: электроны уносят половину энергии фотонов.
Задача 7.3. Построить график зависимости задерживающей разности потенциалов от частоты падающего света для цезия. Решение:
Электроны, выбиваемые фотонами из металла, полностью задерживаются обратным электрическим полем, созданным между электродами фотоэлемента. Изменение кинетической энергии электронов при этом равно работе электрического поля: При полном торможении
а работа тормозящего электрического поля равна
где e – заряд электрона; Тогда
и уравнение Эйнштейна для фотоэффекта (7.1) примет вид
Выразим (7.2) задерживающую разность потенциалов:
Уравнение (7.5) представляет собой зависимость задерживающей разности потенциалов от частоты падающего света
а свободный член
Для цезия работа выхода электронов из металла равна А = 1,9 эВ ≈ 3∙10–19Дж. Работа выхода электронов из металла равна минимальной энергии фотонов, при которой еще возможен фотоэффект
При частоте падающего на металл света, равной Вычислим
Это будет первая точка нашей прямой. В качестве второй точки можно взять точку пересечения графиком оси ординат на основании (7.7):
8. эффект комптона Задача 8.1. Под каким углом произошло комптоновское рассеяние фотона рентгеновского излучения на свободном электроне, если в результате этого рассеяния фотон потерял 20% своей энергии? Какая часть энергии фотона перейдет в кинетическую энергию отдачи электрона?
Решение: Эффект Комптона состоит в упругом соударении фотона и покоящегося электрона. При этом выполняется закон сохранения импульса:
где Импульсы и энергии фотона до и после рассеяния соответственно равны
где h – постоянная Планка, с – скорость света. По условию задачи, потери энергии фотона составляют 20%, т.е. Δ W Ф = 0,2 W Ф1, значит,
следовательно,
Из векторной диаграммы сложения импульсов (рис.8.1) найдем cos φ = значит, угол рассеяния фотона равен φ = arсcos 0,8 При упругом рассеянии выполняется также закон сохранения энергии: W Ф1 = W Ф2 + W ЭЛ, где W Ф1 и W Ф2 – энергии фотона до и после рассеяния. Из закона сохранения энергии следует, что вся энергия, теряемая фотоном при столкновении, переходит в кинетическую энергию электрона, т.е. W ЭЛ = Δ W Ф = 0,2 W Ф1 или Ответ: угол рассеяния фотона φ = 37°, кинетическая энергия электрона отдачи составляет 20% от первоначальной энергии фотона.
9. гипотеза де бройля Задача 9.1. Найти длину волны де Бройля для протона, кинетическая энергия которого равна энергии теплового движения молекулы водорода при комнатной температуре.
Решение: Длина волны де Бройля рассчитывается по формуле:
где Массу протона возьмем из таблицы: Скорость протона
Энергия теплового движения молекулы водорода находится по формуле:
где Молекула водорода – двухатомная, поэтому для нее Приравняем энергии протона и водорода:
отсюда выразим скорость протона:
и подставим ее в выражение для длины волны де Бройля (9.1): или
Наименование:
Вычисление: Ответ: длина волны де Бройля для протона равна Задача 9.2. Показать, что стационарным орбитам Бора соответствует целое число волн де Бройля. Сколько длин волн укладывается на каждой орбите? Как зависит длина волны от номера орбиты и универсальных постоянных? Решение: Согласно теории водородоподобных атомов Бора, в одноэлектронном ионе электрон может двигаться по круговым орбитам (рис. 4.1), разрешенные радиусы которых r n связаны с линейными скоростями υ n электрона на этих орбитах правилом квантования (4.1). Длина n -ой орбиты равна
т.е. на n -ой боровской орбите укладывается n длин волн де Бройля. Правило квантования (4.1) и второй закон Ньютона для электрона на n -ой орбите (4.5) дают систему уравнений с двумя неизвестными (4.9). Выразим υ n из первого уравнения системы (4.9):
и подставим во второе уравнение системы:
Теперь упростим и выразим r n:
Отсюда радиус n -ой орбиты электрона равен
Тогда длина волны де Бройля будет равна:
Последнее выражение дает зависимость длины волны де Бройля от фундаментальных постоянных.
10. волновая функция Задача 10.1. Оценить кинетическую энергию протона, локализованного в прямоугольной одномерной потенциальной яме c бесконечно высокими стенками и шириной а = 10-15м (размеры атомного ядра). Решение: Состояние частицы в квантовой механике задаётся волновой функцией координат и времени y(x, y, z, t), значения которой в любой точке пространства и в любой момент времени задает уравнение Шредингера. Если функция y не зависит от времени и является функцией только одной координаты l (т.е. в случае плоской волны), то она задается амплитудным (или стационарным) уравнением Шредингера:
В этом уравнении Е – полная энергия частицы, U – потенциальная энергия. При движении протона вдоль оси l его потенциальная энергия меняется так, что в интервале от l = 0 до l = a потенциальная энергия равна нулю, а в остальных точках (l < 0 и l > a) потенциальная энергия частицы бесконечно велика. График такой зависимости потенциальной энергии от координаты l получил название потенциального "ящика" (рис. 10.1). Квадрат волновой функции определяет собой плотность вероятности – вероятность нахождения частицы в элементарном объеме:
для одномерного случая
Тогда вероятность встретить частицу в определенном месте пространства определяется квадратом волновой функции:
Чтобы частица имела координату l ³ a, она должна получить бесконечно большую энергию U ® ¥. То же самое и для координат l £ 0. Поэтому вероятность встретить частицу за пределами потенциального ящика стремится к нулю, а если так, то согласно (10.1) значение функции y в точках l = a и l = 0 должно стремиться к нулю. Для частицы в потенциальном ящике уравнение Шрёдингера (10.1) имеет вид:
Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, и решением его, как известно из курса математики, является гармоническая функция, то есть синус или косинус, а в общем случае – сумма этих функций. Для упрощения записи заменим коэффициент при y:
Тогда уравнение (10.3) примет вид
Решение этого уравнения ищем в виде
Постоянные коэффициенты А и В найдём из граничных условий, то есть из полученных нами выше значений функции y на границах ящика, при l = 0 и при l = a: y(0) = 0 и y(а) = 0. Подставив в общее решение (10.6) значение l = 0, будем иметь Y(0) = A sin(0) + B cos(0) = 0, откуда очевидно, что коэффициент В = 0. С учётом последнего волновая функция будет содержать только синус:
В соответствии со вторым граничным условием y в точке l = a должна обращаться в нуль:
Y(а) = А sin (ka) = 0. Отсюда очевидно, что sin (ka) = 0, и аргумент под знаком синуса должен быть кратен p: ka = np, где п – целое число: п = 1, 2, 3,… Следовательно, в волновой функции, определяющей движение частицы в потенциальном ящике, k может принимать не любые, а только фиксированные значения
Подставляем полученное выражение (10.8) в формулу замены (10.4): и выражаем энергию: или
Еп – кинетическая энергия частицы, находящейся в квантовом состоянии с номером п, т.е. энергия протона, находящегося в потенциальном ящике, квантована. Она кратна минимальной энергии
т.е. протон может иметь энергию E 1, 4 E 1, 9 E 1 и так далее (рис. 10.2). Вычислим минимальную кинетическую энергию протона:
или Ответ: минимальная кинетическая энергия протона 200 МэВ. Задача 10.2. Частица в одномерной потенциальной яме с шириной a с бесконечно высокими стенками находится в состоянии n = 3. Определить вероятность нахождения частицы в области 0 < l < а/3. Построить график зависимости плотности вероятности │ψ2│от координаты x. Решение: В этой задаче рассматривается случай, аналогичный рассмотренному в предыдущей задаче. Движение частицы ограничено, и ее потенциальная энергия при движении вдоль оси l меняется таким образом, что график зависимости U (l) имеет вид одномерного прямоугольного “ящика” (рис. 10.1). Энергия частицы в потенциальном “ящике” квантуется, и поведение частицы описывается волновой функцией (10.7). С учетом (10.8) эта функция примет вид
где n – номер квантового состояния. В нашем случае (для n = 3)
Из (10.2) можно найти вероятность нахождения частицы в заданном интервале координат:
Подставим выражение для волновой функции (10.10) в подынтегральное выражение в (10.11) и расставим переделы интегрирования:
Найдем
это означает, что вероятность нахождения частицы в потенциальном ящике равна 1 (т.е. она там есть стопроцентно). В это равенство входит табличный интеграл вида
где, в нашем случае,
отсюда
С учетом (10.14) и (10.15) сделаем расчет вероятности z по (10.12):
т.е. вероятность нахождения частицы в состоянии с n = 3 в первой трети потенциального ящика составляет 1/3. Для построения графика зависимости
11. соотношение неопределенностей Задача 11.1. Атом излучает фотон с длиной волны 800 нм. Известно, что время излучения D t составляет 10–8 с. С какой точностью может быть локализован фотон в направлении своего движения? Оценить относительную ошибку Dl/lв определении указанной длины волны, исходя из соотношения неопределенностей для энергии и времени.
Решение: Т.к. точно неизвестно, в какой момент времени происходит излучение, то местонахождение фотона также невозможно точно определить. Если известен интервал времени, в котором происходит излучение, то положение фотона можно тоже определить лишь в некотором интервале координат: Δ x = c ∙Δ t, где с = 3∙108 м/с – скорость света (скорость распространения фотона). Вычислим: Δ x = 3∙108∙10–8 = 3 (м). Чтобы найти Dl/l, воспользуемся соотношением неопределенностей для энергии и времени: Δ Е ∙Δ t ≥ или
где ħ =6,63∙10-34Дж∙с – постоянная Планка. Энергия фотона равна:
дифференцируя по λ, найдем d E:
Подставляя последнее выражение в соотношение неопределенностей, получим: или
Отсюда найдем минимальную относительную ошибку в определении длины волны
Вычислим: Ответ:
Задача 11.2. Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимальную кинетическую энергию протона, локализованного в области размером Δ x = 10-15м (размеры атомного ядра), пренебрегая релятивистскими эффектами.
Решение: Из соотношения неопределенностей координата–импульс
найдем
Кинетическая энергия протона в классическом случае равна Чтобы найти
отсюда
Значит, Выразим
Возьмем для оценки максимально возможное значение скорости с = 3∙108 м/с, получим неопределенность в определении энергии частицы:
Минимальное значение кинетической энергии не может превышать эту неопределенность, поэтому
или
Ответ: минимальная энергия частицы 200 МэВ.
12. физика ядра Задача 12.1. Вычислить удельную энергию связи ядра изотопа 4Be8. Решение: При образовании ядра часть массы частиц, принимающих участие в этом процессе, идёт на создание энергии связи, которая определяется по формуле Эйнштейна
где c – скорость света в вакууме, Δ m – дефект масс, который находится как разность суммарной массы нуклонов и массы ядра:
где тР – масса протона; тN – масса нейтрона; т Я– масса ядра, Z – порядковый номер элемента в таблице Менделеева (он равен заряду ядра и, значит, числу протонов нем), А – массовое число (оно определяет количество нуклонов в ядре), соответственно, (A – Z) – число участвующих в образовании ядра нейтронов. Удельная энергия связи – это энергия связи, приходящаяся на один нуклон, т.е.
В периодической таблице элементов (и в таблицах масс изотопов) приводятся массы атомов, а не ядер. Поэтому нужно учесть, что масса атома отличается от массы ядра на массу всех электронов, которых в атоме столько же, сколько протонов в ядре (это обеспечивает электрическую нейтральность атома). Поэтому массу ядра можно найти так:
Подставим (12.4) в формулу для дефекта масс (12.2) и перегруппируем слагаемые: Δ m = [ ZmР + (A – Z)mN ]– [ m А – Z m е] = Z (mР + +m е) + (A – Z)mN – m А
Здесь мы обозначили m (1Н1) = mР + m е – масса атома водорода, которую также, как и массу рассматриваемого изотопа, возьмем из таблицы. Теперь выпишем все необходимые данные из таблиц: mР = 1,00728 а.е.м.; mN = 1,00867 а.е.м.; m (1Н1) = 1,00783 а.е.м.; mА = m (4Be8) = 8,00531 а.е.м.; 1 а.е.м. = 1,6605655·10-27 кг; c = 2,9979·108 м/с. Для изотопа бериллия 4Be8 определяем, что Z = 4, A = 8. Подставляем все эти данные в выражение для дефекта масс (12.5): Δ m = 4· 1,00783 + 4·1,00867 – 8,00531 = 0,06069 (а.е.м.) Переведем полученное значение в килограммы: Δ m = 0,06069 · 1,6605655·10-27 = 0,10078·10-27 = 1,0078·10-28 (кг). Теперь вычислим энергию связи по (13.1): Е св = (2,9979·108) 2 · 1,0078·10-28 = 9,0575·10–12 (Дж) Переведем полученное значение в электрон-вольты: 1 эВ = 1,6·10–19 Дж Е св = Тогда, согласно (12.3), на один нуклон в ядре приходится энергия
Ответ: удельная энергия связи ядра изотопа бериллия 4Be8 равна 7,08 МэВ.
Задача 12.2. Определить возраст древних деревянных предметов, если известно, что удельная активность изотопа С 14 у них составляет 3/5 удельной активности этого изотопа в только что срубленных деревьях. Период полураспада ядер С 14 равен 5570 лет.
Решение: Известно, что деревья поглощают углекислый газ, преобразуя его в углерод и кислород. В состав углекислого газа (СО2) помимо углерода С12 в небольшом количестве входит изотоп С14. Когда дерево срубают, оно перестает поглощать СО2, и количество углерода в нем больше не увеличивается. Изотоп углерода С14 радиоактивен, и со временем его количество уменьшается в результате распада. По оставшемуся количеству С14 в деревянных изделиях определяют их возраст. Активность изотопа определяет количество распадающихся ядер в единицу времени:
где N – количество наличных ядер, Удельная активность – это активность единицы массы изделия, т.е.
а в только что срубленных деревьях
Запишем закон распада в интегральном виде (предполагая, что возраст деревянных изделий соизмерим с периодом полураспада): или
где N – количество наличных ядер, N 0 – исходное количество ядер. Левую часть этого равенства, пренебрегая изменением массы деревянного изделия, можно заменить на отношение удельных активностей: или
Потенцируя последнее выражение, находим время t, за которое произошло такое уменьшение активности, – возраст деревянных предметов:
Вычислим:
Ответ: деревянным предметам 4107 лет.
Задача 12.3. В урановой руде обнаружен 82 Рb 206. Чему равен возраст урановой руды, если она теперь содержит 0,8 г свинца на каждый грамм 92 U 238?
Решение: Каждое ядро атома свинца образуется из ядра атома урана в результате нескольких ядерных реакций распада. Уран, содержащийся в руде, распадается все время существования руды, при этом количество урана в руде уменьшается, а количество свинца растет. В некоторый момент времени t на N ядер урана приходится Δ N ядер свинца, т.е. распавшихся ядер урана. Распишем число ядер через массу (считаем, что масса ядра практически равна массе атома):
Полагая, что возраст урановой руды соизмерим с периодом полураспада урана, запишем закон распада в интегральном виде:
где N – количество наличных ядер, N 0 – исходное количество ядер, Исходное количество ядер N 0 = N + Δ N, тогда закон распада примет вид: или
Потенцируя последнее выражение, получаем: или
Подставим выражения для N и Δ N и выразим время:
Молярные массы урана и свинца равны: μ (92U238) = 0,238 кг/моль, μ (82Pb206) = 0,206 кг/моль. Вычисление:
Ответ: возраст урановой руды составляет 4,25∙109 лет.
Библиографический список 1. Чертов, А.Г. Задачник по физике // А.Г. Чертов, А.А. Воробьёв. – М.: Высшая школа, 1993. 2. Волькенштейн, В.С. Сборник задач по общему курсу физики / В.С. Волькенштейн. – М.:Физматгиз, 1996. 3. Фирганг, Е.В. Руководство к решению задач по курсу общей физики: Учебное пособие для втузов / Е.В. Фирганг. – М.:Высшая школа, 1987. 4. Трофимова, Т.И. Курс физики: Учебное пособие для вузов / Т.И. Трофимова. – М.: Высшая школа, 2001. 5. Савельев, И.В. Курс общей физики / И.В. Савельев. – М.:Наука, 1987. – Т.2. 6. Соколова, Н.М. Физика: Курс лекций. / Н.М. Соколова, В.И. Биглер. – Челябинск: Изд. ЮУрГУ, 2001. – Ч. 2. ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1 Фундаментальные физические константы (с точностью, требуемой для решения задач)
Приложение 2
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|